Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

У цьому параграфі ви дізнаєтеся, що являють собою синус, косинус і тангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°.

Ви навчитеся за двома сторонами трикутника і кутом між ними знаходити третю сторону, а також за стороною і двома прилеглими до неї кутами знаходити дві інші сторони трикутника.

У 8 класі ви навчилися розв'язувати прямокутні трикутники. Вивчивши матеріал цього параграфа, ви зможете розв'язувати будь-які трикутники.

Ви дізнаєтеся про нові формули, за допомогою яких можна знаходити площу трикутника.

1. Синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180°

Поняття синуса, косинуса й тангенса гострого кута вам відомі з курсу геометрії 8 класу. Розширимо ці поняття для довільного кута а, де 0° ≤ а ≤180°.

У верхній півплощині координатної площини розглянемо півколо із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 1 (рис. 1.1). Таке півколо називають одиничним.

Будемо говорити, що куту а (0° ≤ а ≤ 180°) відповідає точка M одиничного півкола, якщо ∠MOA = а, де точки O і A мають відповідно координати (0; 0) і (1; 0) (рис. 1.1). Наприклад, на рисунку 1.1 куту, який дорівнює 90°, відповідає точка C; куту, який дорівнює 180°, — точка B; куту, який дорівнює 0°, — точка A.

Рис. 1.1

Нехай а — гострий кут. Йому відповідає деяка точка M (x; у) дуги AC одиничного півкола (рис. 1.2). У прямокутному трикутнику OMN маємо:

Оскільки OM = 1, ON = x, MN = у, то

cos а = x, sin а = у.

Отже, косинус і синус гострого кута а — це відповідно абсциса й ордината точки M одиничного півкола, яка відповідає куту а.

Отриманий результат підказує, як означити синус і косинус довільного кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°.

Рис. 1.2

Рис. 1.3

Означення. Косинусом і синусом кута a (0° ≤ a ≤ 180°) називають відповідно абсцису й ординату точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a (рис. 1.3).

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, установити, що sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = -1.

Якщо M (x; y) — довільна точка одиничного півкола, то -1 ≤ x ≤ 1 і 0 ≤ y ≤ 1. Отже, для будь-якого кута а, де 0° ≤ a ≤ 180°, маємо:

0 ≤ sin a ≤ 1,

-1 ≤ cos a ≤ 1.

Якщо а — тупий кут, то абсциса точки, що відповідає цьому куту, є від’ємною. Отже, косинус тупого кута є від’ємним числом. Справедливе й таке твердження: якщо cos а < 0, то а — тупий або розгорнутий кут.

Рис. 1.4

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута а виконуються рівності:

sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а

Ці формули залишаються справедливими також для а = 0° і для а = 90° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай кутам а і 180° - а, де а ≠ 0°, а ≠ 90° і а ≠ 180°, відповідають точки M (x1; y1) і N (x2; y2) одиничного півкола (рис. 1.4).

Прямокутні трикутники OMM1 і ONN1 рівні за гіпотенузою та гострим кутом (OM = ON = 1, ∠MOM1 = ∠NON1 = а). Звідси y2 = y1 і x2 = -x1. Отже,

sin (180° - а) = sin а,

cos (180° - а) = -cos а

Переконайтеся самостійно, що ці рівності залишаються правильними для а = 0°, а = 90°, а = 180°.

Якщо а — гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, є справедливою тотожність, яку називають основною тригонометричною тотожністю:

sin2 а + cos2 а = 1

Ця рівність залишається правильною для а = 0°, а = 90°, а = 180° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай а — тупий кут. Тоді кут 180° — а є гострим. Маємо:

sin2 а + cos2 а = (sin (180° - а))2 + (-cos (180° - а))2 =

= sin2 (180° - а) + cos2 (180° - а) = 1.

Отже, рівність sin2 а + cos2 а = 1 виконується для всіх 0° ≤ а ≤180°.

Означення. Тангенсом кута а, де 0°≤ а ≤ 180° і а ≠ 90°, називають відношення тобто

Оскільки cos 90° = 0, то tg а не визначений для а = 90°.

Очевидно, що кожному куту а (0° ≤ а ≤ 180°) відповідає єдина точка одиничного півкола. Отже, кожному куту а відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для а ≠ 90°). Тому залежність значення синуса (косинуса, тангенса) від величини кута є функціональною.

Функції f (а) = sin а, g (а) = cos а, h (а) = tg а, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута а.

Задача 1. Доведіть, що tg (180° - а) = -tg а.

Розв’язання

Задача 2. Знайдіть sin 120°, cos 120°, tg 120°.

Розв’язання. Маємо:

1. Яке півколо називають одиничним?

2. Поясніть, у якому разі говорять, що куту а відповідає точка M одиничного півкола.

3. Що називають синусом кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°?

4. Що називають косинусом кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°?

5. Чому дорівнює sin 0°, cos 0°, sin 90°, cos 90°, sin 180°, cos 180°?

6. У яких межах знаходяться значення sin а, якщо 0° ≤ а ≤ 180°?

7. У яких межах знаходяться значення cos а, якщо 0° ≤ а ≤ 180°?

8. Яким числом - додатним чи від'ємним - є синус гострого кута? синус тупого кута? косинус гострого кута? косинус тупого кута?

9. Яким кутом є кут а, якщо cos а < 0?

10. Чому дорівнює sin (180° - а)? cos (180° - а)?

11. Як пов'язані між собою синус і косинус одного й того самого кута?

12. Що називають тангенсом кута а, де 0° ≤ а ≤ 180° і а ≠ 90°?

13. Чому tg а не визначений для а = 90°?

14. Яку загальну назву мають функції f (а) = sin а, g (а) = cos а і h (а) = = tg а?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

1.1.° Накресліть одиничне півколо, узявши за одиничний такий відрізок, довжина якого в 5 разів більша за сторону клітинки зошита. Побудуйте кут, вершиною якого є початок координат, а однією зі сторін — додатна піввісь осі абсцис:

1) косинус якого дорівнює ;

2) косинус якого дорівнює -0,4;

3) синус якого дорівнює 0,6;

4) синус якого дорівнює 1;

5) косинус якого дорівнює 0;

6) косинус якого дорівнює -1.

ВПРАВИ

1.2.° Чому дорівнює:

1.3.° Кути а і р суміжні,

1) Знайдіть cos р.

2) Який із кутів а і р є гострим, а який — тупим?

1.4.° Знайдіть значення виразу:

1.5.° Обчисліть:

1) 4 cos 90° + 2 cos 180° - tg 180°;

2) cos 0° - cos 180° + sin 90°.

1.6.° Чому дорівнює синус кута, якщо його косинус дорівнює:

1) 1; 2) 0?

1.7.° Чому дорівнює косинус кута, якщо його синус дорівнює:

1) 1; 2) 0?

1.8.° Знайдіть sin 135°, cos 135°, tg 135°.

1.9.° Знайдіть sin 150°, cos 150°, tg 150°.

1.10.° Чи існує кут а, для якого:

1.11.• Знайдіть:

1.12.• Знайдіть:

1.13.• Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):

1) косинус гострого кута більший за косинус тупого кута;

2) існує тупий кут, синус і косинус якого рівні;

3) існує кут, синус і косинус якого дорівнюють нулю;

4) косинус кута трикутника може дорівнювати від’ємному числу;

5) синус кута трикутника може дорівнювати від’ємному числу;

6) косинус кута трикутника може дорівнювати нулю;

7) синус кута трикутника може дорівнювати нулю;

8) косинус кута трикутника може дорівнювати —1;

9) синус кута трикутника може дорівнювати 1;

10) синус кута, відмінного від прямого, менший від синуса прямого кута;

11) косинус розгорнутого кута менший від косинуса кута, відмінного від розгорнутого;

12) синуси суміжних кутів рівні;

13) косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами;

14) якщо косинуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;

15) якщо синуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;

16) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого кута?

1.14.• Порівняйте з нулем значення виразу:

1) sin 110° cos 140°; 3) sin 128° cos2 130° tg 92°;

2) sin 80° cos 100° cos 148°; 4) sin 70° cos 90° tg 104°.

1.15.• Знайдіть значення виразу:

1) 2 sin 120° + 4 cos 150° - 2 tg 135°;

2) 2 cos2 120° - 8 sin2 150° + 3 cos 90° cos 162°;

3) cos 180° (sin 135° tg 60° - cos 135°)2.

1.16.• Чому дорівнює значення виразу:

1) 2 sin 150° - 4 cos 120°;

2) sin 90° (tg 150° cos 135° - tg 120° cos 135°)2?

1.17.• Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:

1.18.• Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:

1.19.• Знайдіть суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника.

1.20.• Знайдіть суму квадратів косинусів усіх кутів прямокутного трикутника.

1.21.• У трикутнику ABC відомо, що ∠B = 60°, точка O — центр вписаного кола. Чому дорівнює косинус кута AOC?

1.22.• Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, Знайдіть кут A трикутника.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1.23. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дорівнює 5 см і ділить сторону паралелограма навпіл. Гострий кут паралелограма дорівнює 30°. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, і кути, які вона утворює зі сторонами паралелограма.

1.24. Пряма CE паралельна бічній стороні AB трапеції ABCD і ділить основу AD на відрізки AE і DE такі, що AE = 7 см, DE = 10 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

1.25. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 11 см. Чи може кут, протилежний стороні завдовжки 8 см, бути:

1) тупим; 2) прямим?

Відповідь обґрунтуйте.

1.26. У трикутнику ABC проведено висоту BD, ∠A = 60°, ∠C = 45°, AB = 10 см. Знайдіть сторону BC.

1.27. Знайдіть висоту BD трикутника ABC і проекцію сторони AB на пряму AC, якщо ∠BAC = 150°, AB = 12 см.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

1.28. Покажіть, що будь-який трикутник можна розрізати на 3 частини так, що з отриманих частин можна скласти прямокутник.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити