Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
10. Рівняння прямої
У попередньому пункті, розглядаючи коло як ГМТ, рівновіддалених від даної точки, ми вивели його рівняння. Для того щоб вивести рівняння прямої, розглянемо її як ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок.
Нехай a — задана пряма. Виберемо дві точки A (х 1; y 1) і B (x 2; y 2) так, щоби пряма a була серединним перпендикуляром відрізка AB (рис. 10.1).
Рис. 10.1
Нехай M (x; у) — довільна точка прямої а. Тоді за властивістю середин
ного перпендикуляра відрізка виконується рівність MA = MB, тобто
(*)
Ми показали, що координати (x; у) довільної точки M прямої а є розв’язком рівняння (*).
Тепер покажемо, що будь-який розв’язок рівняння (*) є координатами точки, яка належить даній прямій a.
Нехай (x 0; у 0) — довільний розв’язок рівняння (*).
Тоді
Ця рівність
означає, що точка N (x 0; у 0) рівновіддалена від точок A (x 1; у 1) і B (x 2; у 2), отже, точка N належить серединному перпендикуляру відрізка AB, тобто прямій a.
Таким чином, ми довели, що рівняння (*) є рівнянням даної прямої a.
Проте з курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння прямої має набагато простіший вигляд, а саме: ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно. Покажемо, що рівняння (*) можна звести до такого вигляду.
Піднесемо обидві частини рівняння (*) до квадрата. Маємо: (х - x 1) 2 + (у - y 1) 2 = (х - x 2) 2 + (у - y 2) 2.
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки. Отримаємо:
Позначивши 2
отримаємо рівняння ax + by = c.
Оскільки точки A (x 1; y 1) і B (x 2; y 2) є різними, то хоча б одна з різниць x 2 - x 1 і y 2 - y 1 не дорівнює нулю. Отже, числа а і b не дорівнюють нулю одночасно.
Таким чином, ми довели таку теорему.
Теорема 10.1. Рівняння прямої має вигляд
ax + by = c,
де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно.
Є правильним і таке твердження: будь-яке рівняння виду ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому а і b не дорівнюють нулю одночасно, є рівнянням прямої.
Якщо a = b = c = 0, то графіком рівняння ax + by = c є вся площина xy. Якщо a = b = 0 і c ≠ 0, то рівняння не має розв’язків.
Із курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння виду ax + by = c називають лінійним рівнянням з двома змінними. Рівняння прямої є окремим видом лінійного рівняння. Схема, зображена на рисунку 10.2, ілюструє сказане.
Рис. 10.2
Також на уроках алгебри в 7 класі ми прийняли без доведення той факт, що графіком лінійної функції y = kx + p є пряма. Зараз ми можемо це довести.
Перепишемо рівняння y = kx + p так: -kx + y = p. Ми отримали рівняння виду ax + by = c для випадку, коли a = -k, b = 1, c = p. Оскільки в цьому рівнянні b Ф 0, то ми отримали рівняння прямої.
А чи будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням виду y = kx + p? Відповідь на це запитання заперечна.
Річ у тім, що пряма, перпендикулярна до осі абсцис, не може бути графіком функції, а отже, не може бути задана рівнянням виду y = kx + p.
Разом з тим, якщо в рівнянні прямої ax + by = c покласти b = 0, то його можна переписати так: x =
.
Ми отримали окремий вид рівняння прямої, усі точки якої мають однакові абсциси. Отже, ця пряма перпендикулярна до осі абсцис. Її називають вертикальною. Коли b ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c можна записати так:
Позначивши
отримаємо рівняння
у = kx + p.
Отже, якщо b = 0 і а ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c задає вертикальну пряму; якщо b ≠ 0, то це рівняння задає невертикальну пряму.
Рівняння невертикальної прямої зручно записувати у вигляді у = kx + p.
У наведеній таблиці узагальнено матеріал, розглянутий у цьому пункті.
Рівняння |
Значення a, b і c |
Графік |
|
ax + by = c |
b ≠ 0, а і c — будь-які |
Невертикальна пряма |
b = 0, а ≠ 0, c — будь-яке |
Вертикальна пряма |
|
а = b = c = 0 |
Уся координатна площина |
|
а = b = 0, c ≠ 0 |
— |
Задача 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:
1) A (-3; 5) і B (-3; -6); 2) C (6; 1) і D (-18; -7).
Розв’язання. 1) Оскільки дані точки мають рівні абсциси, то пряма AB є вертикальною. Її рівняння має вигляд x = -3.
2) Оскільки дані точки мають різні абсциси, то пряма CD не є вертикальною. Тоді можна скористатися рівнянням прямої у вигляді y = kx + p.
Підставивши координати точок C і D у рівняння y = kx + p, отримуємо систему рівнянь:
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо, що k =
, p = -1.
Відповідь: 1) x = -3; 2) y =
x - 1.
Задача 2. Знайдіть периметр і площу трикутника, обмеженого прямою 5x + 12y = -60 та осями координат.
Розв’язання. Знайдемо точки перетину даної прямої з осями координат.
З віссю абсцис: при у = 0 отримуємо 5х = -60; x = -12.
З віссю ординат: при x = 0 отримуємо 12y = -60; y = -5.
Отже, дана пряма й осі координат обмежують прямокутний трикутник AOB (рис. 10.3) з вершинами A (-12; 0), B (0; -5) і O (0; 0). Знайдемо сторони трикутника: OA = 12, OB = 5, AB
Тоді шукані периметр і площа відповідно дорівнюють P = OA + OB + AB = 30, S =
OA. OB = 30.
Відповідь: P = 30, S = 30.
Рис. 10.3
1. Який вигляд має рівняння прямої на площині ху?
2. Як прийнято називати пряму, усі точки якої мають однакові абсциси? Як розташована ця пряма відносно осі абсцис?
3. Чи будь-яке лінійне рівняння з двома змінними є рівнянням прямої?
4. У якому вигляді зручно записувати рівняння невертикальної прямої?
5. Чи будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням виду у = kx + p?
6. За якої умови рівняння прямої ax + by = c є рівнянням вертикальної прямої? невертикальної прямої?
ВПРАВИ
10.1.° Які з даних рівнянь є рівняннями прямих:
10.2.° Знайдіть координати точок перетину прямої 4x - 5у = 20 з осями координат. Чи належить цій прямій точка:
1) A (10; 4); 2) B (6; 1); 3) C (-1,5; 5,2); 4) D (-1; 5)?
10.3.° Знайдіть координати точок перетину прямої 3x + 4у = 12 з осями координат. Яка з точок M (-2; 4) і K (8; -3) належить цій прямій?
10.4.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (6; -3) і перпендикулярна до осі x. Які координати має точка перетину цієї прямої з віссю х?
10.5.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (5; -8) і перпендикулярна до осі у. Які координати має точка перетину цієї прямої з віссю у?
10.6.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку C (-4; 9) паралельно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат.
10.7.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:
1) A (1; -3) і B (-2; -9); 3) E (-4; -1) і F (9; -1);
2) C (3; 5) і D (3; -10); 4) M (3; -3) і K (-6; 12).
10.8.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:
1) A (2; -5) і B (-3; 10); 2) C (6; -1) і D (24; 2).
10.9.° Знайдіть координати точки перетину прямих:
1) у = 3х - 7 і у = 5х + 9; 2) 2х - 7у = -16 і 6х + 11у = 16.
10.10.° Знайдіть координати точки перетину прямих:
1) у = -4х + 1 і у = 2х - 11; 2) 3х + 2у = 10 і х - 8у = 12.
10.11.✵ Точки A (-6; -1), B (1; 2) і C (-5; -8) — вершини трикутника ABC. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану AK трикутника.
10.12.✵ Точки A (-3; -4), B (-2; 2), C (1; 3) і D (3; -2) — вершини трапеції ABCD (BC || AD). Складіть рівняння прямої, яка містить середню лінію трапеції.
10.13.✵ Абсциси середин бічних сторін трапеції рівні. Чи можна стверджувати, що основи трапеції перпендикулярні до осі абсцис?
10.14. Знайдіть периметр трикутника, обмеженого осями координат і прямою 4х - 3у = 12.
10.15.✵ Знайдіть площу трикутника, обмеженого осями координат і прямою 7у - 2х = 28.
10.16. Знайдіть площу трикутника, обмеженого прямими 3х + 2у = 6 і у =
x та віссю ординат.
10.17.✵ Доведіть, що коло (х - 5) 2 + (у - 5) 2 = 9 і пряма x + у = 7 перетинаються, та знайдіть координати точок їхнього перетину.
10.18.✵ Доведіть, що пряма х + у = 5 є дотичною до кола (х - 3) 2 + + (у + 2) 2 = 8, і знайдіть координати точки дотику.
10.19. Доведіть, що коло (х - 4) 2 + (у - 2) 2 = 1 і пряма 3х + у = 3 не мають спільних точок.
10.20.✵✵ Знайдіть відстань від початку координат до прямої 5х - 2у = 10.
10.21.✵✵ Знайдіть відстань від початку координат до прямої х + у = -8.
10.22.✵✵ Знайдіть довжину хорди кола (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 25, яка лежить на прямій у = 3х.
10.23.✵✵ Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки A (1; -7) і B (-3; 5).
10.24.✵✵ Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки C (2; 3) і D (-5; -2).
10.25.✵✵ Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки A (3; 6).
10.26.✵✵ Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки B (-4; 2).
10.27.* Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A (2; 0) та B (4; 0) і центр якого належить прямій 2х + 3у = 18.
10.28. * Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, радіус яких дорівнює 5 та які відтинають на осі абсцис хорду завдовжки 6.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
10.29. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6
см і 8 см, а кут між ними становить 45°. Знайдіть сторони паралелограма.
10.30. Одна зі сторін трикутника на 15 см більша за другу, а висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки завдовжки 32 см і 7 см. Знайдіть периметр трикутника.
10.31. Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на її більшій основі. Знайдіть радіус кола, якщо діагональ трапеції дорівнює 20 см, а висота — 12 см.