§4 ВЕКТОРИ

15. Множення вектора на число

Нехай дано ненульовий вектор . На рисунку 15.1 зображено вектор , рівний вектору + , і вектор , рівний вектору

Очевидно, що

Рис. 15.1

Вектор позначають 2 і вважають, що його отримано в результаті множення вектора на число 2. Аналогічно вважають, що вектор отримано в результаті множення вектора на число -3, і записують:

Цей приклад підказує, як ввести поняття «множення вектора на число».

Означення. Добутком ненульового вектора і числа k, відмінного від нуля, називають такий вектор , що:

Пишуть:

Якщо або k = 0, то вважають, що

На рисунку 15.2 зображено вектори

З означення випливає, що

Також з означення випливає, що коли то вектори колінеарні. А якщо вектори колінеарні, то чи можна подати вектор у вигляді добутку

Відповідь дає така теорема.

Рис. 15.2

Теорема 15.1. Якщо вектори колінеарні й то існує таке число k, що

Доведення. Якщо то при k = 0 отримуємо, що

Якщо то або або

1) Нехай

Розглянемо вектор де

Оскільки k > 0, то отже,

Крім того,

Таким чином, вектори співнапрямлені та їхні модулі рівні.

Звідси

2)Нехай

Розглянемо вектор де

Для цього випадку завершіть доведення самостійно.

Теорема 15.2. Якщо вектор має координати (a₁; a₂), то вектор k має координати (ka₁; ka₂).

Доведення. Якщо = або k = 0, то твердження теореми очевидне.

Нехай ≠ і k ≠ 0. Розглянемо вектор (ka₁; ka₂). Покажемо, що = k.

Маємо:

Відкладемо від початку координат вектори рівні відповідно векторам

Оскільки пряма OA проходить через початок координат, то її рівняння має вигляд ax + by = 0.

Цій прямій належить точка A (a₁; a₂). Тоді aa₁ + ba₂ = 0. Звідси a (ka₁) + b (ka₂) = 0.

Отже, точка B (ka₁; ka₂) теж належить прямій OA, тому вектори колінеарні, тобто

При k > 0 числа a₁ і ka₁ мають однакові знаки (або обидва дорівнюють нулю). Таку саму властивість мають числа a₂ і ka₂. Отже, при k > 0 точки A і B лежать в одній координатній чверті (або на одному координатному промені), тому вектори співнапрямлені (рис. 15.3), тобто

При k < 0 вектори є протилежно напрямленими, тобто Отже, ми отримали, що

Рис. 15.3

Наслідок 1. Вектори колінеарні.

Наслідок 2. Якщо вектори колінеарні, причому то існує таке число k, що b₁ = ka₁ і b₂ = ka₂.

За допомогою теореми 15.2 можна довести такі властивості множення вектора на число.

Для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів виконуються рівності:

Для доведення цих властивостей досить порівняти відповідні координати векторів, записаних у правих і лівих частинах рівностей. Зробіть це самостійно.

Ці властивості дають змогу перетворювати вирази, які містять суму векторів, різницю векторів і добуток вектора на число, аналогічно тому, як ми перетворюємо алгебраїчні вирази. Наприклад,

Задача 1. Доведіть, що коли то точки O, A і B лежать на одній прямій.

Розв’язання. З умови випливає, що вектори колінеарні. До того ж ці вектори відкладено від однієї точки O. Отже, точки O, A і B лежать на одній прямій.

Задача 2. Точка M — середина відрізка AB і X — довільна точка (рис. 15.4). Доведіть, що

Розв’язання. Застосовуючи правило трикутника, запишемо:

Додамо ці дві рівності:

Оскільки вектори протилежні, то

Маємо:

Звідси

Рис. 15.4

Рис. 15.5

Рис. 15.6

Задача 3. Доведіть, що середини основ трапеції та точка перетину продовжень її бічних сторін лежать на одній прямій.

Розв’язання. Нехай точки M і N — середини основ BC і AD трапеції ABCD, O — точка перетину прямих AB і CD (рис. 15.5).

Застосовуючи ключову задачу 2, запишемо:

Оскільки де k і k₁ — деякі числа.

Оскільки ABOC ~ AAOD, то

Отже, k = k₁.

Маємо:

Із ключової задачі 1 випливає, що точки O, M і N лежать на одній прямій.

Задача 4. Доведіть, що коли M — точка перетину медіан трикутника ABC, то

Розв’язання¹. Нехай відрізки AA₁, BB₁ і CC₁ — медіани трикутника ABC (рис. 15.6). Маємо:

¹ У вказівці до задачі 14.53 наведено інший спосіб розв’язання задачі 4.

Звідси

Із властивості медіан трикутника випливає, що AM = АА₁.

Тоді

Аналогічно

Звідси

1. Що називають добутком ненульового вектора і числа k, відмінного від нуля?

2. Чому дорівнює добуток k, якщо k = 0 або = ?

3. Що можна сказати про ненульові вектори якщо де k - деяке число?

4. Відомо, що вектори колінеарні, причому Як можна виразити вектор через вектор ?

5. Вектор має координати (а₁; а₂). Чому дорівнюють координати вектора k?

6. Що можна сказати про вектори, координати яких дорівнюють (а₁; а₂) і (ka₁; ka₂)?

7. Як пов'язані між собою відповідні координати колінеарних векторів

8. Запишіть сполучну та розподільні властивості множення вектора на число.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

15.1.° Дано вектори (рис. 15.7). Побудуйте вектор:

15.2.° Дано вектори (рис. 15.7). Побудуйте вектор:

15.3.° Дано вектори (рис. 15.8). Побудуйте вектор:

Рис. 15.7

Рис. 15.8

15.4.° Побудуйте два неколінеарних вектори Позначте довільну точку O. Від точки O відкладіть вектор:

15.5.• Побудуйте три точки A, B і C такі, що:

15.6. Накресліть трикутник ABC. Позначте точку M — середину сторони AC.

1) Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору

2) Від точки B відкладіть вектор, рівний вектору

15.7.• Накресліть трапецію ABCD (BC || AD). Позначте точку M — середину сторони AB. Від точки M відкладіть вектор, рівний вектору

15.8. Накресліть трикутник ABC. Побудуйте вектор, рівний вектору так, щоб його початок належав стороні AB, а кінець — стороні BC.

ВПРАВИ

15.9.° Знайдіть модулі векторів

15.10.° Який із векторів, співнапрямлений із вектором , якщо

15.11.° Визначте, співнапрямленими чи протилежно напрямленими є ненульові вектори якщо:

Знайдіть відношення

15.12.° Виразіть вектор з рівності:

15.13.° У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. Виразіть:

15.14.° У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O, Виразіть вектор через вектори

15.15.° У паралелограмі ABCD на діагоналі AC позначено точку M так, що AM : MC = 1 : 3. Виразіть вектор через вектори

15.16.° У паралелограмі ABCD точка M — середина сторони BC, Виразіть вектори через вектори

15.17.° У трикутнику ABC точки M і N — середини сторін AB і BC відповідно. Виразіть:

15.18.° На відрізку AB завдовжки 18 см позначено точку C так, що BC = 6 см. Виразіть:

15.19.° Дано вектор (-4; 2). Знайдіть координати та модулі векторів

15.20.° Дано вектор (-6; 12). Знайдіть координати та модулі векторів

15.21.° Дано вектор (3; -2). Які з векторів (-3; -2), (-6; 4), колінеарні вектору ?

15.22.° Дано вектори Знайдіть координати вектора:

15.23.° Дано вектори Знайдіть координати вектора:

15.24.• На сторонах AB і AC трикутника ABC позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = AN : NC = 1 : 2. Виразіть вектор через вектор .

15.25.• Точки O, A і B лежать на одній прямій. Доведіть, що існує таке число k, що

15.26.• На сторонах AB і BC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1. Виразіть вектор через вектори

15.27.• На сторонах BC і CD паралелограма ABCD позначено відповідно точки E і F так, що BE : EC = 3 : 1, CF : FD = 1 : 3. Виразіть вектор через вектори

15.28.• Доведіть, що вектори колінеарні, якщо A (1; 1), B (3; -2), C (-1; 3), D (5; -6).

15.29. Серед векторів укажіть пари колінеарних векторів.

15.30. Дано вектори Укажіть пари співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

15.31.• Знайдіть значення x, при яких вектори колінеарні.

15.32.• При яких значеннях у вектори колінеарні?

15.33.• Дано вектор Знайдіть координати вектора, колінеарного вектору , модуль якого вдвічі більший за модуль вектора . Скільки розв’язків має задача?

15.34. Знайдіть координати вектора , протилежно напрямленого вектору якщо

15.35.• Знайдіть координати вектора , співнапрямленого з вектором якщо

15.36.• Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A (-1; 2), B (3; 5), C (14; 6) і D (2; -3) є трапецією.

15.37.• Доведіть, що точки A (-1; 3), B (4; -7) і D (-2; 5) лежать на одній прямій.

15.38.• Дано вектори Знайдіть такі числа x і у, що

15.39.•• У паралелограмі ABCD діагоналі перетинаються в точці O. На стороні BC позначено точку K так, що BK : KC = 2 : 3. Виразіть вектор через вектори

15.40.•• Діагоналі чотирикутника ABCD перетинаються в точці O так, що AO : OC = 1 : 2, BO : OD = 4 : 3. Виразіть вектори

через вектори

15.41.•• На сторонах AB і BC трикутника ABC позначено відповідно точки K і F так, що AK : KB = 1 : 2 і BF : FC = 2 : 3. Виразіть вектори через вектори

15.42.•• На сторонах AC і BC трикутника ABC позначено відповідно точки M і N так, що AM : MC = 1 : 3 і BN : NC = 4 : 3. Виразіть вектори через вектори

15.43.•• Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M. Виразіть вектор через вектори

15.44.•• За допомогою векторів доведіть теорему про середню лінію трикутника.

15.45.•• Точки M₁ і M₂ — середини відрізків A₁B₁ і A₂B₂ відповідно. Доведіть, що

15.46.•• Використовуючи задачу 15.45, доведіть теорему про середню лінію трапеції.

15.47.•• Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD чотирикутника ABCD. Використовуючи задачу 15.45, доведіть, що

15.48.•• Точки M і N — відповідно середини діагоналей AC і BD трапеції ABCD (BC || AD). Використовуючи задачу 15.45, доведіть, що MN II AD.

15.49.•• На стороні AC трикутника ABC позначено точку M так, що AM : MC = 2 : 3. Доведіть, що

15.50.•• На стороні BC трикутника ABC позначено точку D так, що BD : DC = 1 : 2. Доведіть, що

15.51.* Доведіть, що існує трикутник, сторони якого дорівнюють медіанам даного трикутника.

15.52.* Точки M₁ і М₂ — середини відрізків A₁B₁ і A₂B₂ відповідно. Доведіть, що середини відрізків A₁A₂, M₁M₂ і B₁B₂ лежать на одній прямій.

15.53.* На стороні AD і на діагоналі AC паралелограма ABCD позначено відповідно точки M і N так, що AM = AD і AN = AC. Доведіть, що точки M, N і B лежать на одній прямій.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

15.54. Менша основа та бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнюють 12 см. Чому дорівнює середня лінія трапеції, якщо один з її кутів дорівнює 60°?

15.55. Діагоналі паралелограма дорівнюють 6 см і 16 см, а одна зі сторін — 7 см. Знайдіть кут між діагоналями паралелограма та його площу.

15.56. Знайдіть хорду кола радіуса R, кінці якої розбивають це коло на дві дуги, довжини яких відносяться як 2 : 1.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

15.57. Дано квадрат розміром 101 х 101 клітинку. Клітинки квадрата розфарбували в шаховому порядку в чорний і білий кольори так, що центральна клітинка виявилася чорною. Для кожної пари різнокольорових клітинок відкладають вектор, початок якого збігається із центром чорної клітинки, а кінець — із центром білої. Доведіть, що сума всіх відкладених векторів дорівнює нуль-вектору.