Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

10. Рівняння прямої

У попередньому пункті, розглядаючи коло як ГМТ, рівновіддалених від даної точки, ми вивели його рівняння. Для того щоб вивести рівняння прямої, розглянемо її як ГМТ, рівновіддалених від двох даних точок.

Нехай a — задана пряма. Виберемо дві точки A (х 1; y 1) і B (x 2; y 2) так, щоби пряма a була серединним перпендикуляром відрізка AB (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Нехай M (x; у) — довільна точка прямої а. Тоді за властивістю середин

ного перпендикуляра відрізка виконується рівність MA = MB, тобто

(*)

Ми показали, що координати (x; у) довільної точки M прямої а є розв’язком рівняння (*).

Тепер покажемо, що будь-який розв’язок рівняння (*) є координатами точки, яка належить даній прямій a.

Нехай (x 0; у 0) — довільний розв’язок рівняння (*).

Тоді

Ця рівність

означає, що точка N (x 0; у 0) рівновіддалена від точок A (x 1; у 1) і B (x 2; у 2), отже, точка N належить серединному перпендикуляру відрізка AB, тобто прямій a.

Таким чином, ми довели, що рівняння (*) є рівнянням даної прямої a.

Проте з курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння прямої має набагато простіший вигляд, а саме: ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно. Покажемо, що рівняння (*) можна звести до такого вигляду.

Піднесемо обидві частини рівняння (*) до квадрата. Маємо: (х - x 1) 2 + (у - y 1) 2 = (х - x 2) 2 + (у - y 2) 2.

Розкриємо дужки та зведемо подібні доданки. Отримаємо:

Позначивши 2

отримаємо рівняння ax + by = c.

Оскільки точки A (x 1; y 1) і B (x 2; y 2) є різними, то хоча б одна з різниць x 2 - x 1 і y 2 - y 1 не дорівнює нулю. Отже, числа а і b не дорівнюють нулю одночасно.

Таким чином, ми довели таку теорему.

Теорема 10.1. Рівняння прямої має вигляд

ax + by = c,

де a, b і c — деякі числа, причому a і b не дорівнюють нулю одночасно.

Є правильним і таке твердження: будь-яке рівняння виду ax + by = c, де a, b і c — деякі числа, причому а і b не дорівнюють нулю одночасно, є рівнянням прямої.

Якщо a = b = c = 0, то графіком рівняння ax + by = c є вся площина xy. Якщо a = b = 0 і c ≠ 0, то рівняння не має розв’язків.

Із курсу алгебри 7 класу ви знаєте, що рівняння виду ax + by = c називають лінійним рівнянням з двома змінними. Рівняння прямої є окремим видом лінійного рівняння. Схема, зображена на рисунку 10.2, ілюструє сказане.

Рис. 10.2

Також на уроках алгебри в 7 класі ми прийняли без доведення той факт, що графіком лінійної функції y = kx + p є пряма. Зараз ми можемо це довести.

Перепишемо рівняння y = kx + p так: -kx + y = p. Ми отримали рівняння виду ax + by = c для випадку, коли a = -k, b = 1, c = p. Оскільки в цьому рівнянні b Ф 0, то ми отримали рівняння прямої.

А чи будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням виду y = kx + p? Відповідь на це запитання заперечна.

Річ у тім, що пряма, перпендикулярна до осі абсцис, не може бути графіком функції, а отже, не може бути задана рівнянням виду y = kx + p.

Разом з тим, якщо в рівнянні прямої ax + by = c покласти b = 0, то його можна переписати так: x = .

Ми отримали окремий вид рівняння прямої, усі точки якої мають однакові абсциси. Отже, ця пряма перпендикулярна до осі абсцис. Її називають вертикальною. Коли b ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c можна записати так:

Позначивши

отримаємо рівняння

у = kx + p.

Отже, якщо b = 0 і а ≠ 0, то рівняння прямої ax + by = c задає вертикальну пряму; якщо b ≠ 0, то це рівняння задає невертикальну пряму.

Рівняння невертикальної прямої зручно записувати у вигляді у = kx + p.

У наведеній таблиці узагальнено матеріал, розглянутий у цьому пункті.

Рівняння

Значення a, b і c

Графік

ax + by = c

b ≠ 0, а і c — будь-які

Невертикальна пряма

b = 0, а ≠ 0,

c — будь-яке

Вертикальна пряма

а = b = c = 0

Уся координатна площина

а = b = 0, c ≠ 0

Задача 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:

1) A (-3; 5) і B (-3; -6); 2) C (6; 1) і D (-18; -7).

Розв’язання. 1) Оскільки дані точки мають рівні абсциси, то пряма AB є вертикальною. Її рівняння має вигляд x = -3.

2) Оскільки дані точки мають різні абсциси, то пряма CD не є вертикальною. Тоді можна скористатися рівнянням прямої у вигляді y = kx + p.

Підставивши координати точок C і D у рівняння y = kx + p, отримуємо систему рівнянь:

Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо, що k = , p = -1.

Відповідь: 1) x = -3; 2) y = x - 1.

Задача 2. Знайдіть периметр і площу трикутника, обмеженого прямою 5x + 12y = -60 та осями координат.

Розв’язання. Знайдемо точки перетину даної прямої з осями координат.

З віссю абсцис: при у = 0 отримуємо 5х = -60; x = -12.

З віссю ординат: при x = 0 отримуємо 12y = -60; y = -5.

Отже, дана пряма й осі координат обмежують прямокутний трикутник AOB (рис. 10.3) з вершинами A (-12; 0), B (0; -5) і O (0; 0). Знайдемо сторони трикутника: OA = 12, OB = 5, AB

Тоді шукані периметр і площа відповідно дорівнюють P = OA + OB + AB = 30, S = OA. OB = 30.

Відповідь: P = 30, S = 30.

Рис. 10.3

1. Який вигляд має рівняння прямої на площині ху?

2. Як прийнято називати пряму, усі точки якої мають однакові абсциси? Як розташована ця пряма відносно осі абсцис?

3. Чи будь-яке лінійне рівняння з двома змінними є рівнянням прямої?

4. У якому вигляді зручно записувати рівняння невертикальної прямої?

5. Чи будь-яку пряму на площині можна задати рівнянням виду у = kx + p?

6. За якої умови рівняння прямої ax + by = c є рівнянням вертикальної прямої? невертикальної прямої?

ВПРАВИ

10.1.° Які з даних рівнянь є рівняннями прямих:

10.2.° Знайдіть координати точок перетину прямої 4x - 5у = 20 з осями координат. Чи належить цій прямій точка:

1) A (10; 4); 2) B (6; 1); 3) C (-1,5; 5,2); 4) D (-1; 5)?

10.3.° Знайдіть координати точок перетину прямої 3x + 4у = 12 з осями координат. Яка з точок M (-2; 4) і K (8; -3) належить цій прямій?

10.4.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (6; -3) і перпендикулярна до осі x. Які координати має точка перетину цієї прямої з віссю х?

10.5.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (5; -8) і перпендикулярна до осі у. Які координати має точка перетину цієї прямої з віссю у?

10.6.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку C (-4; 9) паралельно: 1) осі абсцис; 2) осі ординат.

10.7.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:

1) A (1; -3) і B (-2; -9); 3) E (-4; -1) і F (9; -1);

2) C (3; 5) і D (3; -10); 4) M (3; -3) і K (-6; 12).

10.8.° Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки:

1) A (2; -5) і B (-3; 10); 2) C (6; -1) і D (24; 2).

10.9.° Знайдіть координати точки перетину прямих:

1) у = 3х - 7 і у = 5х + 9; 2) 2х - 7у = -16 і 6х + 11у = 16.

10.10.° Знайдіть координати точки перетину прямих:

1) у = -4х + 1 і у = 2х - 11; 2) 3х + 2у = 10 і х - 8у = 12.

10.11.✵ Точки A (-6; -1), B (1; 2) і C (-5; -8) — вершини трикутника ABC. Складіть рівняння прямої, яка містить медіану AK трикутника.

10.12.✵ Точки A (-3; -4), B (-2; 2), C (1; 3) і D (3; -2) — вершини трапеції ABCD (BC || AD). Складіть рівняння прямої, яка містить середню лінію трапеції.

10.13.✵ Абсциси середин бічних сторін трапеції рівні. Чи можна стверджувати, що основи трапеції перпендикулярні до осі абсцис?

10.14. Знайдіть периметр трикутника, обмеженого осями координат і прямою 4х - 3у = 12.

10.15.✵ Знайдіть площу трикутника, обмеженого осями координат і прямою 7у - 2х = 28.

10.16. Знайдіть площу трикутника, обмеженого прямими 3х + 2у = 6 і у = x та віссю ординат.

10.17.✵ Доведіть, що коло (х - 5) 2 + (у - 5) 2 = 9 і пряма x + у = 7 перетинаються, та знайдіть координати точок їхнього перетину.

10.18.✵ Доведіть, що пряма х + у = 5 є дотичною до кола (х - 3) 2 + + (у + 2) 2 = 8, і знайдіть координати точки дотику.

10.19. Доведіть, що коло (х - 4) 2 + (у - 2) 2 = 1 і пряма 3х + у = 3 не мають спільних точок.

10.20.✵✵ Знайдіть відстань від початку координат до прямої 5х - 2у = 10.

10.21.✵✵ Знайдіть відстань від початку координат до прямої х + у = -8.

10.22.✵✵ Знайдіть довжину хорди кола (х + 1) 2 + (у - 2) 2 = 25, яка лежить на прямій у = 3х.

10.23.✵✵ Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки A (1; -7) і B (-3; 5).

10.24.✵✵ Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки C (2; 3) і D (-5; -2).

10.25.✵✵ Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки A (3; 6).

10.26.✵✵ Знайдіть координати точки, яка рівновіддалена від осей координат і від точки B (-4; 2).

10.27.* Складіть рівняння кола, яке проходить через точки A (2; 0) та B (4; 0) і центр якого належить прямій 2х + 3у = 18.

10.28. * Складіть рівняння геометричного місця центрів кіл, радіус яких дорівнює 5 та які відтинають на осі абсцис хорду завдовжки 6.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

10.29. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними становить 45°. Знайдіть сторони паралелограма.

10.30. Одна зі сторін трикутника на 15 см більша за другу, а висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки завдовжки 32 см і 7 см. Знайдіть периметр трикутника.

10.31. Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на її більшій основі. Знайдіть радіус кола, якщо діагональ трапеції дорівнює 20 см, а висота — 12 см.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити