Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§2 ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ

7. Довжина кола. Площа круга

На рисунку 7.1 зображено правильні 4-кутник, 8-кутник і 16-кутник, вписані в коло.

Ми бачимо, що при збільшенні кількості сторін правильного n-кутника його периметр Pn усе менше й менше відрізняється від довжини C описаного кола.

Так, для нашого прикладу можна записати:

C - Р4 > C - Р8 > C - P16.

При необмеженому збільшенні кількості сторін правильного многокутника його периметр буде як завгодно мало відрізнятися від довжини кола. Це означає, що різницю C - Pnможна зробити меншою від, наприклад, 10-6, 10-9 і взагалі меншою від будь-якого додатного числа.

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Розглянемо два правильних n-кутники зі сторонами an і a'n, вписаних у кола, радіуси яких дорівнюють R і R' відповідно (рис. 7.2). Тоді їхні периметри Pn і Р'n можна обчислити за формулами

Звідси

(*)

Ця рівність справедлива при будь-якому значенні n (n — натуральне число, n 1 3). При необмеженому збільшенні значення n периметри Pn ≈ P'n відповідно будуть як завгодно мало відрізнятися від довжин C і C' описаних кіл. Тоді при необмеженому збільшенні n відношення буде як завгодно мало відрізнятися від відношення

З урахуванням рівності (*) доходимо висновку, що число як завгодно мало відрізняється від числа А це можливо лише тоді, коли

тобто

Остання рівність означає, що для всіх кіл відношення довжини кола до діаметра є одним і тим самим числом.

Із курсу математики 6 класу ви знаєте, що це число прийнято позначати грецькою буквою p (читають: «пі»).

З рівності отримуємо формулу для обчислення довжини кола:

C = 2R

Число p є ірраціональним, отже, його не можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу. Зазвичай при розв’язуванні задач за наближене значення п приймають число 3,14.

Видатний давньогрецький учений Архімед (ІІІ ст. до н. е.), виразивши через діаметр описаного кола периметр правильного 96-кутника, установив, що

Звідси й випливає, що ≈ 3,14.

За допомогою сучасних комп’ютерів і спеціальних програм можна обчислити число p з величезною точністю. Наведемо запис числа з 47 цифрами після коми:

= 3,14159265358979323846264338327950288419716939937….

У 1989 р. число p обчислили з точністю до 1 011 196 691 цифри після коми. Цей факт було занесено до Книги рекордів Гіннеса. Саме число в книзі не наведено, оскільки для цього потрібно було б понад тисячу сторінок. У 2017 р. уже було обчислено більше ніж 22 трильйони знаків числа p.

Знайдемо формулу для обчислення довжини дуги кола з градусною мірою n°. Оскільки градусна міра всього кола дорівнює 360°, то довжина дуги в 1 ° дорівнює

Тоді довжину l дуги в n° обчислюють за формулою

Виведемо формулу для обчислення площі круга.

Звернемося знову до рисунка 7.1. Бачимо, що при збільшенні кількості сторін правильного n-кутника його площа Sn усе менше й менше відрізняється від площі S круга. При необмеженому збільшенні кількості сторін його площа наближається до площі круга.

На рисунку 7.3 зображено фрагмент правильного n-кутника із центром у точці O, зі стороною AB = an і радіусом описаного кола,

який дорівнює R. Опустимо перпендикуляр OM на сторону AB. Маємо:

Оскільки радіуси, проведені у вершини правильного n-кутника, розбивають його на n рівних трикутників, то площа n-кутника Sn у n разів більша за площу трикутника AOB. Тоді

Звідси

(**)

де Pn — периметр даного правильного n-кутника.

Рис. 7.3

При необмеженому збільшенні значення n величина буде як завгодно мало відрізнятися від 0°, а отже, наближатиметься до 1. Периметр Pn наближатиметься до довжини C кола, а площа Sn — до площі S круга. Тоді з урахуванням рівності (**) можна записати:

Із цієї рівності отримуємо формулу для знаходження площі круга:

S = R2

На рисунку 7.4 радіуси OA і OB ділять круг на дві частини, які зафарбовано в різні кольори. Кожну із цих частин разом із радіусами OA і OB називають круговим сектором або просто сектором.

Зрозуміло, що круг радіуса R можна поділити на 360 рівних секторів, кожен з яких міститиме дугу в 1°. Площа такого сектора дорівнює Тоді площу З сектора, який містить дугу кола в n°, обчислюють за формулою

На рисунку 7.5 хорда AB ділить круг на дві частини, які зафарбовано в різні кольори. Кожну із цих частин разом із хордою AB називають круговим сегментом або просто сегментом. Хорду AB при цьому називають основою сегмента.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Рис. 7.6

Щоб знайти площу сегмента, зафарбованого в рожевий колір (рис. 7.6), треба від площі сектора, який містить хорду AB, відняти площу трикутника AOB (точка O — центр круга). Щоб знайти площу сегмента, зафарбованого в блакитний колір, треба до площі сектора, який не містить хорду AB, додати площу трикутника AOB.

Якщо хорда AB є діаметром круга, то вона ділить круг на два сегменти, які називають півкругами. Площу З півкруга обчислюють

за формулою

де R — радіус круга.

Задача 1. Довжина дуги кола, радіус якого 25 см, дорівнює см. Знайдіть градусну міру дуги.

Розв’язання. Із формули отримуємо

Отже, шукана градусна міра

Відповідь: 7,2°.

Задача 2. У коло із центром O, радіус якого дорівнює 8 см, вписано правильний восьмикутник ABCDEFMK (рис. 7.7). Знайдіть площі сектора та сегмента, які містять дугу AB.

Розв’язання. Кут AOB — центральний кут правильного восьмикутника, тому

Тоді шукана площа сектора дорівнює

площа сегмента:

Відповідь:

Рис. 7.7

1. Яке відношення позначають буквою р?

2. Назвіть наближене значення числа pз точністю до сотих.

3. За якою формулою обчислюють довжину кола?

4. За якою формулою обчислюють довжину дуги кола?

5. За якою формулою обчислюють площу круга?

6. Поясніть, яку геометричну фігуру називають круговим сектором.

7. За якою формулою обчислюють площу кругового сектора?

8. Поясніть, яку геометричну фігуру називають круговим сегментом.

9. Поясніть, як можна знайти площу кругового сегмента.

ВПРАВИ

7.1.° Знайдіть довжину кола, діаметр якого дорівнює:

1) 1,2 см; 2) 3,5 см.

7.2.° Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює:

1) 6 см; 2) 1,4 м.

7.3.° Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює:

1) 4 см; 2) 14 дм.

7.4.° Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює:

1) 20 см; 2) 3,2 дм.

7.5.° Знайдіть площу круга, довжина кола якого дорівнює l.

7.6.° Обчисліть площу поперечного перерізу дерева, яке в обхваті становить 125,6 см.

7.7.° Як зміниться довжина кола, якщо його радіус:

1) збільшити у 2 рази; 2) зменшити в 3 рази?

7.8.° Радіус кола збільшили на 1 см. На скільки збільшилась при цьому довжина кола?

7.9.° Довжина земного екватора наближено дорівнює 40 000 000 м. Вважаючи, що Земля має форму кулі, обчисліть її радіус у кілометрах.

7.10.° Обчисліть довжину червоної лінії, зображеної на рисунку 7.8.

Рис. 7.8

7.11.° Як зміниться площа круга, якщо його радіус:

1) збільшити в 4 рази;

2) зменшити в 5 разів?

7.12.° Обчисліть площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку 7.9.

Рис. 7.9

7.13.° Обчисліть площу заштрихованої фігури (рис. 7.10), якщо довжина сторони клітинки дорівнює а.

Рис. 7.10

7.14.° Продаються млинці двох видів: діаметром 30 см і 20 см. Якщо всі млинці мають однакову товщину, то у якому випадку покупець з’їсть більше: коли з’їсть один великий млинець чи два менших?

7.15.° Знайдіть довжину кола, описаного навколо правильного трикутника зі стороною a.

7.16.° Знайдіть довжину кола, вписаного у квадрат зі стороною а.

7.17.° Знайдіть площу круга, описаного навколо квадрата зі стороною а.

7.18.° Знайдіть площу круга, вписаного в правильний шестикутник зі стороною а.

7.19.° Знайдіть площу круга, вписаного в правильний трикутник зі стороною а.

7.20.° Знайдіть площу круга, описаного навколо прямокутника зі сторонами а і b.

7.21.° Знайдіть площу круга, описаного навколо рівнобедреного трикутника з бічною стороною b і кутом а при основі.

7.22.° Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутника зі стороною а і кутом а між даною стороною та діагоналлю прямокутника.

7.23.° Радіус кола дорівнює 8 см. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює:

1) 4°; 2) 18°; 3) 160°; 4) 320°.

7.24.° Довжина дуги кола дорівнює 12 см, а її градусна міра — 27°. Знайдіть радіус кола.

7.25.° Довжина дуги кола радіуса 24 см дорівнює 3 см. Знайдіть градусну міру дуги.

7.26.° Обчисліть довжину дуги екватора Землі, градусна міра якої дорівнює 1°, якщо радіус екватора наближено дорівнює 6400 км.

7.27.° Радіус круга дорівнює 6 см. Знайдіть площу сектора, якщо градусна міра його дуги дорівнює:

1) 15°; 2) 144°; 3) 280°.

7.28.° Площа сектора становить площі круга. Знайдіть градусну міру його дуги.

7.29.° Площа сектора дорівнює 6п дм2. Знайдіть градусну міру дуги цього сектора, якщо радіус круга дорівнює 12 дм.

7.30.° Площа сектора дорівнює см2, а градусна міра дуги цього сектора становить 75°. Знайдіть радіус круга, частиною якого є даний сектор.

7.31.° Чи може сектор круга бути його сегментом?

7.32.° Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 5 см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює:

1) 45°; 2) 150°; 3) 330°.

7.33.° Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 2 см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює:

1) 60°; 2) 300°.

7.34. Колеса автомобіля мають діаметр 65 см. Автомобіль їде з такою швидкістю, що колеса роблять 6 обертів щосекунди. Знайдіть швидкість автомобіля в кілометрах за годину. Відповідь округліть до десятих.

7.35.• Знайдіть довжину дуги, яку описує годинна стрілка завдовжки 6 см за 1 год.

7.36. Знайдіть довжину дуги, яку описує хвилинна стрілка завдовжки 24 см за 40 хв.

7.37. Радіус кола збільшили на а. Доведіть, що довжина кола збільшилася на величину, яка не залежить від радіуса даного кола.

7.38. Сторона трикутника дорівнює 6 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 50° і 100°. Знайдіть довжини дуг, на які вершини трикутника ділять описане навколо нього коло.

7.39. Сторона трикутника дорівнює 5 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 35° і 25°. Знайдіть довжини дуг, на які вершини трикутника ділять описане навколо нього коло.

7.40. На катеті AC прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги цього кола, яка належить трикутнику, якщо ∠A = 24°, AC = 20 см.

7.41.• Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. На висоті трикутника, яка проведена до основи і дорівнює 27 см, як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги кола, яка належить трикутнику.

7.42.• Відрізок AB розбили на n відрізків. На кожному з них як на діаметрі побудували півколо. Цю дію повторили, розбивши даний відрізок на m відрізків. Знайдіть відношення сум довжин півкіл, отриманих у першому й другому випадках.

7.43.• Доведіть, що площа півкруга, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника як на діаметрі (рис. 7.11), дорівнює сумі площ півкругів, побудованих на його катетах як на діаметрах.

7.44.• Дві труби, діаметри яких дорівнюють 30 см і 40 см, потрібно замінити однією трубою з такою ж пропускною здатністю1. Яким має бути діаметр цієї труби?

7.45.• На скільки відсотків збільшиться площа круга, якщо його радіус збільшити на 10 %?

7.46. У круг вписано квадрат зі стороною а. Знайдіть площу меншого із сегментів, основою яких є сторона квадрата.

Рис. 7.11

7.47.• З листа жерсті, який має форму круга, вирізали правильний шестикутник найбільшої площі. Скільки відсотків жерсті пішло у відходи?

1 Пропускна здатність водопровідної труби — це маса води, яка проходить через поперечний переріз труби за одиницю часу.

7.48. У круг вписано правильний трикутник зі стороною а. Знайдіть площу меншого із сегментів, основою яких є сторона трикутника.

7.49. У круговий сектор, радіус якого дорівнює R, а центральний кут становить 60°, вписано круг. Знайдіть площу цього круга.

7.50.•• Знайдіть площу розетки (заштрихованої фігури), яка зображена на рисунку 7.12, якщо сторона квадрата ABCD дорівнює а.

Рис. 7.12

Рис. 7.13

7.51.•• При побудові чотирьох дуг із центрами у вершинах квадрата ABCD і радіусами, які дорівнюють стороні квадрата, утворилася фігура, обмежена червоною лінією (рис. 7.13). Знайдіть довжину цієї лінії, якщо довжина сторони квадрата дорівнює а.

Рис. 7.14

Рис. 7.15

7.52.•• (Задача Гіппократа1). Навколо прямокутника описали коло та на кожній його стороні як на діаметрі побудували півколо (рис. 7.14). Доведіть, що сума площ зафарбованих фігур (серпиків Гіппократа) дорівнює площі прямокутника.

7.53.•• Два квадрати зі сторонами 1 см мають спільний центр (рис. 7.15). Доведіть, що площа їхньої спільної частини більша за .

1 Гіппократ Хіоський — давньогрецький геометр (V ст. до н. е.).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

7.54. Знайдіть сторону ромба, якщо його висота дорівнює 6 см, а кут між стороною ромба та однією з діагоналей дорівнює 15°.

7.55. Бісектриса кута A прямокутника ABCD ділить його сторону BC на відрізки BM і MC завдовжки 10 см і 14 см відповідно. На відрізки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника?

7.56. Сума кутів при більшій основі трапеції дорівнює 90°. Доведіть, що відстань між серединами основ трапеції дорівнює піврізниці основ.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

7.57. Чому дорівнює відстань між точками A і B координатної прямої, якщо:

1) A (3) і B (7); 3) A (-2) і B (-6);

2) A (-2) і B (4); 4) A (a) і B (b)?

7.58. Накресліть на координатній площині відрізок AB, знайдіть за рисунком координати середини відрізка та порівняйте їх із середнім арифметичним відповідних координат точок A і B, якщо:

1) A (-1; -6), B (5; -6); 3) A (3; -5), B (-1; 3).

2) A (3; 1), B (3; 5);

7.59. Побудуйте на координатній площині трикутник ABC і знайдіть його сторони, якщо A (5; -1), B (-3; 5), C (-3; -1).

7.60. У якій координатній чверті знаходиться точка:

1) A (3; -4); 2) B (-3; 1); 3) C (-4; -5); 4) D (1; 9)?

7.61. У якій координатній чверті знаходиться точка M, якщо:

1) її абсциса додатна, а ордината від’ємна;

2) добуток її абсциси та ординати — від’ємне число;

3) її абсциса й ордината від’ємні?

7.62. Що можна сказати про координати точки A, якщо:

1) точка A лежить на осі абсцис;

2) точка A лежить на осі ординат;

3) точка A лежить на бісектрисі четвертого координатного кута;

4) точка A лежить на бісектрисі третього координатного кута;

5) точка A лежить на бісектрисі першого координатного кута?

7.63. Укажіть координати вершин прямокутника ABCD (рис. 7.16).

Рис. 7.16

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

7.64. На площині позначили кілька точок. Деякі з них пофарбували червоним кольором, решту — синім. Відомо, що точок кожного кольору не менше трьох і жодні три точки одного кольору не лежать на одній прямій. Доведіть, що якісь три точки одного кольору є вершинами трикутника, на сторонах якого може лежати не більше двох точок іншого кольору.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити