Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
10. Рівняння прямої
У попередньому пункті, розглядаючи коло як ГМТ, рівновіддалених від даної точки, ми вивели його рівняння. Для того щоб вивести рівняння прямої, розглянемо її як ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок.
Нехай a — задана пряма. Виберемо дві точки A (х1; y1) і B (x2; y2) так, щоби пряма a була серединним перпендикуляром відрізка AB (рис. 10.1).
Рис. 10.1
Нехай M (x; у) — довільна точка прямої а. Тоді за властивістю середин
ного перпендикуляра відрізка виконується рівність MA = MB, тобто
(*)
Ми показали, що координати (x; у) довільної точки M прямої а є розв’язком рівняння (*).
Тепер покажемо, що будь-який розв’язок рівняння (*) є координатами точки, яка належить даній прямій a.
Нехай (x0; у0) — довільний розв’язок рівняння (*).
Тоді
Ця рівність
означає, що точка N (x0; у0) рівновіддалена від точок A (x1; у1) і B (x2; у2), отже, точка N належить серединному перпендикуляру відрізка AB, тобто прямій a.
Таким чином, ми довели, що рівняння (*) є рівнянням даної прямої a.
Проте з курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння прямої має набагато простіший вигляд, а саме: ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно. Покажемо, що рівняння (*) можна звести до такого вигляду.
Піднесемо обидві частини рівняння (*) до квадрата. Маємо: (х - x1)2 + (у - y1)2 = (х - x2)2 + (у - y2)2.
Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки. Отримаємо:
Позначивши 2
отримаємо рівняння ax + by = c.
Оскільки точки A (x1; y1) і B (x2; y2) є різними, то хоча б одна з різниць x2 - x1 і y2 - y1 не дорівнює нулю. Отже, числа а і b не дорівнюють нулю одночасно.
Таким чином, ми довели таку теорему.
Теорема 10.1. Рівняння прямої має вигляд
ax + by = c,
де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно.
Є правильним і таке твердження: будь-яке рівняння виду ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому а і b не дорівнюють нулю одночасно, є рівнянням прямої.
Якщо a = b = c = 0, то графіком рівняння ax + by = c є вся площина xy. Якщо a = b = 0 і c ≠ 0, то рівняння не має розв’язків.
Із курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння виду ax + by = c називають лінійним рівнянням з двома змінними. Рівняння прямої є окремим видом лінійного рівняння. Схема, зображена на рисунку 10.2, ілюструє сказане.
Рис. 10.2
Також на уроках алгебри в 7 класі ми прийняли без доведення той факт, що графіком лінійної функції y = kx + p є пряма. Зараз ми можемо це довести.
Перепишемо рівняння y = kx + p так: -kx + y = p. Ми отримали рівняння виду ax + by = c для випадку, коли a = -k, b = 1, c = p. Оскільки в цьому рівнянні b Ф 0, то ми отримали рівняння прямої.
А чи будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням виду y = kx + p? Відповідь на це запитання заперечна.
Річ у тім, що пряма, перпендикулярна до осі абсцис, не може бути графіком функції, а отже, не може бути задана рівнянням виду y = kx + p.
Разом з тим, якщо в рівнянні прямої ax + by = c покласти b = 0, то його можна переписати так: x = 
.
Ми отримали окремий вид рівняння прямої, усі точки якої мають однакові абсциси. Отже, ця пряма перпендикулярна до осі абсцис. Її називають вертикальною. Коли b ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c можна записати так:
Позначивши
отримаємо рівняння
у = kx + p.
Отже, якщо b = 0 і а ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c задає вертикальну пряму; якщо b ≠ 0, то це рівняння задає невертикальну пряму.
Рівняння невертикальної прямої зручно записувати у вигляді у = kx + p.
У наведеній таблиці узагальнено матеріал, розглянутий у цьому пункті.
|
Рівняння |
Значення a, b і c |
Графік |
|
ax + by = c |
b ≠ 0, а і c — будь-які |
Невертикальна пряма |
|
b = 0, а ≠ 0, c — будь-яке |
Вертикальна пряма |
|
|
а = b = c = 0 |
Уся координатна площина |
|
|
а = b = 0, c ≠ 0 |
— |
Задача 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:
1) A (-3; 5) і B (-3; -6); 2) C (6; 1) і D (-18; -7).
Розв’язання. 1) Оскільки дані точки мають рівні абсциси, то пряма AB є вертикальною. Її рівняння має вигляд x = -3.
2) Оскільки дані точки мають різні абсциси, то пряма CD не є вертикальною. Тоді можна скористатися рівнянням прямої у вигляді y = kx + p.
Підставивши координати точок C і D у рівняння y = kx + p, отримуємо систему рівнянь:
Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо, що k = 
, p = -1.
Відповідь: 1) x = -3; 2) y = x - 1.
Задача 2. Знайдіть периметр і площу трикутника, обмеженого прямою 5x + 12y = -60 та осями координат.
Розв’язання. Знайдемо точки перетину даної прямої з осями координат.
З віссю абсцис: при у = 0 отримуємо 5х = -60; x = -12.
З віссю ординат: при x = 0 отримуємо 12y = -60; y = -5.
Отже, дана пряма й осі координат обмежують прямокутний трикутник AOB (рис. 10.3) з вершинами A (-12; 0), B (0; -5) і O (0; 0). Знайдемо сторони трикутника: OA = 12, OB = 5, AB 
Тоді шукані периметр і площа відповідно дорівнюють P = OA + OB + AB = 30, S = 
OA. OB = 30.
Відповідь: P = 30, S = 30.
Рис. 10.3
1. Який вигляд має рівняння прямої на площині ху?
2. Як прийнято називати пряму, усі точки якої мають однакові абсциси? Як розташована ця пряма відносно осі абсцис?
3. Чи будь-яке лінійне рівняння з двома змінними є рівнянням прямої?
4. У якому вигляді зручно записувати рівняння невертикальної прямої?
5. Чи будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням виду у = kx + p?
6. За якої умови рівняння прямої ax + by = c є рівнянням вертикальної прямої? невертикальної прямої?
ВПРАВИ
10.1.° Які з даних рівнянь є рівняннями прямих:
10.2.° Знайдіть координати точок перетину прямої 4x - 5у = 20 з осями координат. Чи належить цій прямій точка:
1) A (10; 4); 2) B (6; 1); 3) C (-1,5; 5,2); 4) D (-1; 5)?
10.3.° Знайдіть координати точок перетину прямої 3x + 4у = 12 з осями координат. Яка з точок M (-2; 4) і K (8; -3) належить цій прямій?
10.4.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (6; -3) і перпендикулярна до осі x. Які координати має точка перетину цієї прямої з віссю х?
10.5.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (5; -8) і перпендикулярна до осі у. Які координати має точка перетину цієї прямої з віссю у?
10.6.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку C (-4; 9) паралельно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат.
10.7.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:
1) A (1; -3) і B (-2; -9); 3) E (-4; -1) і F (9; -1);
2) C (3; 5) і D (3; -10); 4) M (3; -3) і K (-6; 12).
10.8.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:
1) A (2; -5) і B (-3; 10); 2) C (6; -1) і D (24; 2).
10.9.° Знайдіть координати точки перетину прямих:
1) у = 3х - 7 і у = 5х + 9; 2) 2х - 7у = -16 і 6х + 11у = 16.
10.10.° Знайдіть координати точки перетину прямих:
1) у = -4х + 1 і у = 2х - 11; 2) 3х + 2у = 10 і х - 8у = 12.
10.11.• Точки A (-6; -1), B (1; 2) і C (-5; -8) — вершини трикутника ABC. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану AK трикутника.
10.12.• Точки A (-3; -4), B (-2; 2), C (1; 3) і D (3; -2) — вершини трапеції ABCD (BC || AD). Складіть рівняння прямої, яка містить середню лінію трапеції.
10.13.• Абсциси середин бічних сторін трапеції рівні. Чи можна стверджувати, що основи трапеції перпендикулярні до осі абсцис?
10.14. Знайдіть периметр трикутника, обмеженого осями координат і прямою 4х - 3у = 12.
10.15.• Знайдіть площу трикутника, обмеженого осями координат і прямою 7у - 2х = 28.
10.16. Знайдіть площу трикутника, обмеженого прямими 3х + 2у = 6 і у = 
x та віссю ординат.
10.17.• Доведіть, що коло (х - 5)2 + (у - 5)2 = 9 і пряма x + у = 7 перетинаються, та знайдіть координати точок їхнього перетину.
10.18.• Доведіть, що пряма х + у = 5 є дотичною до кола (х - 3)2 + + (у + 2)2 = 8, і знайдіть координати точки дотику.
10.19. Доведіть, що коло (х - 4)2 + (у - 2)2 = 1 і пряма 3х + у = 3 не мають спільних точок.
10.20.•• Знайдіть відстань від початку координат до прямої 5х - 2у = 10.
10.21.•• Знайдіть відстань від початку координат до прямої х + у = -8.
10.22.•• Знайдіть довжину хорди кола (х + 1)2 + (у - 2)2 = 25, яка лежить на прямій у = 3х.
10.23.•• Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки A (1; -7) і B (-3; 5).
10.24.•• Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки C (2; 3) і D (-5; -2).
10.25.•• Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки A (3; 6).
10.26.•• Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки B (-4; 2).
10.27.* Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A (2; 0) та B (4; 0) і центр якого належить прямій 2х + 3у = 18.
10.28.* Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, радіус яких дорівнює 5 та які відтинають на осі абсцис хорду завдовжки 6.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
10.29. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6
см і 8 см, а кут між ними становить 45°. Знайдіть сторони паралелограма.
10.30. Одна зі сторін трикутника на 15 см більша за другу, а висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки завдовжки 32 см і 7 см. Знайдіть периметр трикутника.
10.31. Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на її більшій основі. Знайдіть радіус кола, якщо діагональ трапеції дорівнює 20 см, а висота — 12 см.