Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

У цьому параграфі ви дізнаєтеся, що таке перетворення фігури. Ознайомитеся з такими видами перетворень, як паралельне перенесення, центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, гомотетія, подібність.

Ви навчитеся застосовувати властивості перетворень під час розв'язування задач і доведення теорем.

17. Рух (переміщення) фігури. Паралельне перенесення

Приклад 1. На рисунку 17.1 зображено відрізок AB, пряму a і точку O, яка не належить ні прямій а, ні прямій AB. Кожній точці X відрізка AB поставимо у відповідність точку X1прямої а так, щоб точки O, X і X1 лежали на одній прямій. Точці A відповідатиме точка А1, точці B — точка В1. Зрозуміло, що всі такі точки X1 утворюють відрізок A1B1.

Рис. 17.1

Ми вказали правило, за допомогою якого кожній точці X відрізка AB поставлено у відповідність єдину точку X1 відрізка A1B1. У цьому разі говорять, що відрізок A1B1 отримано в результаті перетворення відрізка AB.

Приклад 2. На рисунку 17.2 зображено півколо AB і пряму а, паралельну діаметру AB. Кожній точці X півкола поставимо у відповідність точку X1 прямої а так, щоби пряма XX1була перпендикулярна до прямої а. Зрозуміло, що всі такі точки X1 утворюють відрізок A1B1. У цьому разі говорять, що відрізок A1B1 отримано в результаті перетворення півкола AB.

Рис. 17.2

Рис. 17.3

Приклад 3. Нехай задано деяку фігуру F і вектор а (рис. 17.3). Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність точку X1 таку, що XX1 = a. Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 17.3). Таке перетворення фігури F називають паралельним перенесенням на вектор а.

Узагальнимо наведені приклади.

Нехай задано деяку фігуру F. Кожній точці фігури F поставимо у відповідність (зіставимо) за певним правилом деяку точку. Усі отримані зіставлені точки утворюють фігуру F1. Говорять, що фігуру F1 отримано в результаті перетворення фігури F. При цьому фігуру F1 називають образом фігури F, а фігуру F — прообразом фігури F1.

Так, у прикладі 1 відрізок A1B1 є образом відрізка AB. Точка X1 є образом точки X. Відрізок AB — це прообраз відрізка A1B1.

Звернемо увагу на те, що в прикладі 3 фігура F дорівнює своєму образу F1. Перетворення, описані в прикладах 1 і 2, такої властивості не мають.

Які ж властивості повинне мати перетворення, щоб образ і прообраз були рівними фігурами? Виявляється, що достатньо лише однієї властивості: перетворення має зберігати відстань між точками, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F, а точки A1 і B1 — їхні образи, то має виконуватися рівність AB = A1B1.

Означення. Перетворення фігури F, яке зберігає відстань між точками, називають рухом (переміщенням) фігури F.

Якщо кожній точці X фігури F поставлено у відповідність цю саму точку X, то таке перетворення фігури F називають тотожним. При тотожному перетворенні образом фігури F є сама фігура F. Очевидно, що тотожне перетворення є рухом.

Ми давно використовуємо поняття «рівність фігур», хоча не давали йому строгого означення.

На те, що рух пов’язаний із рівністю фігур, указують такі властивості руху.

Якщо перетворення є рухом, то:

• образом прямої є пряма;

• образом відрізка є відрізок, рівний даному;

• образом кута є кут, рівний даному;

• образом трикутника є трикутник, рівний даному.

Доведення цих властивостей виходить за межі розглядуваного

курсу геометрії.

Властивості руху підказують таке означення.

Означення. Дві фігури називають рівними, якщо існує рух, при якому одна з даних фігур є образом другої.

Запис F = F1 означає, що фігури F і F1 рівні.

Якщо існує рух, при якому фігура F1 є образом фігури F, то обов’язково існує рух, при якому фігура F є образом фігури F1. Такі рухи називають взаємно оберненими.

Зауваження. Раніше рівними фігурами ми називали такі фігури, які збігалися при накладанні. Термін «накладання» інтуїтивно зрозумілий, і в нашому уявленні він пов’язаний із накладанням реальних тіл. Але геометричні фігури не можна накласти в буквальному розумінні цього слова. Тепер накладання фігури F на фігуру F1 можна розглядати як рух фігури F, при якому її образом є фігура F1.

Термін «рух» також асоціюється з певною фізичною дією: зміною положення тіла без деформації. Саме із цим пов’язана поява цього терміна в математиці. Проте в геометрії предметом дослідження є не процес, який відбувається в часі, а лише властивості фігури та її образу.

Те, що зображені на рисунку 17.3 фігури F і F1 рівні, зрозуміло з наочного сприйняття. Строге обґрунтування цього факту дає така теорема.

Теорема 17.1 (властивість паралельного перенесення). Паралельне перенесення є рухом.

Доведення. Нехай A (х1; y1) і B (x2; y2) — довільні точки фігури F (рис. 17.4), точки A1 і B1 — їхні відповідні образи при паралельному перенесенні на вектор

Доведемо, що AB = A1B1.

Маємо:

Вектори мають координати (m; n). Отже, координатами точок A1 і B1 є відповідно пари чисел (x1 + m; y1 + n) і (x2 + m; y2 + n). Знайдемо відстань між точками A і B:

Знайдемо відстань між точками A1 і B1:

Отже, ми показали, що AB = A1B1, тобто паралельне перенесення зберігає відстань між точками.

Рис. 17.4

Наслідок. Якщо фігура F1 — образ фігури F при паралельному перенесенні, то F1 = F.

Цю властивість використовують при створенні малюнків на тканинах, шпалерах, покриттях для підлоги тощо (рис. 17.5).

Рис. 17.5

Якщо фігура F1 є образом фігури F при паралельному перенесенні на вектор , то фігура F є образом фігури F1 при паралельному перенесенні на вектор -, (рис. 17.6).

Паралельні перенесення на вектори є взаємно оберненими рухами.

Рис. 17.6

Задача 1. Кожній точці X(x; y) фігури F поставлено у відповідність точку X1 (x + m; y + n), де m і n — задані числа. Доведіть, що таке перетворення фігури F є паралельним перенесенням на вектор (m; n).

Розв’язання. Розглянемо вектор (m; n). Зауважимо, що координати вектора дорівнюють (m; n), тобто Отже, описане перетворення фігури F — паралельне перенесення на вектор .

Задача 2. Точка А (-2; 3) є образом точки A (-1; 2) при паралельному перенесенні на вектор . Знайдіть координати вектора і координати образу точки B (-7; -3).

Розв’язання. З умови випливає, що Звідси (-1; 1).

Нехай B1 (x; y) — образ точки B (—7; —3). Тоді тобто x + 7 = -1 і у + 3 = 1.

Звідси x = -8, у = -2.

Відповідь: (-1; 1), B1 (-8; -2).

Задача 3. Дано кут ABC і пряму р, не паралельну жодній зі сторін цього кута (рис. 17.7). Побудуйте пряму p1, паралельну прямій p, так, щоб сторони кута відтинали на ній відрізок заданої довжини a.

Рис. 17.7

Рис. 17.8

Розв’язання. Розглянемо вектор такий, що MN || p і || = a (рис. 17.8). Побудуємо промінь B1A1, який є образом променя BA при паралельному перенесенні на вектор . Позначимо точку перетину променів BC і B1A1 буквою E. Нехай F — прообраз точки E при паралельному перенесенні, що розглядається.

Тоді

тобто

Наведені міркування підказують такий алгоритм побудови:

1) знайти образ променя BA при паралельному перенесенні на вектор ;

2) позначити точку перетину променя BC із побудованим образом;

3) через знайдену точку провести пряму р1, паралельну прямій р. Пряма р1 буде шуканою.

1. Опишіть, що таке перетворення фігури.

2. Наведіть приклади перетворення фігур.

3. Oпишіть перетворення фігури F, яке називають паралельним перенесенням на вектор .

4. У якому разі фігуру F1 називають образом фігури F, а фігуру F - прообразом фігури F1?

5. Яке перетворення фігури називають рухом?

6. Яке перетворення фігури називають тотожним?

7. Сформулюйте властивості руху.

8. Які дві фігури називають рівними?

9. Опишіть рухи, які називають взаємно оберненими.

10. Сформулюйте властивість паралельного перенесення.

11. Якими рухами є паралельні перенесення на вектори

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

17.1.° На рисунку 17.9 зображено кут AOB і пряму р, не паралельну його сторонам. Кожній точці X сторони OA поставлено у відповідність таку точку X1 сторони OB, що XX1 || p(точці O поставлено у відповідність точку O). Побудуйте образ точки M і прообраз точки K при даному перетворенні променя OA. Яка фігура є образом променя OA?

Рис. 17.9

Рис. 17.10

17.2.° На рисунку 17.10 зображено відрізок AB і пряму а. Кожній точці X відрізка AB поставлено у відповідність основу перпендикуляра, опущеного з точки X на пряму а. Побудуйте образ точки E і прообраз точки F при даному перетворенні відрізка AB. Чи існують точки прямої а, які не мають прообразу? Побудуйте образ відрізка AB.

17.3.° Побудуйте образи відрізка AB і променя OM при паралельному перенесенні на вектор (рис. 17.11).

Рис. 17.11

Рис. 17.12

Рис. 17.13

17.4.° На рисунку 17.12 пряма а є образом деякої прямої при паралельному перенесенні на вектор . Побудуйте прообраз прямої а.

17.5.° Коло із центром O1 є образом кола із центром O при паралельному перенесенні на вектор (рис. 17.13). Відкладіть вектор від точки M.

17.6. Побудуйте образ параболи у = х2 при паралельному перенесенні на вектор: Запишіть рівняння образу параболи y = х2 при даному паралельному перенесенні.

17.7.• Побудуйте образ кола х2 + у2 = 4 при паралельному перенесенні на вектор: Запишіть рівняння образу кола х2 + y2 = 4 при даному паралельному перенесенні.

17.8.• Пряма а дотикається до півкола AB із центром у точці O (рис. 17.14). Задайте яке-небудь перетворення, при якому пряма а є образом півкола AB з «виколотими» точками A і B.

Рис. 17.14

Рис. 17.15

Рис. 17.16

17.9.• Задайте яке-небудь перетворення, при якому відрізок CD є образом відрізка AB (рис. 17.15).

ВПРАВИ

17.10.° Розглянемо коло радіуса r із центром у точці O. Кожній точці X кола поставимо у відповідність точку X1, яка належить радіусу OX, таку, що OX1 = r. Яка фігура є образом заданого кола? Чи є рухом описане перетворення?

17.11.° Дано кут AOB (рис. 17.16). Кожній точці X сторони OA поставимо у відповідність точку X1, яка належить стороні OB і лежить на колі радіуса OX із центром O (точці Oпоставимо у відповідність точку O). Яка фігура є образом сторони OA? Доведіть, що описане перетворення є рухом.

17.12.° Дано кут MON. Кожній точці X сторони OM поставимо у відповідність таку точку X1 сторони ON, що пряма XX1 перпендикулярна до бісектриси кута MON (точці Oпоставимо у відповідність точку O). Доведіть, що описане перетворення є рухом.

17.13.° Дано пряму а і відрізок AB, який не має з нею спільних точок. Кожній точці X відрізка AB поставимо у відповідність основу перпендикуляра, опущеного з точки X на пряму а. При якому взаємному розміщенні прямої а та відрізка AB описане перетворення є рухом?

17.14.° Точки A1 і B1 не належать прямій AB і є образами відповідно точок A і B при паралельному перенесенні прямої AB. Доведіть, що чотирикутник AA1B1B — паралелограм.

17.15.° Точки A1 і B1 є образами відповідно точок A і B при паралельному перенесенні відрізка AB. Знайдіть відрізок A1B1, якщо AB = 5 см.

17.16.° Вектор паралельний прямій а. Яка фігура є образом прямої а при її паралельному перенесенні на вектор ?

17.17.° Дано паралелограм ABCD. Який вектор задає паралельне перенесення, при якому сторона AD є образом сторони BC?

17.18.° Чи існує паралельне перенесення рівностороннього трикутника ABC, при якому сторона AB є образом сторони BC?

17.19.° Знайдіть точки, які є образами точок A (-2; 3) і B (1; -4) при паралельному перенесенні на вектор (-1; -3).

17.20.° Чи існує паралельне перенесення, при якому образом точки A (1; 3) є точка A1 (4; 0), а образом точки B (-2; 1) — точка B1 (1; 4)?

17.21.° При паралельному перенесенні на вектор (2; -1) образом точки A є точка A1 (-3; 4). Знайдіть координати точки A.

17.22.° Точка M1 (x; 2) є образом точки M (3; у) при паралельному перенесенні, при якому точка A (2; 3) є образом початку координат. Знайдіть x і y.

17.23.• Скільки існує паралельних перенесень прямої а, при яких її образом є пряма а?

17.24. Розглянемо фігуру, що складається з усіх точок, які належать сторонам прямокутника. Опишіть яке-небудь перетворення цієї фігури, при якому її образом є коло.

17.25.• Розглянемо фігуру, що складається з усіх точок, які належать сторонам прямокутника. Опишіть яке-небудь перетворення цієї фігури, при якому її образом є фігура, яка складається з усіх точок сторін ромба.

17.26. Відомо, що при перетворенні фігури F її образом є ця сама фігура F. Чи можна стверджувати, що це перетворення є тотожним?

17.27.• Дано точки A (3; -2) і B (5; -4). При паралельному перенесенні відрізка AB образом його середини є точка M1 (-4; 3). Знайдіть образи точок A і B при такому паралельному перенесенні.

17.28. Точки A (1; 3), B (2; 6), C (-3; 1) є вершинами паралелограма ABCD. При паралельному перенесенні паралелограма ABCD образом точки перетину його діагоналей є точка O1 (-2; -4). Знайдіть образи точок A, B, C і D при такому паралельному перенесенні.

17.29. Знайдіть рівняння кола, яке є образом кола х2 + у2 = 1 при паралельному перенесенні на вектор (-3; 4).

17.30.• Знайдіть рівняння параболи, яка є образом параболи y = х2 при паралельному перенесенні на вектор (2; -3).

17.31.•• Побудуйте трапецію за основами та діагоналями.

17.32.•• Побудуйте трапецію за чотирма сторонами.

17.33.•• Побудуйте відрізок, рівний і паралельний даному відрізку AB, так, щоб один його кінець належав даній прямій, а другий — даному колу.

17.34.•• Побудуйте хорду даного кола, яка дорівнює та паралельна даному відрізку AB.

17.35.* Побудуйте чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно непаралельні, за чотирма кутами та двома протилежними сторонами.

17.36.* У якому місці потрібно побудувати міст MN через річку, яка розділяє два населених пункти A і B (рис. 17.17), щоби шлях AMNB був найкоротшим (береги річки вважаємо паралельними прямими, міст перпендикулярний до берегів річки)?

Рис. 17.17

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

17.37. Через кожну вершину трикутника проведено пряму, паралельну протилежній стороні. Чому дорівнює периметр трикутника, який утворився при цьому, якщо периметр даного трикутника дорівнює 18 см?

17.38. Доведіть, що чотирикутник з вершинами A (-3; -4), B (0; 3), C (7; 6) і D (4; -1) є ромбом, і знайдіть його площу.

17.39. У прямокутну трапецію вписано коло. Точка дотику поділяє більшу з бічних сторін трапеції на відрізки 4 см і 25 см. Знайдіть площу трапеції.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

17.40. Усередині правильного шестикутника зі стороною 1 м розташовано 7 точок. Доведіть, що серед них знайдуться 2 точки, відстань між якими не більша за 1 м.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити