§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

9. Рівняння фігури. Рівняння кола

Із курсу алгебри 7 класу ви знаєте, яку фігуру називають графіком рівняння. У цьому пункті ви ознайомитеся з поняттям рівняння фігури.

Координати (x; у) кожної точки параболи, зображеної на рисунку 9.1, є розв’язком рівняння у = x². І навпаки, кожний розв’язок рівняння з двома змінними у = х² є координатами точки, яка лежить на цій параболі. У цьому разі говорять, що рівняння параболи, зображеної на рисунку 9.1, має вигляд у = х².

Рис. 9.1

Означення. Рівнянням фігури F, заданої на площині xy, називають рівняння з двома змінними x і у, яке має такі властивості:

1) якщо точка належить фігурі F, то її координати є розв’язком даного рівняння;

2) будь-який розв’язок (x; у) даного рівняння є координатами точки, яка належить фігурі F.

Наприклад, рівняння прямої, зображеної на рисунку 9.2, має вигляд у = 2х - 1, а рівняння гіперболи, зображеної на рисунку 9.3, має вигляд у = .

Прийнято говорити, що, наприклад, рівняння у = 2х - 1 і у = задають пряму та гіперболу відповідно.

Якщо дане рівняння є рівнянням фігури F, то цю фігуру можна розглядати як геометричне місце точок (ГМТ), координати яких задовольняють дане рівняння.

Рис. 9.2

Рис. 9.3

Користуючись цими міркуваннями, виведемо рівняння кола радіуса R із центром у точці A (a; b).

Рис. 9.4

Рис. 9.5

Нехай M (x; у) — довільна точка даного кола (рис. 9.4). Тоді AM = R. Використовуючи формулу відстані між точками, отримаємо:

Звідси

(x - a)² + (у - b)²= R². (*)

Ми показали, що координати (x; у) довільної точки M даного кола є розв’язком рівняння (*). Тепер покажемо, що будь-який розв’язок рівняння (x - a)² + (у - b)²= R² є координатами точки, яка належить даному колу.

Нехай пара чисел (x₁; у₁) — довільний розв’язок рівняння (*).

Тоді (x, - a)²+ (у, - b)²= R². Звідси

Ця рівність показує, що точка N (x₁; у₁) віддалена від центра кола A (a; b) на відстань, що дорівнює радіусу кола, а отже, точка N (x₁; у₁) належить даному колу.

Отже, ми довели таку теорему.

Теорема 9.1. Рівняння кола радіуса R із центром у точці A (a; b) має вигляд

(x - a)²+ (y - b)² = R²

Правильним є і таке твердження: будь-яке рівняння виду (x - a)²+ (у - b)²= R², де a, b і R — деякі числа, причому R > 0, є рівнянням кола радіуса R із центром у точці з координатами (a; b).

Якщо центром кола є початок координат (рис. 9.5), то a = b = 0. У цьому разі рівняння кола має вигляд

x² + у² = R².

Задача 1. Складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок AB, якщо A (-5; 9), B (7; -3).

Розв’язання. Оскільки центр кола є серединою діаметра, то можемо знайти координати (a; b) центра C кола:

Отже, C (1; 3).

Радіус кола R дорівнює відрізку AC. Тоді R² = (1 + 5)² + (3 - 9)² = = 72.

Отже, шукане рівняння має вигляд

(x - 1)² + (y - 3)² = 72.

Відповідь: (x - 1)² + (y - 3)² = 72.

Задача 2. Доведіть, що рівняння x² + y² + 6x - 14y + 50 = 0 задає коло. Знайдіть координати центра та радіус цього кола.

Розв’язання. Подамо дане рівняння у вигляді (x - a)² + (y - b)² = R²:

x² + 6x + 9 + y² - 14y + 49 + 50 - 58 = 0;

(x + 3)² + (y - 7)² = 8.

Отже, дане рівняння є рівнянням кола із центром у точці (-3; 7) і радіусом 2

Відповідь: (-3; 7), 2.

Задача 3. Доведіть, що трикутник з вершинами в точках A (-2; -3), B (1; 3) і C (5; 1) є прямокутним, і складіть рівняння кола, описаного навколо трикутника ABC.

Розв’язання. Знайдемо квадрати сторін даного трикутника:

AB² = (1 + 2)² + (3 + 3)² = 45;

AC² = (5 + 2)² + (1 + 3)² = 65;

BC² = (5 - 1)² + (1 - 3)² = 20.

Оскільки AB² + BC² = AC², то даний трикутник є прямокутним із прямим кутом при вершині B. Центром описаного кола є середина гіпотенузи AC — точка (1,5; -1), радіус кола

Отже, шукане рівняння має вигляд

Відповідь:

1. Що називають рівнянням фігури, заданої на площині xy?

2. Який вигляд має рівняння кола із центром у точці (a; b) і радіусом R?

3. Який вигляд має рівняння кола із центром у початку координат і радіусом R?

ВПРАВИ

9.1. ° Визначте за рівнянням кола координати його центра та радіус:

1) (x - 8)² + (y - 3)² = 25; 3) х² + у² = 7;

2) (х + 5)² + у² = 9; 4) х² + (у + 1)² = 3.

9.2. ° Складіть рівняння кола, якщо відомо координати його центра A і радіус R:

9.3.° Складіть рівняння кола, якщо відомо координати його центра B і радіус R:

9.4.° Визначте координати центра та радіус кола, зображеного на рисунку 9.6, і запишіть рівняння цього кола.

Рис. 9.6

9.5.° Радіус кола із центром у точці A дорівнює 4 (рис. 9.7). Складіть рівняння цього кола.

Рис. 9.7

9.6.° Побудуйте на координатній площині коло, рівняння якого має вигляд:

1) х² + у² = 4; 2) (x + 1)² + (у - 2)² = 25.

9.7.° Побудуйте на координатній площині коло, рівняння якого має вигляд (х - 4)² + у² = 9.

9.8.° Коло задано рівнянням (х + 6)² + (у - 1)² = 10. З’ясуйте, які з точок A (-3; 0), B (-5; -2), C (1; 0), D (-4; 3), E (-7; -3), F (-9; 0) лежать: 1) на колі; 2) усередині кола; 3) поза колом.

9.9.° Чи належить колу (х - 2)² + (у + 2)² = 100 точка:

1) A (8; -8); 2) B (6; -9); 3) C (-3; 7); 4) D (-4; 6)?

9.10.° Складіть рівняння кола із центром у точці M (-3; 1), яке проходить через точку K (-1; 5).

9.11.° Складіть рівняння кола, діаметром якого є відрізок AB, якщо A (2; -7), B (-2; 3).

9.12. Доведіть, що відрізок AB є діаметром кола (х - 5)² + (у + 4)² = 17, якщо A (1; -5), B (9; -3).

9.13.• Доведіть, що відрізок CD є хордою кола х² + (у - 9)² = 169, якщо C (5; -3), D (-12; 4).

9.14. Складіть рівняння кола, центром якого є точка P (-6; 7) та яке дотикається до осі ординат.

9.15.• Складіть рівняння кола, центр якого знаходиться на прямій у = -5 та яке дотикається до осі абсцис у точці S (2; 0).

9.16. Скільки існує кіл, які проходять через точку (3; 5), радіуси яких дорівнюють 3 і центри яких належать осі ординат? Запишіть рівняння кожного такого кола.

9.17.• Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A (-4; 1) і B (8; 5) і центр якого належить осі абсцис.

9.18. Доведіть, що коло (x + 6)² + (y - 3)² = 36:

1) дотикається до осі ординат;

2) перетинає вісь абсцис;

3) не має спільних точок з прямою у = 10.

9.19.•• Установіть, чи є дане рівняння рівнянням кола. У разі ствердної відповіді вкажіть координати центра та радіус R цього кола:

1) x² + 2х + у² - 10у - 23 = 0; 3) х² + у² + 6у + 8х + 34 = 0;

2) х² - 12х + у² + 4у + 40 = 0; 4) х² + у² - 4х - 14у + 51 = 0.

9.20.•• Доведіть, що дане рівняння є рівнянням кола, і вкажіть координати центра та радіус R цього кола:

1) х² + у² + 16у + 60 = 0; 2) х² + у² - 8х + 4у + 15 = 0.

9.21.•• Доведіть, що трикутник із вершинами в точках A (-1; -2), B (-1; 2), C (5; 2) є прямокутним, і складіть рівняння кола, описаного навколо цього трикутника.

9.22.•• Складіть рівняння кола, радіус якого дорівнює 5 та яке проходить через точки C (-1; 5) і D (6; 4).

9.23.•• Складіть рівняння кола, радіус якого дорівнює та яке проходить через точки M (-2; 1) і K (-4; -1).

9.24.•• Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і прямої у = -4.

9.25.•• Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і прямої х = 2.

9.26.* Складіть рівняння кола, яке проходить через точки:

1) A (-3; 7), B (-8, 2), C (-6, -2);

2) M (-1; 10), N (12; -3), K (4; 9).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

9.27. Бісектриса кута B паралелограма ABCD перетинає його сторону AD у точці E, AB = BE = 12 см, ED = 18 см. Знайдіть площу паралелограма.

9.28. Перпендикуляр, опущений із вершини прямокутника на його діагональ, ділить цю діагональ на відрізки завдовжки 9 см і 16 см. Знайдіть периметр прямокутника.

9.29. У рівнобічну трапецію вписано коло радіуса 12 см. Одна з бічних сторін точкою дотику ділиться на два відрізки, один з яких дорівнює 16 см. Знайдіть площу трапеції.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

9.30. На площині позначили точки А і В. За допомогою лише циркуля побудуйте точку C таку, щоб точка В була серединою відрізка АС.