Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

18. Осьова симетрія

Означення. Точки A і A1 називають симетричними відносно прямої l, якщо пряма l є серединним перпендикуляром відрізка AA1 (рис. 18.1). Якщо точка A належить прямій І, то її вважають симетричною самій собі відносно прямої l.

Рис. 18.1

Рис. 18.2

Рис. 18.3

Наприклад, точки A і А1, у яких ординати рівні, а абсциси — протилежні числа, симетричні відносно осі ординат (рис. 18.2).

Розглянемо фігуру F і пряму l. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої l точку X1. Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 18.3). Таке перетворення фігури F називають осьовою симетрією відносно прямої І. Пряму І називають віссю симетрії. Говорять, що фігури F і F1 симетричні відносно прямої l.

Теорема 18.1 (властивість осьової симетрії). Осьова симетрія є рухом.

Доведення. Виберемо систему координат так, щоб вісь симетрії збігалася з віссю ординат. Нехай A (x1; y1) і B (x2; y2) — довільні точки фігури F. Тоді точки A1 (-x1; y1) і B1 (-x2; y2) — їхні відповідні образи при осьовій симетрії відносно осі ординат. Маємо:

Ми отримали, що AB = A1B1, тобто осьова симетрія зберігає відстань між точками. Отже, осьова симетрія є рухом.

Наслідок. Якщо фігури F і F1 симетричні відносно прямої, то F = F1.

Означення. Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої l, також належить цій фігурі.

Пряму l називають віссю симетрії фігури. Також говорять, що фігура має вісь симетрії.

Наведемо приклади фігур, які мають вісь симетрії.

На рисунку 18.4 зображено рівнобедрений трикутник. Пряма, яка містить його висоту, проведену до основи, є віссю симетрії трикутника.

Будь-який кут має вісь симетрії — це пряма, яка містить його бісектрису (рис. 18.5).

Рівносторонній трикутник має три осі симетрії (рис. 18.6).

Рис. 18.4

Рис. 18.5

Рис. 18.6

Рис. 18.7

Дві осі симетрії має відрізок: це його серединний перпендикуляр і пряма, яка містить цей відрізок (рис. 18.7).

Квадрат має чотири осі симетрії (рис. 18.8).

Існують фігури, які мають безліч осей симетрії, наприклад коло. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є його віссю симетрії (рис. 18.9).

Безліч осей симетрії має і пряма: сама пряма та будь-яка пряма, перпендикулярна до неї, є її осями симетрії.

Рис. 18.8

Рис. 18.9

Рис. 18.10

Задача 1. Накреслили нерівнобедрений трикутник ABC. Провели пряму l, яка містить бісектрису кута С. Потім рисунок витерли, залишивши лише точки A і B та пряму l. Відновіть трикутник ABC.

Розв’язання. Оскільки пряма l є віссю симетрії кута ACB, то точка A1 — образ точки A при симетрії відносно прямої l — належить променю CB. Тоді перетином прямих l і BA1 є вершина C шуканого трикутника ABC (рис. 18.10).

Ці міркування підказують, як побудувати шуканий трикутник: будуємо точку A1, симетричну точці A відносно прямої І. Знаходимо вершину C як точку перетину прямих l і BA1.

Задача 2. Точка O належить гострому куту ABC (рис. 18.11). На сторонах BA і BC кута знайдіть такі точки E і F, щоби периметр трикутника OEF був найменшим.

Рис. 18.11

Рис. 18.12

Розв’язання. Нехай точки O1 і O2 — образи точки O при симетріях відносно прямих BA і BC відповідно (рис. 18.12), а пряма O1O2 перетинає сторони BA і BC у точках E і Fвідповідно. Доведемо, що точки E і F — шукані.

Зауважимо, що відрізки EO1 і EO симетричні відносно прямої BA. Отже, EO1 = EO. Аналогічно FO = FO2. Тоді периметр трикутника OEF дорівнює довжині відрізка O1O2.

Покажемо, що побудований трикутник має найменший периметр з можливих. Розглянемо трикутник KOM, де K і M — довільні точки відповідно променів BA і BC, причому точка Kне збігається з точкою E або точка M не збігається з точкою F. Зрозуміло, що KO = KO1 і MO = MO2. Тоді периметр трикутника KOM дорівнює сумі O1K + KM + MO2. Проте OK + KM + MO2 O1O2.

1. Які точки називають симетричними відносно прямої І? Як називають пряму І?

2. Які фігури називають симетричними відносно прямої І?

3. Сформулюйте властивість осьової симетрії.

4. Яку властивість мають фігури, симетричні відносно прямої?

5. Про яку фігуру кажуть, що вона має вісь симетрії?

6. Наведіть приклади фігур, які мають вісь симетрії.

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

18.1.° Побудуйте образи фігур, зображених на рисунку 18.13, при симетрії відносно прямої l.

Рис. 18.13

18.2. ° Накресліть трикутник. Побудуйте трикутник, симетричний йому відносно прямої, яка містить одну з його середніх ліній.

18.3. ° Точки A і B симетричні відносно прямої l (рис. 18.14). Побудуйте пряму l.

Рис. 18.14

Рис. 18.15

Рис. 18.16

Рис. 18.17

18.4. Проведіть прямі а і a1, які перетинаються. Побудуйте пряму, відносно якої пряма а1 буде симетричною прямій а. Скільки розв’язків має задача?

18.5.• Проведіть паралельні прямі а і а1. Побудуйте пряму, відносно якої пряма а1 буде симетричною прямій а.

18.6. Побудуйте ромб ABCD за його вершинами B і C та прямою l, яка містить його діагональ BD (рис. 18.15).

18.7.• Побудуйте рівнобедрений трикутник ABC за вершиною A, точкою K, яка належить бічній стороні BC, і прямою, яка містить висоту, проведену до основи AB (рис. 18.16).

18.8. Подивіться на рисунок 18.17 через скляну пробірку, заповнену водою. Чому деякі букви в другому слові виявилися перевернутими, а в першому — ні?

18.9. Кола із центрами O1 і O2 мають дві спільні точки (рис. 18.18). За допомогою тільки циркуля побудуйте кола, симетричні даним відносно прямої AB.

Рис. 18.18

ВПРАВИ

18.10.° Пряма l проходить через середину відрізка AB. Чи обов’язково точки A і B є симетричними відносно прямої І?

18.11.° Доведіть, що пряма, яка містить медіану рівнобедреного трикутника, проведену до основи, є його віссю симетрії.

18.12.° На рисунку 18.19 зображено рівнобедрений трикутник ABC і пряму l, яка містить його висоту, проведену до основи AC. Відрізки AM і CN — медіани трикутника. Укажіть образи точок A і B, медіани CN і сторони AC при симетрії відносно прямої l.

Рис. 18.19

Рис. 18.20

18.13.° Доведіть, що пряма, яка проходить через середини основ рівнобічної трапеції, є її віссю симетрії.

18.14.° На рисунку 18.20 зображено рівнобічну трапецію ABCD і пряму l, яка проходить через середини її основ. Укажіть образи точок B і D, діагоналі AC і основи BC при симетрії відносно прямої l.

18.15.° Доведіть, що прямі, які містять діагоналі ромба, є його осями симетрії.

18.16.° Доведіть, що прямі, які проходять через середини протилежних сторін прямокутника, є його осями симетрії.

18.17.° Точки A1 і B1 є відповідно образами точок A і B при осьовій симетрії. Відомо, що AB = 5 см. Знайдіть відрізок A1B1.

18.18.° Доведіть, що пряма, яка містить бісектрису кута, є його віссю симетрії.

18.19.° Знайдіть координати точок, симетричних точкам A (-2; 1) і B (0; -4) відносно осей координат.

18.20.° Точки A (x; 3) і B (-2; у) симетричні відносно:

1) осі абсцис;

2) осі ординат.

Знайдіть x і y.

18.21.• Образом прямої а при симетрії відносно прямої l є сама пряма а. Яке взаємне розміщення прямих а і І?

18.22.• Доведіть, що трикутник, який має вісь симетрії, є рівнобедреним.

18.23.• Доведіть, що трикутник, який має дві осі симетрії, є рівностороннім. Чи може трикутник мати рівно дві осі симетрії?

18.24. Доведіть, що коли паралелограм має рівно дві осі симетрії, то він є або прямокутником, або ромбом.

18.25.• Доведіть, що коли чотирикутник має чотири осі симетрії, то він є квадратом.

18.26. Кола із центрами О1 і О2 перетинаються в точках A і B. Доведіть, що точки A і B симетричні відносно прямої O1O2.

18.27.• Точка М належить прямому куту ABC (рис. 18.21). Точки М1 і М2 — образи точки M при симетрії відносно прямих BA і BC відповідно. Доведіть, що точки М1, B і М2 лежать на одній прямій.

18.28. Знайдіть координати точок, симетричних точкам A (-2; 0) і B (3; -1) відносно прямої, яка містить бісектриси: 1) першого та третього координатних кутів; 2) другого та четвертого координатних кутів.

18.29.• Точки A (x; -1) і B (у; 2) симетричні відносно прямої, яка містить бісектриси першого та третього координатних кутів. Знайдіть x і у.

18.30. Точки A і B лежать у різних півплощинах відносно прямої а. На прямій а знайдіть таку точку X, щоби пряма а містила бісектрису кута AXB.

Рис. 18.21

18.31.•• Точки A і B лежать в одній півплощині відносно прямої а. Знайдіть на прямій а таку точку X, щоби промені XA і XB утворювали із цією прямою рівні кути.

18.32.•• Точки A і B лежать в одній півплощині відносно прямої а. Знайдіть на прямій а таку точку X, щоб сума AX + XB була найменшою.

18.33.* Побудуйте трикутник ABC за двома сторонами AB і AC (AB < AC) і різницею кутів B і C.

18.34.* Точки C і D лежать в одній півплощині відносно прямої AB (рис. 18.22). На прямій AB знайдіть таку точку X, що

Рис. 18.22

18.35.* Доведіть, що площа опуклого чотирикутника ABCD не перевищує (AB ∙ CD + BC ∙ AD).

18.36.* Дано трикутник АВС. Знайдіть точку, симетричний образ якої відносно будь-якої сторони трикутника лежить на колі, описаному навколо цього трикутника.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

18.37. Периметр паралелограма ABCD дорівнює 48 см, AD = 7 см. Яку сторону паралелограма перетинає бісектриса кута B? Знайдіть відрізки, на які бісектриса ділить сторону паралелограма.

18.38. Два трикутники мають по дві рівні сторони, а сума кутів між відповідно рівними сторонами цих трикутників дорівнює 180°. Доведіть, що дані трикутники рівновеликі.

18.39. Дано точки A (5; 2), B (-7; 1) і C (1; -5), відрізок AM — медіана трикутника ABC. Складіть рівняння прямої AM.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити