Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

У цьому параграфі ви дізнаєтесь, які многокутники називають правильними. Вивчите властивості правильних многокутників. Дізнаєтеся, як за допомогою циркуля та лінійки будувати деякі з них.

навчитеся знаходити радіуси вписаного й описаного кіл правильного многокутника, довжину дуги кола, площі сектора та сегмента круга.

6. Правильні многокутники та їхні властивості

Означення. Многокутник називають правильним, якщо в нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник. На рисунку 6.1 зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник.

Ознайомимося з деякими властивостями, що притаманні всім правильним n-кутникам.

Рис. 6.1

Теорема 6.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.

Із доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися на с. 60-61.

Кожний кут правильного n-кутника дорівнює

Справді, оскільки сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° (n - 2) і всі кути рівні, то кожний із них дорівнює

У правильному трикутнику є точка, рівновіддалена від усіх його вершин і від усіх його сторін. Це точка перетину бісектрис правильного трикутника. Точці перетину діагоналей квадрата теж притаманна аналогічна властивість. Те, що в будь-якому правильному многокутнику є точка, рівновіддалена як від усіх його вершин, так і від усіх його сторін, підтверджує така теорема.

Теорема 6.2. Будь-який правильний многокутник є як вписаним у коло, так і описаним навколо кола, причому центри описаного та вписаного кіл збігаються.

Доведення. На рисунку 6.2 зображено правильний n-кутник A1A2A3...An. Доведемо, що в нього можна вписати й навколо нього можна описати кола.

Проведемо бісектриси кутів A1 і A2. Нехай O — точка їхнього перетину. Сполучимо точки O і A3. Оскільки в трикутниках OA1A2 і OA2A3 кути 2 і 3 рівні, A1A2 = A2A3 і OA2 — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA1A2 — рівнобедрений, отже, рівнобедреним є трикутник OA2A3. Тому OA1 = OA2 = OA3.

Сполучаючи точку O з вершинами A4, A5, ..., An-1, An, аналогічно можна показати, що OA3 = OA4 = ... = OAn-1 = OAn.

Таким чином, для многокутника A1A2A3...An існує точка, рівно- віддалена від усіх його вершин. Це точка O — центр описаного кола.

Оскільки рівнобедрені трикутники OA1A2, OA2A3, OA3A4, ..., OAn-1An, OAnA1 рівні, то рівні і їхні висоти, проведені з вершини O. Звідси робимо висновок: точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола.

Точку, яка є центром описаного та вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.

На рисунку 6.3 зображено фрагмент правильного n-кутника із центром O та стороною AB, довжину якої позначимо an. Кут AOB називають центральним кутом правильного многокутника.

Рис. 6.2

Рис. 6.3

Зрозуміло, що

У рівнобедреному трикутнику AOB проведемо висоту OM. Тоді

Із трикутника OMB отримуємо, що

Відрізки OB і OM — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їхні довжини позначити Rn і rn відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо формули для знаходження радіусів описаного та вписаного кіл для правильних трикутника, чотирикутника й шестикутника зі стороною а:

З отриманих результатів випливає, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу його описаного кола. Тепер можна записати алгоритм побудови правильного шестикутника: від довільної точки M кола потрібно послідовно відкладати хорди, які дорівнюють радіусу (рис. 6.4). Таким чином отримуємо вершини правильного шестикутника.

Рис. 6.4

Рис. 6.5

Рис. 6.6

Сполучивши через одну вершини правильного шестикутника, отримаємо правильний трикутник (рис. 6.5).

Для побудови правильного чотирикутника достатньо в колі провести два перпендикулярних діаметри AC і BD (рис. 6.6). Тоді чотирикутник ABCD — квадрат (доведіть це самостійно).

Якщо побудовано правильний n-кутник, то легко побудувати правильний 2n-кутник. Для цього потрібно знайти середини всіх сторін n-кутника та провести радіуси описаного кола через отримані точки. Тоді кінці радіусів і вершини даного n-кутника будуть вершинами правильного 2n-кутника. На рисунках 6.7 і 6.8 показано побудову правильних 8-кутника та 12-кутника.

Рис. 6.7

Рис. 6.8

Задача 1. Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 155°; 2) 177°? У разі ствердної відповіді вкажіть вид многокутника.

1) Нехай n — кількість сторін шуканого правильного многокутника. З одного боку, сума його кутів дорівнює 180° (n - 2). З другого боку, ця сума дорівнює 155°n. Отже, 180° (n - 2) = 155°n; 25°n = 360°; n = 14,4. Оскільки n має бути натуральним числом, то такого правильного многокутника не існує.

2) Маємо: 180° (n - 2) = 177°n; 180°n - 360° = 177°n; n = 120. Відповідь: 1) не існує; 2) існує, це — стодвадцятикутник.

Задача 2. У коло вписано правильний трикутник зі стороною 18 см. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

Розв’язання. Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, обчислюють за формулою

де a — довжина сторони трикутника (рис. 6.9). Отже,

За умовою радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює радіусу кола, описаного навколо правильного трикутника,

тобто r6 = R3 = 6 см. Оскільки де b — довжина сторони правильного шестикутника, то

Відповідь: 12 см.

Рис. 6.9

1. Який многокутник називають правильним?

2. Яку іншу назву має правильний трикутник?

3. Яку іншу назву має правильний чотирикутник?

4. Навколо якого правильного многокутника можна описати коло?

5. У який правильний многокутник можна вписати коло?

6. Як розташовані один відносно одного центри вписаного та описаного кіл правильного многокутника?

7. Що називають центром правильного многокутника?

8. Запишіть формули радіусів вписаного та описаного кіл правильного n-кутника, трикутника, чотирикутника, шестикутника.

9. Опишіть побудову правильного шестикутника.

10. Опишіть побудову правильного чотирикутника.

11. Як, маючи побудований правильний n-кутник, можна побудувати правильний 2n-кутник?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

6.1.° Накресліть коло, радіус якого дорівнює 3 см. Побудуйте вписаний у це коло:

1) правильний шестикутник;

2) правильний трикутник;

3) правильний дванадцятикутник.

6.2.° Накресліть коло, радіус якого дорівнює 2,5 см. Побудуйте вписаний у це коло: 1) правильний чотирикутник; 2) правильний восьмикутник.

ВПРАВИ

6.3.° Знайдіть кути правильного n-кутника, якщо:

1) n = 6; 2) n = 9; 3) n = 15.

6.4.° Знайдіть кути правильного:

1) восьмикутника; 2) десятикутника.

6.5.° Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює:

1) 160°; 2) 171°?

6.6.° Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює:

1) 108°; 2) 175°?

6.7.° Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює:

1) 140°; 2) 130°?

6.8.° Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кут, суміжний із кутом многокутника, становить кута многокутника?

6.9.° Визначте кількість сторін правильного многокутника, якщо його кут на 168° більший за суміжний із ним кут.

6.10.° Скільки сторін має правильний многокутник, вписаний у коло, якщо градусна міра дуги описаного кола, яку стягує сторона многокутника, дорівнює:

1) 90°; 2) 24°?

6.11.° Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, центральний кут якого дорівнює:

1) 120°; 2) 72°.

6.12.° Нехай a — довжина сторони правильного трикутника, R і r — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):

6.13.° Нехай a — довжина сторони квадрата, R і r — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):

6.14.° Висота правильного трикутника дорівнює 15 см. Чому дорівнює радіус:

1) описаного кола; 2) вписаного кола?

6.15.° Діагональ квадрата дорівнює 6 см. Чому дорівнює радіус:

1) описаного кола; 2) вписаного кола?

6.16.° Радіус кола дорівнює 12 см. Знайдіть сторону вписаного в це коло правильного:

1) шестикутника; 2) дванадцятикутника.

6.17.° Радіус кола дорівнює 8 см. Знайдіть сторону описаного навколо цього кола правильного шестикутника.

6.18.° Доведіть, що радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, удвічі більший за радіус кола, яке вписане в цей трикутник.

6.19.° Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, на 4 см більший за радіус вписаного кола. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл та сторону трикутника.

6.20.° Сторона правильного многокутника дорівнює а, радіус описаного кола дорівнює R. Знайдіть радіус вписаного кола.

6.21.° Радіуси вписаного й описаного кіл правильного многокутника дорівнюють відповідно r і R. Знайдіть сторону многокутника.

6.22.° Сторона правильного многокутника дорівнює а, радіус вписаного кола дорівнює r. Знайдіть радіус описаного кола.

6.23.° Навколо кола описано правильний шестикутник зі стороною см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.

6.24.° У коло вписано квадрат зі стороною 6 см. Знайдіть сторону правильного трикутника, описаного навколо цього кола.

6.25.° Діаметр круга дорівнює 16 см. Чи можна з нього вирізати квадрат зі стороною 12 см?

6.26.° Яким має бути найменший діаметр круглої колоди, щоб із неї можна було виготовити брус, поперечним перерізом якого є правильний трикутник зі стороною 15 см?

6.27.° Яким має бути найменший діаметр круглої колоди, щоб із неї можна було виготовити брус, поперечним перерізом якого є квадрат зі стороною 14 см?

6.28. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого на 36° більший за його центральний кут?

6.29. Кут між радіусами вписаного кола правильного многокутника, проведеними в точки дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника, дорівнює 20°. Знайдіть кількість сторін многокутника.

6.30. Доведіть, що всі діагоналі правильного п’ятикутника рівні.

6.31.• Доведіть, що кожна діагональ правильного п’ятикутника паралельна одній із його сторін.

6.32.• Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є стороною правильного трикутника, вписаного в одне коло, і стороною квадрата, вписаного в друге коло. Довжина цієї хорди дорівнює а. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо вони лежать:

1) по різні боки від хорди; 2) по один бік від хорди.

6.33.• Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є стороною правильного трикутника, вписаного в одне коло, і стороною правильного шестикутника, вписаного в друге коло. Довжина цієї хорди дорівнює а. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо вони лежать:

1) по різні боки від хорди; 2) по один бік від хорди.

6.34. У коло вписано правильний трикутник і навколо нього описано правильний трикутник. Знайдіть відношення сторін цих трикутників.

6.35.• У коло вписано правильний шестикутник і навколо нього описано правильний шестикутник. Знайдіть відношення сторін цих шестикутників.

6.36. Доведіть, що сторона правильного восьмикутника дорівнює де R — радіус його описаного кола.

6.37.• Доведіть, що сторона правильного дванадцятикутника дорівнює де R — радіус його описаного кола.

6.38. Який розмір отвору ключа для шестигранної гайки, основи якої мають форму правильного шестикутника (рис. 6.10), якщо ширина грані гайки дорівнює 25 мм, а зазор між гранями гайки й ключа — 0,5 мм?

Рис. 6.10

6.39. Знайдіть площу правильного восьмикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює R.

6.40. Знайдіть діагоналі та площу правильного шестикутника, сторона якого дорівнює а.

6.41.•• Кути квадрата зі стороною 6 см зрізали так, що отримали правильний восьмикутник. Знайдіть сторону утвореного восьмикутника.

6.42.•• Кути правильного трикутника зі стороною 24 см зрізали так, що отримали правильний шестикутник. Знайдіть сторону утвореного шестикутника.

6.43.•• Знайдіть діагоналі правильного восьмикутника, сторона якого дорівнює a.

6.44.•• У правильному дванадцятикутнику, сторона якого дорівнює a, послідовно сполучили середини шести сторін, узятих через одну. Знайдіть сторону правильного шестикутника, який утворився при цьому.

6.45.•• У правильному восьмикутнику, сторона якого дорівнює а, послідовно сполучили середини чотирьох сторін, узятих через одну. Знайдіть сторону квадрата, який утворився при цьому.

6.46.* Форму яких рівних правильних многокутників можуть мати дощечки паркету, щоб ними можна було вистелити підлогу?

6.47.* Дано правильний шестикутник, сторона якого дорівнює 1 см. Користуючись тільки лінійкою, побудуйте відрізок завдовжки см.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

6.48. Коло поділено на 5 рівних дуг: AB = BC = CD = DE = AE. Знайдіть:

1) ∠BAC; 2) ∠BAD; 3) ∠BAE; 4) ∠CAD; 5) ∠DAE.

6.49. На одній стороні кута з вершиною в точці A позначили точки B і C (точка B лежить між точками A і C), а на другій — точки D і E (точка D лежить між точками A і E), причому AB = 28 см, BC = 8 см, AD = 24 см, AE = 42 см, BE = 21 см. Знайдіть відрізок CD.

6.50. Основа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює 24 см, а радіус кола, описаного навколо нього, — 13 см. Знайдіть площу трикутника.

6.51. Через точку A до кола проведено дві дотичні. Відстань від точки A до точки дотику дорівнює 12 см, а відстань між точками дотику — 14,4 см. Знайдіть радіус кола.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити