Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§4 ВЕКТОРИ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 4

Вектор

Якщо вказано, яка точка є початком відрізка, а яка точка — його кінцем, то такий відрізок називають напрямленим відрізком або вектором.

Колінеарні вектори

Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

Рівні вектори

Ненульові вектори називають рівними, якщо їхні модулі рівні й вони співнапрямлені. Будь-які два нульових вектори рівні. Рівні вектори мають рівні відповідні координати. Якщо відповідні координати векторів рівні, то рівні й самі вектори.

Координати вектора

Якщо точки A (х1; y1) і B (x2; y2) відповідно є початком і кінцем вектора , то числа x2 - x1 и y2 - y1 дорівнюють відповідно першій і другій координатам вектора .

Модуль вектора

Якщо вектор має координати (а1; а2), то

Правила додавання двох векторів

Правило трикутника

Відкладемо від довільної точки A вектор , рівний вектору , а від точки B — вектор , рівний вектору . Вектор — сума векторів

Для будь-яких трьох точок А, B і C виконується рівність

Правило паралелограма

Відкладемо від довільної точки A вектор , рівний вектору , і вектор , рівний вектору . Побудуємо паралелограм ABCD.

Тоді вектор — сума векторів

Координати суми векторів Якщо координати векторів відповідно дорівнюють (а1; а2) і (b1; b2), то координати вектора дорівнюють (а1 + b1; а2 + b2).

Властивості додавання векторів

Для будь-яких векторів виконуються рівності:

Різниця векторів

Різницею векторів називають такий вектор , сума якого з вектором дорівнює вектору .

Для будь-яких трьох точок O, A і B виконується рівність

Координати різниці векторів

Якщо координати векторів

відповідно дорівнюють (а1; а2) і (b1; b2), то координати вектора дорівнюють (а1 - b1; а2 - b2).

Протилежні вектори

Два ненульових вектори називають протилежними, якщо їхні модулі рівні й вектори протилежно напрямлені.

Для будь-яких точок A і B виконується рівність

Множення вектора на число

Добутком ненульового вектора і числа k, відмінного від нуля, називають такий вектор , що:

Якщо або k = 0, то вважають, що

Якщо вектор має координати (а1; a2), то вектор k має координати (ka1; ka2).

Властивості колінеарних векторів

Якщо вектори колінеарні, причому то існує таке число k, що

Якщо вектори колінеарні, причому то існує таке число k, що b, = ka1 і b2 = ka2.

Властивості множення вектора на число

Для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів виконуються рівності:

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів називають добуток їхніх модулів і косинуса кута між ними:

Скалярний добуток векторів можна обчислити за формулою

Властивості скалярного добутку

Для будь-яких векторів і будь-якого числа k виконуються рівності:

Умова перпендикулярності двох векторів

Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні.

Косинус кута між двома векторами

Косинус кута між ненульовими векторами можна обчислити за формулою





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити