Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

ПРО ПОБУДОВУ ПРАВИЛЬНИХ n-КУТНИКІВ

Доведемо, що будь-який правильний n-кутник є опуклим многокутником. Для цього достатньо показати, що в будь-якому многокутнику є хоча б один кут, менший від 180°. Тоді з того, що в правильному n-кутнику всі кути рівні, випливатиме, що всі вони менші від 180°, тобто многокутник буде опуклим.

Розглянемо довільний многокутник і пряму а, яка не має з ним спільних точок (рис. 6.11). Із кожної вершини многокутника опустимо перпендикуляр на пряму а.

Рис. 6.11

Порівнявши довжини цих перпендикулярів, ми зможемо вибрати вершину многокутника, яка найменше віддалена від прямої a (якщо таких вершин кілька, то виберемо будь-яку з них). Нехай цю властивість має вершина А (рис. 6.11). Через точку A проведемо пряму b, паралельну прямій а. Тоді кут A многокутника лежить в одній півплощині відносно прямої b. Отже, ∠A < 180°.

Ви вмієте за допомогою циркуля та лінійки будувати правильний 4-кутник, а отже, і 8-кутник, 16-кутник, 32-кутник, тобто будь-який 2n-кутник (n — натуральне число, n > 1). Уміння побудувати правильний трикутник дає можливість побудувати такий ланцюжок із правильних многокутників: 6-кутник, 12-кутник, 24-кутник і т. д., тобто будь-який 3 ∙ 2n-кутник (n — натуральне число).

Задачу побудови правильних многокутників за допомогою циркуля та лінійки вивчали ще давньогрецькі геометри. Зокрема, крім зазначених вище многокутників, вони вміли будувати правильні 5-кутник і 15-кутник, що є досить непростою справою.

Стародавні вчені, які вміли будувати будь-який із правильних n-кутників, де m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, намагалися розв’язати цю задачу і для m = 7, 9. Їм це не вдалося. Узагалі, більше двох тисяч років математики не могли зрушитися з місця у вирішенні цієї проблеми. У 1796 р. великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс зміг за допомогою циркуля та лінійки побудувати правильний 17-кутник. У 1801 р. Гаусс довів, що циркулем та лінійкою можна побудувати правильний m-кутник тоді й тільки тоді, коли m = 2k, де k N, k > 1, або m = 2k ∙ р1р2 ∙ ... ∙ pt, де k — ціле невід’ємне число, p1, p2, ..., pt — різні прості числа виду 22m + 1, де m — ціле невід’ємне число, які називають простими числами Ферма1. Зараз відомо лише п’ять простих чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65 537.

Гаусс надавав своєму відкриттю настільки великого значення, що заповів зобразити 17-кутник на своєму надгробку. На могильній плиті Гаусса цього рисунка немає, проте пам’ятник Гауссу в Брауншвейзі стоїть на сімнадцятикутному постаменті.

Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855)

1 П’єр Ферма (1601-1665) — французький математик, один із фундаторів теорії чисел.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити