Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§3 ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

МЕТОД КООРДИНАТ

Ми часто говоримо: пряма у = 2х - 1, парабола y = x2, коло х2 + у2 = 1, тим самим ототожнюючи фігуру з її рівнянням. Такий підхід дає змогу зводити задачу про пошук властивостей фігури до задачі про дослідження її рівняння. У цьому й полягає суть методу координат.

Проілюструємо сказане на такому прикладі.

Із наочних міркувань очевидно, що пряма й коло мають не більше двох спільних точок. Проте це твердження не є аксіомою, тому його потрібно доводити.

Ця задача зводиться до дослідження кількості розв’язків системи рівнянь

де числа а і b одночасно не дорівнюють нулю і R > 0.

Розв’язуючи цю систему методом підстановки, ми отримаємо квадратне рівняння, яке може мати два розв’язки, один розв’язок або взагалі не мати розв’язків. Отже, для даної системи існує три можливих випадки:

1) система має два розв’язки — пряма й коло перетинаються у двох точках;

2) система має один розв’язок — пряма дотикається до кола;

3) система не має розв’язків — пряма й коло не мають спільних точок.

З кожним із цих випадків ви зустрічалися, розв’язуючи задачі 10.17-10.19.

Метод координат є особливо ефективним у тих випадках, коли потрібно знайти фігуру, усім точкам якої притаманна задана властивість, тобто знайти ГМТ.

Позначимо на площині дві точки A і B. Ви добре знаєте, якою фігурою є геометричне місце точок M таких, що

Це серединний перпендикуляр відрізка AB. Цікаво з’ясувати, яку фігуру утворюють усі точки M, для яких де k ≠ 1. Розв’яжемо цю задачу для k = .

Площину, на якій позначено точки A і B, «перетворимо» в координатну. Зробимо це так: за початок відліку виберемо точку A, за одиничний відрізок — відрізок AB, вісь абсцис проведемо так, щоб точка B мала координати (1; 0) (рис. 11.6).

Нехай M (x; у) — довільна точка шуканої фігури F. Тоді 2MA = MB; 4MA2 = MB2. Звідси

(*)

Рис. 11.6

Отже, якщо точка M (x; у) належить фігурі F, то її координати є розв’язком рівняння (*).

Нехай (x1; у1) — деякий розв’язок рівняння (*). Тоді легко показати, що 4 (x12 + у12) = (x1 - 1)2 + у12. А це означає, що точка N (x1; у1) є такою, що 4NA2 = NB2. Тоді 2NA = NB. Отже, точка N належить фігурі F.

Таким чином, рівнянням фігури F є рівняння (*), тобто фігура F — це коло із центром у точці і радіусом . Ми розв’язали задачу для окремого випадку, коли k = . Можна показати, що шуканою фігурою для будь-якого додатного k ≠ 1 буде коло. Це коло називають колом Аполлонія1.

1 Аполлоній Пергський (ІІІ-ІІ ст. до н. е.) — давньогрецький математик і астроном.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити