Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
11. Кутовий коефіцієнт прямої
Розглянемо рівняння у = kx. Воно задає невертикальну пряму, яка проходить через початок координат.
Покажемо, що прямі y = kx та у = kx + b, де b ≠ 0, паралельні.
Точки O (0; 0) і C (1; k) належать прямій у = kx, а точки A (0; b) і B (1; k + b) належать прямій y = kx + b (рис. 11.1). Легко переконатися (зробіть це самостійно), що середини діагоналей AC і OB чотирикутника OABC збігаються. Отже, чотирикутник OABC — паралелограм. Звідси AB || OC.
Рис. 11.1
Тепер ми можемо зробити такий висновок:
якщо k1 = k2 і b1 ≠ b2, то прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 паралельні (1).
Нехай пряма у = kx перетинає одиничне півколо в точці M (x0; у0) (рис. 11.2). Кут AOM називають кутом між даною прямою та додатним напрямом осі абсцис.
Якщо пряма у = kx збігається з віссю абсцис, то кут між цією прямою та додатним напрямом осі абсцис вважають рівним 0°.
Рис. 11.2
Рис. 11.3
Якщо пряма у = kx утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, то вважають, що й пряма у = kx + b, яка паралельна прямій у = kx, також утворює кут а з додатним напрямом осі абсцис (рис. 11.3).
Розглянемо пряму MO, рівняння якої має вигляд y = kx (рис. 11.2). Якщо ∠MOA = а, то
Оскільки точка
M (x0; y0) належить прямій y = kx, то 
Звідси k = tg а.
Таким чином, для прямої y = kx + b отримуємо, що
k = tg а,
де а — кут, який утворює ця пряма з додатним напрямом осі абсцис. Тому коефіцієнт k називають кутовим коефіцієнтом цієї прямої.
Коли невертикальні прямі паралельні, то вони утворюють рівні кути з додатним напрямом осі абсцис. Тоді тангенси цих кутів рівні, отже, рівні і їхні кутові коефіцієнти.
Таким чином,
якщо прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 паралельні, то k1 = k2 (2).
Висновки (1) і (2) об’єднаємо в одну теорему.
Теорема 11.1. Прямі y = k1x + b1 і y = k2x + b2 є паралельними тоді й тільки тоді, коли k1 = k2 і b1 ≠ b2.
Задача. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-4; 3) і паралельна прямій y = 0,5x - 4.
Розв’язання. Нехай рівняння шуканої прямої y = kx + p. Оскільки ця пряма й пряма y = 0,5x - 4 паралельні, то їхні кутові коефіцієнти рівні, тобто k = 0,5.
Отже, шукане рівняння має вигляд y = 0,5x + p. Ураховуючи, що дана пряма проходить через точку A (-4; 3), отримуємо: 0,5 ∙ (-4) + p = 3. Звідси p = 5.
Шукане рівняння має вигляд y = 0,5x + 5.
Відповідь: y = 0,5x + 5.
1. Поясніть, що називають кутом між прямою та додатним напрямом осі абсцис.
2. Чому вважають рівним кут між прямою, яка паралельна осі абсцис або збігається з нею, та додатним напрямом осі абсцис?
3. Що називають кутовим коефіцієнтом прямої?
4. Як пов'язані кутовий коефіцієнт прямої та кут між прямою й додатним напрямом осі абсцис?
5. Сформулюйте необхідну і достатню умову паралельності двох невертикальних прямих на координатній площині.
ВПРАВИ
11.1.° Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:
1) y = 2х - 7; 3) y = x + 10; 5) у = 4;
2) у = -3x; 4) у = 5 - х; 6) 3х - 2у = 4?
11.2. ° Які з прямих у = 6х - 5, у = 0,6х + 1, y = 
x + 4, у = 2 - 6х і у = 600 + 0,6х паралельні?
11.3.° Яке число треба підставити замість зірочки, щоби були паралельними прямі:
1) у = 8х - 14 і у = *х + 2;
2) у = *x - 1 і у = 3 - 4x?
11.4.° Складіть рівняння прямої, що проходить через початок координат і паралельна прямій:
1) у = 14х - 11; 2) у = -1,15х + 2.
11.5.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; 7) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює:
1) 4; 2) -3; 3) 0.
11.6.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (2; -5) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює -0,5.
11.7.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M (-1; 9) і паралельна прямій:
1) у = -7х + 3; 2) 3х - 4у = -8.
11.8. • Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку 
і паралельна прямій:
1) у = 9x - 16; 2) 6x + 2у = 7.
11.9.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (2; 6) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:
1) 60°; 2) 120°.
11.10.• Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку B (3; -2) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:
1) 45°; 2) 135°.
11.11.• Складіть рівняння прямої, зображеної на рисунку 11.4.
Рис. 11.4
11.12.• Визначте, чи паралельні прямі:
1) 2x - 5у = 9 і 5y - 2х = 1; 3) 7x - 2у = 12 і 7x - 3у = 12;
2) 8x + 12y = 15 і 4x + 6у = 9; 4) 3x + 2у = 3 і 6x + 4у = 6.
11.13.• Доведіть, що прямі 7x - 6у = 3 і 6y - 7х = 6 паралельні.
11.14.•• Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 4х + 2 і перетинає пряму y = -8x + 9 у точці, що належить осі ординат.
11.15.•• Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій y = 3х + 4 і перетинає пряму y = -4x + 16 у точці, що належить осі абсцис.
11.16.* Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої y = -x + 3 і проходить через точку A (1; 5).
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
11.17. В опуклому чотирикутнику ABCD бісектриси кутів A і B перетинаються в точці O (рис. 11.5). Доведіть, що кут AOB дорівнює півсумі кутів C і D.
11.18. Висота ромба, проведена з вершини його тупого кута, ділить сторону ромба на відрізки 7 см і 18 см, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть діагоналі ромба.
11.19. Медіани рівнобедреного трикутника дорівнюють 15 см, 15 см і 18 см. Знайдіть площу трикутника.
Рис. 11.5
СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ
11.20. Якого найменшого значення може набувати радіус круга, з якого можна вирізати трикутник зі сторонами 2 см, 3 см, 4 см?