Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§4 ВЕКТОРИ

16. Скалярний добуток векторів

Нехай — два ненульових та неспівнапрямлених вектори (рис. 16.1). Від довільної точки O відкладемо вектори відповідно рівні векторам Величину кута AOBназиватимемо кутом між векторами Кут між векторами позначають так: Наприклад, на рисунку 16.1 а на рисунку 16.2

Рис. 16.1

Рис. 16.2

Якщо вектори співнапрямлені, то вважають, що Якщо хоча б один із векторів нульовий, то також вважають, що Отже, для будь-яких векторів має місце нерівність:

Вектори називають перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90°. Пишуть:

Ви вмієте додавати й віднімати вектори, множити вектор на число. Також із курсу фізики ви знаєте, що коли під впливом постійної сили тіло перемістилося з точки A в точку B(рис. 16.3), то виконана механічна робота дорівнює

де

Рис. 16.3

Викладене вище підказує, що доцільно ввести ще одну дію над векторами.

Означення. Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток векторів позначають так:

Маємо:

Якщо хоча б один із векторів нульовий, то очевидно, що Нехай Тоді

Скалярний добуток називають скалярним квадратом вектора і позначають

Ми отримали, що тобто скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля.

Теорема 16.1. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Поведения. Нехай

Доведемо, що

Маємо:

Звідси

Нехай тепер

Доведемо, що

Запишемо:

Оскільки то

Звідси тобто

Теорема 16.2. Скалярний добуток векторів можна обчислити за формулою

Доведення. Спочатку розглянемо випадок, коли вектори неколінеарні.

Відкладемо від початку координат вектори відповідно рівні векторам (рис. 16.4). Тоді

Застосуємо теорему косинусів до трикутника AOB:

AB2= OA2+ OB2- 2OA ∙ OB ∙ cos ∠AOB.

Рис. 16.4

Звідси

Оскільки

Крім того,

Звідси

Маємо:

Скориставшася формулою знаходження модуля вектора за його координатами, запишемо:

Спрощуючи вираз, який записано в правій частині останньої рівності, отримуємо:

Розглянемо випадок, коли вектори колінеарні. Якщо то очевидно, що Якщо то існує таке число k, що тобто b1 = ka1, b2 = ka2. Якщо k > 0, то

Маємо:

Випадок, коли k < 0, розгляньте самостійно.

Наслідок. Косинус кута між ненульовими векторами можна обчислити за формулою

(*)

Доведення. З означення скалярного добутку векторів випливає, що

Скориставшася теоремою 16.2 і формулою знаходження модуля вектора за його координатами, отримуємо формулу (*).

За допомогою теореми 16.2 легко довести такі властивості скалярного добутку векторів.

Для будь-яких векторів і будь-якого числа k виконуються рівності:

Для доведення цих властивостей достатньо виразити через координати векторів скалярні добутки, записані в правих і лівих частинах рівностей, та порівняти їх. Зробіть це самостійно.

Ці властивості разом із властивостями додавання векторів і множення вектора на число дають змогу перетворювати вирази, які містять скалярний добуток векторів, аналогічно тому, як ми перетворюємо алгебраїчні вирази.

Наприклад,

Задача 1. За допомогою векторів доведіть, що діагоналі ромба перпендикулярні.

Розв’язання. На рисунку 16.5 зображено ромб ABCD. Нехай Очевидно, що

За правилом паралелограма маємо:

Звідси

Рис.16.5

Задача 2. Відомо, що

Знайдіть

Розв’язання. Оскільки скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, то

Звідси

Відповідь:

Задача 3. У трикутнику ABC відомо, що AB = 4 см, BC = ∠ABC = 30°. Знайдіть медіану BM.

Розв’язання. Застосовуючи ключову задачу 2 п. 15, запишемо: (рис. 16.6).

Звідси

Отже, BM2 = 49; BM = 7 см.

Відповідь: 7 см.

Рис. 16.6

1. Опишіть, як можна побудувати кут, величина якого дорівнює куту між двома ненульовими та неспівнапрямленими векторами.

2. Чому дорівнює кут між двома співнапрямленими векторами?

3. Чому дорівнює кут між векторами якщо хоча б один із них нульовий?

4. Як позначають кут між векторами

5. У яких межах знаходиться кут між будь-якими векторами

6. Які вектори називають перпендикулярними?

7. Що називають скалярним добутком двох векторів?

8. Що називають скалярним квадратом вектора?

9. Чому дорівнює скалярний квадрат вектора?

10. Сформулюйте умову перпендикулярності двох ненульових векторів.

11. Що випливає з рівності якщо

12. Як знайти скалярний добуток векторів, якщо відомо їхні координати?

13. Як знайти косинус кута між двома ненульовими векторами, якщо відомо їхні координати?

14. Запишіть властивості скалярного добутку векторів.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

16.1.° Побудуйте кут, величина якого дорівнює куту між векторами (рис. 16.7).

16.2.° Побудуйте кут, величина якого дорівнює куту між векторами (рис. 16.8).

Рис. 16.7

Рис. 16.8

Рис. 16.9

16.3.° На рисунку 16.9 зображено вектор (довжина сторони клітинки дорівнює 0,5 см). Відкладіть від точки A вектор такий, що Скільки розв’язків має задача?

ВПРАВИ

16.4.° На рисунку 16.10 зображено рівносторонній трикутник ABC, медіани AM і BK якого перетинаються в точці F. Знайдіть кут між векторами:

Рис. 16.10

Рис. 16.11

Рис. 16.12

16.5.° На рисунку 16.11 зображено квадрат ABCD, діагоналі якого перетинаються в точці O. Знайдіть кут між векторами:

16.6.° Знайдіть скалярний добуток векторів якщо:

16.7.° Знайдіть скалярний добуток векторів якщо:

16.8.° Знайдіть скалярний добуток векторів якщо:

16.9.° Знайдіть скалярний добуток векторів якщо:

16.10.° На рисунку 16.12 зображено ромб ABCD, у якому AB = 6, ∠ABC = 120°. Знайдіть скалярний добуток векторів:

16.11.° У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠A = 30°, CB = 2. Знайдіть скалярний добуток векторів:

16.12.° Знайдіть роботу сили величиною 6 Н з переміщення тіла на відстань 7 м, якщо кут між напрямами сили та переміщення дорівнює 60°.

16.13.° Знайдіть косинус кута між векторами

16.14.° Який знак має скалярний добуток векторів, якщо кут між ними:

1) гострий; 2) тупий?

16.15.° Відомо, що скалярний добуток векторів є:

1) додатним числом; 2) від’ємним числом.

Визначте вид кута між векторами.

16.16.• У рівносторонньому трикутнику ABC, сторона якого дорівнює 1, медіани AA, і BB, перетинаються в точці M. Обчисліть:

16.17.• Точка O — центр правильного шестикутника ABCDEF, сторона якого дорівнює 1. Обчисліть:

16.18.• При якому значенні x вектори перпендикулярні?

16.19.• Відомо, що x ≠ 0 і у ≠ 0. Доведіть, що вектори перпендикулярні.

16.20.• При яких значеннях x вектори перпендикулярні?

16.21.• При якому значенні у скалярний добуток векторів дорівнює 14?

16.22.• При яких значеннях x кут між векторами

1) гострий; 2) тупий?

16.23.• Знайдіть координати вектора , колінеарного вектору якщо

16.24. Відомо, що вектори неколінеарні та При яких значеннях x вектори перпендикулярні?

16.25.• Вектори перпендикулярні. Доведіть, що

16.26.• Відомо, що Знайдіть скалярний добуток

16.27.• Знайдіть скалярний добуток якщо

16.28.• Відомо, що Знайдіть

16.29.• Відомо, що Знайдіть

16.30.• Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A (3; -2), B (4; 0), C (2; 1) і D (1; -1) є прямокутником.

16.31.• Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами A (-1; 4), B (-2; 5), C (-1; 6) і D (0; 5) є квадратом.

16.32.• Знайдіть косинуси кутів трикутника з вершинами A (1; 6), B (-2; 3) і C (2; -1).

16.33.• Знайдіть кути трикутника з вершинами

16.34.• Доведіть, що для будь-яких двох векторів виконується нерівність

16.35.• Визначте взаємне розміщення двох ненульових векторів якщо:

16.36.•• Знайдіть кут між векторами якщо

16.37.•• Знайдіть кут між векторами якщо

16.38.•• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 1, BC = . Доведіть, що його медіани AK і CM перпендикулярні.

16.39.•• У чотирикутнику ABCD діагоналі AC і BD перпендикулярні та перетинаються в точці O. Відомо, що OB = OC = 1, OA = 2, OD = 3. Знайдіть кут між прямими AB і DC.

16.40.•• У трикутнику ABC проведено медіану BD. Відомо, що Знайдіть кут ABD.

16.41.* На сторонах AB і BC трикутника ABC у зовнішній бік побудовано квадрати ABMN і BCKF. Доведіть, що медіана BD трикутника ABC перпендикулярна до прямої MF.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

16.42. Точка M — середина діагоналі AC опуклого чотирикутника ABCD (рис. 16.13). Доведіть, що чотирикутники ABMD і CBMD рівновеликі.

16.43. Перпендикуляр, проведений із точки перетину діагоналей ромба, ділить його сторону на відрізки, один з яких на 7 см більший за другий. Знайдіть периметр ромба, якщо його висота дорівнює 24 см.

Рис. 16.13

16.44. На висоті правильного трикутника зі стороною 6 см як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги цього кола, яка розташована поза трикутником.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити