Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік
§4 ВЕКТОРИ
15. Множення вектора на число
Нехай дано ненульовий вектор 
. На рисунку 15.1 зображено вектор 
, рівний вектору + , і вектор 
, рівний вектору 
Очевидно, що
Рис. 15.1
Вектор позначають 2 і вважають, що його отримано в результаті множення вектора на число 2. Аналогічно вважають, що вектор отримано в результаті множення вектора на число -3, і записують: 
Цей приклад підказує, як ввести поняття «множення вектора на число».
Означення. Добутком ненульового вектора і числа k, відмінного від нуля, називають такий вектор 
, що:
Пишуть: 
Якщо 
або k = 0, то вважають, що 
На рисунку 15.2 зображено вектори 
З означення випливає, що
Також з означення випливає, що коли 
то вектори 
колінеарні. А якщо вектори 
колінеарні, то чи можна подати вектор у вигляді добутку 
Відповідь дає така теорема.
Рис. 15.2
Теорема 15.1. Якщо вектори 
колінеарні й 
то існує таке число k, що 
Доведення. Якщо 
то при k = 0 отримуємо, що 
Якщо 
то або 
або 
1) Нехай 
Розглянемо вектор 
де 
Оскільки k > 0, то 
отже, 
Крім того, 
Таким чином, вектори 
співнапрямлені та їхні модулі рівні.
Звідси 
2)Нехай 
Розглянемо вектор 
де 
Для цього випадку завершіть доведення самостійно.
Теорема 15.2. Якщо вектор має координати (a1; a2), то вектор k має координати (ka1; ka2).
Доведення. Якщо = 
або k = 0, то твердження теореми очевидне.
Нехай ≠ і k ≠ 0. Розглянемо вектор (ka1; ka2). Покажемо, що = k.
Маємо:
Відкладемо від початку координат вектори 
рівні відповідно векторам 
Оскільки пряма OA проходить через початок координат, то її рівняння має вигляд ax + by = 0.
Цій прямій належить точка A (a1; a2). Тоді aa1 + ba2 = 0. Звідси a (ka1) + b (ka2) = 0.
Отже, точка B (ka1; ka2) теж належить прямій OA, тому вектори 
колінеарні, тобто 
При k > 0 числа a1 і ka1 мають однакові знаки (або обидва дорівнюють нулю). Таку саму властивість мають числа a2 і ka2. Отже, при k > 0 точки A і B лежать в одній координатній чверті (або на одному координатному промені), тому вектори 
співнапрямлені (рис. 15.3), тобто 
При k < 0 вектори 
є протилежно напрямленими, тобто 
Отже, ми отримали, що 
Рис. 15.3
Наслідок 1. Вектори 
колінеарні.
Наслідок 2. Якщо вектори 
колінеарні, причому 
то існує таке число k, що b1 = ka1 і b2 = ka2.
За допомогою теореми 15.2 можна довести такі властивості множення вектора на число.
Для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів 
виконуються рівності:
Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати векторів, записаних у правих і лівих частинах рівностей. Зробіть це самостійно.
Ці властивості дають змогу перетворювати вирази, які містять суму векторів, різницю векторів і добуток вектора на число, аналогічно тому, як ми перетворюємо алгебраїчні вирази. Наприклад,
Задача 1. Доведіть, що коли 
то точки O, A і B лежать на одній прямій.
Розв’язання. З умови випливає, що вектори 
колінеарні. До того ж ці вектори відкладено від однієї точки O. Отже, точки O, A і B лежать на одній прямій.
Задача 2. Точка M — середина відрізка AB і X — довільна точка (рис. 15.4). Доведіть, що 
Розв’язання. Застосовуючи правило трикутника, запишемо:
Додамо ці дві рівності: 
Оскільки вектори 
протилежні, то 
Маємо: 
Звідси 
Рис. 15.4
Рис. 15.5
Рис. 15.6
Задача 3. Доведіть, що середини основ трапеції та точка перетину продовжень її бічних сторін лежать на одній прямій.
Розв’язання. Нехай точки M і N — середини основ BC і AD трапеції ABCD, O — точка перетину прямих AB і CD (рис. 15.5).
Застосовуючи ключову задачу 2, запишемо:
Оскільки 
де k і k1 — деякі числа.
Оскільки ABOC ~ AAOD, то 
Отже, k = k1.
Маємо: 
Із ключової задачі 1 випливає, що точки O, M і N лежать на одній прямій.
Задача 4. Доведіть, що коли M — точка перетину медіан трикутника ABC, то 
Розв’язання1. Нехай відрізки AA1, BB1 і CC1 — медіани трикутника ABC (рис. 15.6). Маємо:
1 У вказівці до задачі 14.53 наведено інший спосіб розв’язання задачі 4.
Звідси 
Із властивості медіан трикутника випливає, що AM = 
АА1.
Тоді 
Аналогічно 
Звідси 
1. Що називають добутком ненульового вектора і числа k, відмінного від нуля?
2. Чому дорівнює добуток k, якщо k = 0 або = ?
3. Що можна сказати про ненульові вектори 
якщо 
де k - деяке число?
4. Відомо, що вектори 
колінеарні, причому 
Як можна виразити вектор через вектор ?
5. Вектор має координати (а1; а2). Чому дорівнюють координати вектора k?
6. Що можна сказати про вектори, координати яких дорівнюють (а1; а2) і (ka1; ka2)?
7. Як пов'язані між собою відповідні координати колінеарних векторів 
8. Запишіть сполучну та розподільні властивості множення вектора на число.
ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ
15.1.° Дано вектори 
(рис. 15.7). Побудуйте вектор:
15.2.° Дано вектори 
(рис. 15.7). Побудуйте вектор:
15.3.° Дано вектори 
(рис. 15.8). Побудуйте вектор:
Рис. 15.7
Рис. 15.8
15.4.° Побудуйте два неколінеарних вектори 
Позначте довільну точку O. Від точки O відкладіть вектор:
15.5.• Побудуйте три точки A, B і C такі, що:
15.6. Накресліть трикутник ABC. Позначте точку M — середину сторони AC.
1) Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору 
2) Від точки B відкладіть вектор, рівний вектору 
15.7.• Накресліть трапецію ABCD (BC || AD). Позначте точку M — середину сторони AB. Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору 
15.8. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте вектор, рівний вектору 
так, щоб його початок належав стороні AB, а кінець — стороні BC.
ВПРАВИ
15.9.° Знайдіть модулі векторів 
15.10.° Який із векторів, 
співнапрямлений із вектором , якщо 
15.11.° Визначте, співнапрямленими чи протилежно напрямленими є ненульові вектори 
якщо:
Знайдіть відношення 
15.12.° Виразіть вектор 
з рівності:
15.13.° У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Виразіть:
15.14.° У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O, 
Виразіть вектор 
через вектори 
15.15.° У паралелограмі ABCD на діагоналі AC позначено точку M так, що AM : MC = 1 : 3. Виразіть вектор 
через вектори 
15.16.° У паралелограмі ABCD точка M — середина сторони BC, 
Виразіть вектори 
через вектори 
15.17.° У трикутнику ABC точки M і N — середини сторін AB і BC відповідно. Виразіть:
15.18.° На відрізку AB завдовжки 18 см позначено точку C так, що BC = 6 см. Виразіть:
15.19.° Дано вектор (-4; 2). Знайдіть координати та модулі векторів 
15.20.° Дано вектор (-6; 12). Знайдіть координати та модулі векторів 
15.21.° Дано вектор (3; -2). Які з векторів (-3; -2), 
(-6; 4), 
колінеарні вектору ?
15.22.° Дано вектори 
Знайдіть координати вектора:
15.23.° Дано вектори 
Знайдіть координати вектора:
15.24.• На сторонах AB і AC трикутника ABC позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = AN : NC = 1 : 2. Виразіть вектор 
через вектор 
.
15.25.• Точки O, A і B лежать на одній прямій. Доведіть, що існує таке число k, що 
15.26.• На сторонах AB і BC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Виразіть вектор 
через вектори 
15.27.• На сторонах BC і CD паралелограма ABCD позначено відповідно точки E і F так, що BE : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Виразіть вектор 
через вектори 
15.28.• Доведіть, що вектори 
колінеарні, якщо A (1; 1), B (3; -2), C (-1; 3), D (5; -6).
15.29. Серед векторів 
укажіть пари колінеарних векторів.
15.30. Дано вектори 
Укажіть пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.
15.31.• Знайдіть значення x, при яких вектори 
колінеарні.
15.32.• При яких значеннях у вектори 
колінеарні?
15.33.• Дано вектор 
Знайдіть координати вектора, колінеарного вектору , модуль якого вдвічі більший за модуль вектора . Скільки розв’язків має задача?
15.34. Знайдіть координати вектора 
, протилежно напрямленого вектору 
якщо 
15.35.• Знайдіть координати вектора , співнапрямленого з вектором 
якщо 
15.36.• Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A (-1; 2), B (3; 5), C (14; 6) і D (2; -3) є трапецією.
15.37.• Доведіть, що точки A (-1; 3), B (4; -7) і D (-2; 5) лежать на одній прямій.
15.38.• Дано вектори 
Знайдіть такі числа x і у, що 
15.39.•• У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. На стороні BC позначено точку K так, що BK : KC = 2 : 3. Виразіть вектор 
через вектори 
15.40.•• Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O так, що AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3. Виразіть вектори 
через вектори 
15.41.•• На сторонах AB і BC трикутника ABC позначено відповідно точки K і F так, що AK : KB = 1 : 2 і BF : FC = 2 : 3. Виразіть вектори 
через вектори 
15.42.•• На сторонах AC і BC трикутника ABC позначено відповідно точки M і N так, що AM : MC = 1 : 3 і BN : NC = 4 : 3. Виразіть вектори 
через вектори 
15.43.•• Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Виразіть вектор 
через вектори 
15.44.•• За допомогою векторів доведіть теорему про середню лінію трикутника.
15.45.•• Точки M1 і M2 — середини відрізків A1B1 і A2B2 відповідно. Доведіть, що 
15.46.•• Використовуючи задачу 15.45, доведіть теорему про середню лінію трапеції.
15.47.•• Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD чотирикутника ABCD. Використовуючи задачу 15.45, доведіть, що 
15.48.•• Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD трапеції ABCD (BC || AD). Використовуючи задачу 15.45, доведіть, що MN II AD.
15.49.•• На стороні AC трикутника ABC позначено точку M так, що AM : MC = 2 : 3. Доведіть, що 
15.50.•• На стороні BC трикутника ABC позначено точку D так, що BD : DC = 1 : 2. Доведіть, що 
15.51.* Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.
15.52.* Точки M1 і М2 — середини відрізків A1B1 і A2B2 відповідно. Доведіть, що середини відрізків A1A2, M1M2 і B1B2 лежать на одній прямій.
15.53.* На стороні AD і на діагоналі AC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що AM = 
AD і AN = 
AC. Доведіть, що точки M, N і B лежать на одній прямій.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
15.54. Менша основа та бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см. Чому дорівнює середня лінія трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 60°?
15.55. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 16 см, а одна зі сторін — 7 см. Знайдіть кут між діагоналями паралелограма та його площу.
15.56. Знайдіть хорду кола радіуса R, кінці якої розбивають це коло на дві дуги, довжини яких відносяться як 2 : 1.
СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ
15.57. Дано квадрат розміром 101 х 101 клітинку. Клітинки квадрата розфарбували в шаховому порядку в чорний і білий кольори так, що центральна клітинка виявилася чорною. Для кожної пари різнокольорових клітинок відкладають вектор, початок якого збігається із центром чорної клітинки, а кінець — із центром білої. Доведіть, що сума всіх відкладених векторів дорівнює нуль-вектору.