Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

2. Теорема косинусів

Із першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторони та кут між ними однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна, наприклад, знайти третю сторону трикутника. Як це зробити, показує така теорема.

Теорема 2.1 (теорема косинусів). Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Доведення. 0 Розглянемо трикутник ABC. Доведемо, наприклад, що

BC2= AB2+ AC2- 2 AB ∙ AC ∙ cos A.

Можливі три випадки:

1) кут A гострий;

2) кут Aтупий;

3) кут Aпрямий.

Перший випадок. Нехай кут A гострий. Тоді хоча б один із кутів B або C є гострим.

• Нехай ∠C < 90°. Проведемо висоту BD. Вона повністю належатиме трикутнику ABC (рис. 2.1).

У прямокутному трикутнику ABD:

BD = AB ∙ sin A, AD = AB ∙ cos A.

У прямокутному трикутнику BDC: BC2 = BD2 + CD2 =

= BD2 + (AC - AD)2 = AB2∙ sin2 A + (AC - AB ∙ cos A)2 =

= AB2 ∙ sin2 A + AC2 - 2 AC ∙ AB ∙ cos A + AB2 ∙ cos2 A =

= AB2 ∙ (sin2 A + cos2 A) + AC2 - 2AC ∙ AB ∙ cos A =

= AB2 + AC2 - 2AB ∙ AC ∙ cos A.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

• Нехай ∠B < 90°. Проведемо висоту трикутника ABC із вершини C. Вона повністю належатиме трикутнику ABC. Доведення для цього випадку аналогічне розглянутому. Проведіть його самостійно.

Другий випадок. Нехай кут A тупий. Проведемо висоту BD трикутника ABC (рис. 2.2).

У прямокутному трикутнику ABD: BD = AB ∙ sin ∠BAD =

= AB ∙ sin (180° - ∠BAC) = AB ∙ sin ∠BAC,

AD = AB ∙ cos ∠BAD = AB ∙ cos (180° - ∠BAC) = - AB ∙ cos ∠BAC.

У прямокутному трикутнику BDC: BC2 = BD2 + CD2 =

= BD2 + (AC + AD)2 = AB2 ∙ sin2∠BAC + (AC - AB ∙ cos ∠BAC)2 =

= AB2 + AC2 - 2AB ∙ AC ∙ cos ∠BAC.

Третій випадок. Нехай кут A прямий (рис. 2.3). Тоді cos A = 0. Треба довести, що BC2 = AB2 + AC2. Ця рівність випливає з теореми

Піфагора для трикутника ABC.

Доведення теореми косинусів показує, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, а теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора.

Якщо скористатися позначеннями для довжин сторін і величин кутів трикутника ABC (див. форзац), то, наприклад, для сторони, довжина якої дорівнює a, можна записати:

a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

Рис. 2.3

За допомогою теореми косинусів, знаючи три сторони трикутника, можна визначити, чи є він гострокутним, тупокутним або прямокутним.

Теорема 2.2 (наслідок з теореми косинусів). Нехай a, b і c — довжини сторін трикутника, причому a — довжина його найбільшої сторони. Якщо a2 < b2 + c2, то трикутник є гострокутним. Якщо a2 > b2 + c2, то трикутник є тупокутним. Якщо a2 = b2 + c2, то трикутник є прямокутним.

Доведення. За теоремою косинусів

a2= b2+ c2- 2bc cos a.

Звідси 2bc cos a = b2 + c2 - a2.

Нехай a2 < b2 + c2. Тоді b2 + c2 - a2 > 0. Звідси 2bc cos a > 0, тобто cos a > 0. Тому кут a гострий.

Оскільки a — довжина найбільшої сторони трикутника, то проти цієї сторони лежить найбільший кут, який, як ми довели, є гострим. Отже, у цьому випадку трикутник є гострокутним.

Нехай a2 > b2 + c2. Тоді b2+ c2 - a2 < 0. Звідси 2bc cos a < 0, тобто cos a < 0. Тому кут a тупий. Отже, у цьому випадку трикутник є тупокутним.

Нехай a2= b2+ c2. Тоді 2bc cos a = 0. Звідси cos a = 0. Отже, a = 90°. У цьому випадку трикутник є прямокутним.

Задача 1. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Розв’язання. На рисунку 2.4 зображено паралелограм ABCD.

Мал. 2.4

Нехай AB = CD = a, BC = AD = b, ∠BAD = а, тоді ∠ADC = 180° - a. Із трикутника ABD за теоремою косинусів отримуємо:

BD2 = a2 + b2- 2ab cos a. (1)

Із трикутника ACD за теоремою косинусів отримуємо:

AC2= a2+ b2 - 2ab cos (180° - a). Звідси

AC2 = a2 + b2 + 2ab cos a. (2)

Додавши рівності (1) і (2), отримаємо:

BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2.

Задача 2. У трикутнику ABC сторона AB на 4 см більша за сторону BC, ∠B = 120°, AC = 14 см. Знайдіть сторони AB і BC.

Розв’язання. За теоремою косинусів

AC2 = AB2 + BC2 - 2 AB ∙ BC ∙ cos B.

Нехай BC = x см, x > 0, тоді AB = (х + 4) см.

Маємо:

Корінь -10 не задовольняє умову х > 0.

Отже, BC = 6 см, AB = 10 см.

Відповідь: 10 см, 6 см.

Задача 3. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що CD : AD = 1 : 2. Знайдіть відрізок BD, якщо AB = 14 см, BC = 13 см, AC = 15 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів з трикутника ABC (рис. 2.5) отримуємо:

AB2= AC2+ BC2 - 2AC ∙ BC ∙ cos C.

Звідси

Оскільки CD : AD = 1 : 2, то CD = AC = 5 (см).

Рис. 2.5

Тоді з трикутника BCD отримуємо:

Отже,

Відповідь:

Задача 4. Дві сторони трикутника дорівнюють 23 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої з відомих сторін, — 10 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв’язання. Нехай у трикутнику ABC відомо, що AC = 23 см, BC = 30 см, відрізок AM — медіана, AM = 10 см.

На продовженні відрізка AM за точку M відкладемо відрізок MD, який дорівнює медіані AM (рис. 2.6). Тоді AD = 20 см.

У чотирикутнику ABDC діагоналі AD і BC точкою M перетину діляться навпіл (BM = MC за умовою, AM = MD за побудовою). Отже, чотирикутник ABDC — паралелограм.

Оскільки сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін (див. ключову задачу 1), то AD2 + BC2 = 2 (AB2 + AC2).

Тоді

202 + 302 = 2 (AB2 + 232);

400 + 900 = 2 (AB2 + 529);

AB2 = 121;

AB = 11 см.

Відповідь: 11 см.

Рис. 2.6

1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами а, b і с, де а - довжина його найбільшої сторони, якщо:

1) а2 < b2 + с2;

2) а2 > b2 + с2;

3) а2 = b2 + с2 ?

3. Як пов'язані між собою діагоналі та сторони паралелограма?

ВПРАВИ

2.1.° Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

2.2.° Знайдіть невідому сторону трикутника DEF, якщо:

2.3.° Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 20 см і 28 см. Знайдіть найбільший кут трикутника.

2.4.° Сторони трикутника дорівнюють см, 5 см і 7 см. Знайдіть середній за величиною кут трикутника.

2.5.° Установіть, гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник, сторони якого дорівнюють:

1) 5 см, 7 см і 9 см; 3) 10 см, 15 см і 18 см.

2) 5 см, 12 см і 13 см;

2.6.° Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 12 см. Чи є даний трикутник гострокутним?

2.7.° Доведіть, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

2.8.° Сторони паралелограма дорівнюють 2 см і 5 см, а один із кутів дорівнює 45°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

2.9.° У трапеції ABCD відомо, що BC || AD, BC = 3 см, AD = 10 см, CD = 4 см, ∠D = 60°. Знайдіть діагоналі трапеції.

2.10.° На стороні AB рівностороннього трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DB = 2 : 1. Знайдіть відрізок CD, якщо AB = 6 см.

2.11.° На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точку M так, що AM : BM = 1 : 3. Знайдіть відрізок CM, якщо AC = BC = 4 см.

2.12.• Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а синус кута між ними дорівнює Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки розв’язків має задача?

2.13.• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 15 см. На стороні AB позначено точку M так, що BM = 4 см. Знайдіть відрізок CM.

2.14. На продовженні гіпотенузи AB прямокутного рівнобедреного трикутника ABC за точку B позначено точку D так, що BD = BC. Знайдіть відрізок CD, якщо катет трикутника ABC дорівнює а.

2.15.• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AB = 13 см, AC = = 12 см. На продовженні гіпотенузи AB за точку B позначено точку D так, що BD = 26 см. Знайдіть відрізок CD.

2.16. Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях a і b від кінців гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

2.17.• Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, BC = a, AC = b, ∠AOB = 120°. Знайдіть сторону AB.

2.18. Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°, відносяться як 5 : 8, а третя сторона дорівнює 21 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.19. Дві сторони трикутника відносяться як 1: 2 і утворюють кут, величина якого становить 30°. Третя сторона трикутника дорівнює 2 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.20. Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут величиною 120°, дорівнює 8 см, а довжина третьої сторони — 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.21.• Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 120°, відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

2.22.• Дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 14 см, а кут, протилежний меншій із відомих сторін, дорівнює 60°. Знайдіть невідому сторону трикутника.

2.23.• Дві сторони трикутника дорівнюють 15 см і 35 см, а кут, протилежний більшій із відомих сторін, дорівнює 120°. Знайдіть периметр трикутника.

2.24. На стороні BC трикутника ABC позначено точку D так, що CD = 14 см. Знайдіть відрізок AD, якщо AB = 37 см, BC = 44 см і AC = 15 см.

2.25.• На стороні AB трикутника ABC позначено точку K, а на продовженні сторони BC за точку C — точку M. Знайдіть відрізок MK, якщо AB = 15 см, BC = 7 см, AC = 13 см, AK = 8 см, MC = 3 см.

2.26. Одна зі сторін трикутника у 2 рази більша за другу, а кут між цими сторонами становить 60°. Доведіть, що даний трикутник є прямокутним.

2.27.• Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату суми двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 120°.

2.28. Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату різниці двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 60°.

2.29. Дві сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна з діагоналей — 12 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма.

2.30. Діагоналі паралелограма дорівнюють 13 см і 11 см, а одна зі сторін — 9 см. Знайдіть периметр паралелограма.

2.31.• Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а одна зі сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть сторони паралелограма.

2.32.• Сторони паралелограма дорівнюють 11 см і 23 см, а його діагоналі відносяться як 2 : 3. Знайдіть діагоналі паралелограма.

2.33.•• У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, AB = 5 см, BC = 9 см, AD = 16 см, cos A = . Знайдіть сторону CD трапеції.

2.34.•• У трапеції ABCD відомо, що AD || BC, AB = см, BC = 6 см, CD = 4 см, AD = 11 см. Знайдіть косинус кута D трапеції.

2.35.•• Знайдіть діагональ AC чотирикутника ABCD, якщо навколо нього можна описати коло і AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, AD = 6 см.

2.36.•• Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо AB = 4 см, AD = 3 см, BD = 6 см і ∠C = 30°?

2.37.•• Доведіть, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Сформулюйте та доведіть обернене твердження.

2.38.•• Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого кута.

2.39.•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а бічна сторона — 20 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при його основі.

2.40.•• Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 18 см і 26 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.

2.41.•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, проведена до бічної сторони, — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

2.42.•• Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 14 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 7 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

2.43.•• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠ABC = 120°. На продовженні відрізка AB за точку B позначено точку D так, що BD = 2AB. Доведіть, що трикутник ACDрівнобедрений.

2.44.•• Доведіть, що в трикутнику зі сторонами a, b і c виконується рівність де mc — медіана трикутника, проведена до сторони, довжина якої дорівнює c.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

2.45. У колі проведено діаметр AC і хорду AB, яка дорівнює радіусу кола. Знайдіть кути трикутника ABC.

2.46. Один із кутів, утворених при перетині бісектриси кута паралелограма з його стороною, дорівнює одному з кутів паралелограма. Знайдіть кути паралелограма.

2.47. У трикутник ABC вписано паралелограм ADEF так, що кут A у них спільний, а точки D, E і F належать відповідно сторонам AB, BC і AC трикутника. Знайдіть сторони паралелограма ADEF, якщо AB = 8 см, AC = 12 см, AD : AF = 2 : 3.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

2.48. Знайдіть кут ADC (рис. 2.7), якщо ∠ABC = 140°.

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рис. 2.9

2.49. Знайдіть кут ABC (рис. 2.8), якщо ∠ADC = 43°.

2.50. Відрізок AB — діаметр кола, радіус якого дорівнює R, ∠ABC = а (рис. 2.9). Знайдіть хорду AC.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити