§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

11. Кутовий коефіцієнт прямої

Розглянемо рівняння у = kx. Воно задає невертикальну пряму, яка проходить через початок координат.

Покажемо, що прямі y = kx та у = kx + b, де b ≠ 0, паралельні.

Точки O (0; 0) і C (1; k) належать прямій у = kx, а точки A (0; b) і B (1; k + b) належать прямій y = kx + b (рис. 11.1). Легко переконатися (зробіть це самостійно), що середини діагоналей AC і OB чотирикутника OABC збігаються. Отже, чотирикутник OABC — паралелограм. Звідси AB || OC.

Рис. 11.1

Тепер ми можемо зробити такий висновок:

якщо k₁ = k₂ і b₁ ≠ b₂, то прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ паралельні (1).

Нехай пряма у = kx перетинає одиничне півколо в точці M (x₀; у₀) (рис. 11.2). Кут AOM називають кутом між даною прямою та додатним напрямом осі абсцис.

Якщо пряма у = kx збігається з віссю абсцис, то кут між цією прямою та додатним напрямом осі абсцис вважають рівним 0°.

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Якщо пряма у = kx утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, то вважають, що й пряма у = kx + b, яка паралельна прямій у = kx, також утворює кут а з додатним напрямом осі абсцис (рис. 11.3).

Розглянемо пряму MO, рівняння якої має вигляд y = kx (рис. 11.2). Якщо ∠MOA = а, то

Оскільки точка

M (x₀; y₀) належить прямій y = kx, то

Звідси k = tg а.

Таким чином, для прямої y = kx + b отримуємо, що

k = tg а,

де а — кут, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі абсцис. Тому коефіцієнт k називають кутовим коефіцієнтом цієї прямої.

Коли невертикальні прямі паралельні, то вони утворюють рівні кути з додатним напрямом осі абсцис. Тоді тангенси цих кутів рівні, отже, рівні і їхні кутові коефіцієнти.

Таким чином,

якщо прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ паралельні, то k₁ = k₂ (2).

Висновки (1) і (2) об’єднаємо в одну теорему.

Теорема 11.1. Прямі y = k₁x + b₁ і y = k₂x + b₂ є паралельними тоді й тільки тоді, коли k₁ = k₂ і b₁ ≠ b₂.

Задача. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-4; 3) і паралельна прямій y = 0,5x - 4.

Розв’язання. Нехай рівняння шуканої прямої y = kx + p. Оскільки ця пряма й пряма y = 0,5x - 4 паралельні, то їхні кутові коефіцієнти рівні, тобто k = 0,5.

Отже, шукане рівняння має вигляд y = 0,5x + p. Ураховуючи, що дана пряма проходить через точку A (-4; 3), отримуємо: 0,5 ∙ (-4) + p = 3. Звідси p = 5.

Шукане рівняння має вигляд y = 0,5x + 5.

Відповідь: y = 0,5x + 5.

1. Поясніть, що називають кутом між прямою та додатним напрямом осі абсцис.

2. Чому вважають рівним кут між прямою, яка паралельна осі абсцис або збігається з нею, та додатним напрямом осі абсцис?

3. Що називають кутовим коефіцієнтом прямої?

4. Як пов'язані кутовий коефіцієнт прямої та кут між прямою й додатним напрямом осі абсцис?

5. Сформулюйте необхідну і достатню умову паралельності двох невертикальних прямих на координатній площині.

ВПРАВИ

11.1.° Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:

1) y = 2х - 7; 3) y = x + 10; 5) у = 4;

2) у = -3x; 4) у = 5 - х; 6) 3х - 2у = 4?

11.2. ° Які з прямих у = 6х - 5, у = 0,6х + 1, y = x + 4, у = 2 - 6х і у = 600 + 0,6х паралельні?

11.3.° Яке число треба підставити замість зірочки, щоби були паралельними прямі:

1) у = 8х - 14 і у = *х + 2;

2) у = *x - 1 і у = 3 - 4x?

11.4.° Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій:

1) у = 14х - 11; 2) у = -1,15х + 2.

11.5.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; 7) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює:

1) 4; 2) -3; 3) 0.

11.6.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (2; -5) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює -0,5.

11.7.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M (-1; 9) і паралельна прямій:

1) у = -7х + 3; 2) 3х - 4у = -8.

11.8. • Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку і паралельна прямій:

1) у = 9x - 16; 2) 6x + 2у = 7.

11.9.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (2; 6) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 60°; 2) 120°.

11.10.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (3; -2) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) 45°; 2) 135°.

11.11.• Складіть рівняння прямої, зображеної на рисунку 11.4.

Рис. 11.4

11.12.• Визначте, чи паралельні прямі:

1) 2x - 5у = 9 і 5y - 2х = 1; 3) 7x - 2у = 12 і 7x - 3у = 12;

2) 8x + 12y = 15 і 4x + 6у = 9; 4) 3x + 2у = 3 і 6x + 4у = 6.

11.13.• Доведіть, що прямі 7x - 6у = 3 і 6y - 7х = 6 паралельні.

11.14.•• Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 4х + 2 і перетинає пряму y = -8x + 9 у точці, що належить осі ординат.

11.15.•• Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 3х + 4 і перетинає пряму y = -4x + 16 у точці, що належить осі абсцис.

11.16.* Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої y = -x + 3 і проходить через точку A (1; 5).

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

11.17. В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриси кутів A і B перетинаються в точці O (рис. 11.5). Доведіть, що кут AOB дорівнює півсумі кутів C і D.

11.18. Висота ромба, проведена з вершини його тупого кута, ділить сторону ромба на відрізки 7 см і 18 см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть діагоналі ромба.

11.19. Медіани рівнобедреного трикутника дорівнюють 15 см, 15 см і 18 см. Знайдіть площу трикутника.

Рис. 11.5

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

11.20. Якого найменшого значення може набувати радіус круга, з якого можна вирізати трикутник зі сторонами 2 см, 3 см, 4 см?