Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§4 ВЕКТОРИ

ЗАСТОСУВАННЯ ВЕКТОРІВ

При застосуванні векторів до розв’язування задач часто використовують таку лему.

Лема. Нехай M — така точка відрізка AB, що (рис. 15.9). Тоді для будь-якої точки X виконується рівність

Доведення. Маємо:

Оскільки

Запишемо:

Оскільки то маємо:

Рис. 15.9

Зауважимо, що ця лема є узагальненням ключової задачі 2 п. 15.

Задача. Нехай M — точка перетину медіан трикутника ABC і X — довільна точка (рис. 15.10). Доведіть, що

Рис. 15.10

Рис. 15.11

Розв’язання. Нехай точка K — середина відрізка AC. Маємо: BM : MK = 2 : 1. Тоді, використовуючи лему, можна записати:

Доведемо векторну рівність, яка пов’язує дві чудові1 точки трикутника.

Теорема. Якщо точка H — ортоцентр трикутника ABC, а точка O — центр його описаного кола, то

(*)

Доведення. Для прямокутного трикутника рівність (*) є очевидною.

Нехай трикутник ABC не є прямокутним. Опустимо з точки O перпендикуляр OK на сторону AC трикутника ABC (рис. 15.11). У курсі геометрії 8 класу було доведено, що BH = 2OK.

На промені OK позначимо точку P таку, що OK = KP. Тоді BH = OP. Оскільки BH || OP, то чотирикутник HBOP — паралелограм.

За правилом паралелограма

Оскільки точка K є серединою відрізка AC, то в чотирикутнику AOCP діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, цей чотирикутник — паралелограм. Звідси

Маємо:

Звернемося до векторної рівності де M — точка перетину медіан трикутника ABC. Оскільки X — 1 Матеріал про чудові точки трикутника див. у підручнику «Геометрія. 8 клас».

довільна точка, то рівність залишається правильною, якщо за точку X вибрати точку O — центр описаного кола трикутника ABC.

Маємо:

Беручи до уваги рівність (*), отримуємо:

Ця рівність означає, що точки O, M і H лежать на одній прямій, яку називають прямою Ейлера. Нагадаємо, що цю чудову властивість було доведено в підручнику 8 класу, але в інший спосіб.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити