Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

19. Центральна симетрія. Поворот

Означення. Точки A і A1 називають симетричними відносно точки O, якщо точка O є серединою відрізка AA1 (рис. 19.1). Точку O вважають симетричною самій собі.

Рис. 19.1

Рис. 19.2

Рис. 19.3

Наприклад, точки A і А1, у яких як абсциси, так і ординати — протилежні числа, симетричні відносно початку координат (рис. 19.2).

Розглянемо фігуру F і точку O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність симетричну їй відносно точки O точку X1. Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 19.3). Таке перетворення фігури F називають центральною симетрією відносно точки O. Точку O називають центром симетрії. Також говорять, що фігури F і F1симетричні відносно точки O.

Теорема 19.1 (властивість центральної симетрії). Центральна симетрія є рухом.

Доведення. Виберемо систему координат так, щоб центр симетрії збігався з початком координат. Нехай A (х1; y1) і B (x2; y2) — довільні точки фігури F. Точки A1 (-x1; -y1) і B1 (-x2; -y2) — відповідно їхні образи при центральній симетрії відносно початку координат. Маємо:

Ми отримали, що AB = A1B1, тобто центральна симетрія зберігає відстань між точками. Отже, центральна симетрія є рухом.

Наслідок. Якщо фігури F і F1 є симетричними відносно точки, то F = F1.

Означення. Фігуру називають симетричною відносно точки O, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно точки O, також належить цій фігурі.

Точку O називають центром симетрії фігури. Також говорять, що фігура має центр симетрії.

Наведемо приклади фігур, які мають центр симетрії.

Центром симетрії відрізка є його середина (рис. 19.4).

Рис. 19.4

Точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії (рис. 19.5).

Рис. 19.5

Рис. 19.6

Існують фігури, які мають безліч центрів симетрії. Наприклад, кожна точка прямої є її центром симетрії.

Також безліч центрів симетрії має фігура, яка складається з двох паралельних прямих. Будь-яка точка прямої, рівновіддаленої від двох даних, є центром симетрії розглядуваної фігури (рис. 19.6).

Задача 1. Доведіть, що образом даної прямої l при симетрії відносно точки O, яка не належить прямій l, є пряма, паралельна даній.

Розв’язання. Оскільки центральна симетрія — це рух, то образом прямої l буде пряма. Для побудови прямої достатньо знайти

дві будь-які її точки.

Виберемо на прямій l довільні точки A і B (рис. 19.7). Нехай точки A1 і B1 — їхні образи при центральній симетрії відносно точки O. Тоді пряма A1B1 — образ прямої l.

Оскільки AO = OA1, BO = OB1, кути AOB і A1OB1 рівні як вертикальні, то трикутники AOB і A1OB1 рівні за першою ознакою рівності трикутників. Звідси ∠1 = ∠2 (рис. 19.7). Отже, за ознакою паралельних прямих l || A1B1.

Рис. 19.7

Рис. 19.8

Рис. 19.9

Задача 2. Точка M належить куту ABC (рис. 19.8). На сторонах BA і BC кута побудуйте такі точки E і F, щоб точка M була серединою відрізка EF.

Розв’язання. Нехай пряма A1B1 — образ прямої AB при центральній симетрії відносно точки M (рис. 19.9). Позначимо буквою F точку перетину прямих A1B1 і BC.

Знайдемо прообраз точки F. Очевидно, що він лежить на прямій AB. Тому достатньо знайти точку перетину прямих FM і AB. Позначимо цю точку буквою E. Тоді E і F — шукані точки.

Вивчаючи навколишній світ, ми часто бачимо приклади прояву симетрії в природі (рис. 19.10). Об’єкти, які мають вісь або центр симетрії, легко сприймаються та приємні для очей. Недарма в Стародавній Греції слово «симетрія» слугувало синонімом слів «гармонія», «краса».

Рис. 19.10

Ідея симетрії широко використовується в образотворчому мистецтві, архітектурі й техніці (рис. 19.11).

Рис. 19.12

На рисунку 19.12 зображено точки O, X, X1 і Х2 такі, що OX1 = OX2 = OX, ∠X1OX = = ∠X2OX = а. Говорять, що точка X1 є образом точки X при повороті навколо центра O проти годинникової стрілки на кут a. Також говорять, що точка Х2 — це образ точки X при повороті навколо центра O за годинниковою стрілкою на кут a.

Точку O називають центром повороту, кут а — кутом повороту.

Розглянемо фігуру F, точку O та кут а. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність точку X1, яка є образом точки X при повороті навколо центра O проти годинникової стрілки на кут а (якщо точка O належить фігурі F, то їй зіставляється вона сама). Унаслідок такого перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 19.13). Таке перетворення фігури F називають поворотом навколо центра O проти годинникової стрілки на кут a. Точку O називають центром повороту.

Рис. 19.13

Рис. 19.14

Аналогічно означають перетворення повороту фігури F за годинниковою стрілкою на кут а (рис. 19.14).

Зауважимо, що центральна симетрія є поворотом навколо центра симетрії на кут 180°.

Теорема 19.2 (властивість повороту). Поворот є рухом.

Доведіть цю теорему самостійно.

Наслідок. Якщо фігура F1 — образ фігури F при повороті, то F = F1.

Задача 3. Дано пряму а і точку O поза нею. Побудуйте образ прямої a при повороті навколо точки O проти годинникової стрілки на кут 45°.

Розв’язання. Оскільки поворот — це рух, то образом прямої a буде пряма. Для побудови прямої достатньо знайти дві будь-які її точки. Виберемо на прямій а довільні точки A і B(рис. 19.15). Побудуємо точки A1 і B1 — їхні образи при повороті навколо точки O проти годинникової стрілки на кут 45°. Тоді пряма A1B1 — образ прямої а.

Рис. 19.15

Рис. 19.16

Задача 4. Точка P належить куту ABC, але не належить його сторонам. Побудуйте рівносторонній трикутник, одна вершина якого є точкою P, а дві інші належать сторонам BA і BC кута ABC.

Розв’язання. Нехай пряма A1B1 — образ прямої AB при повороті навколо центра P проти годинникової стрілки на кут 60° (рис. 19.16). Позначимо буквою F точку перетину прямих A1B1 і BC.

Нехай точка E — прообраз точки F при розглядуваному повороті. Точка E належить стороні BA кута ABC.

Ці міркування підказують, як побудувати шуканий трикутник.

Будуємо пряму A1B1 як образ прямої AB при повороті навколо центра P проти годинникової стрілки на кут 60°. Нехай F — точка перетину прямих A1B1 і BC.

Будуємо кут MPF, що дорівнює 60°. Нехай прямі MP і AB перетинаються в точці E. Ця точка і є прообразом точки F.

Маємо: PF = PE і ∠FPE = 60°. Отже, трикутник EPF рівносторонній.

1. Які точки називають симетричними відносно точки O? Як називають точку O?

2. Які фігури називають симетричними відносно точки O?

3. Сформулюйте властивість центральної симетрії.

4. Яку властивість мають фігури, симетричні відносно точки?

5. Про яку фігуру говорять, що вона має центр симетрії?

6. Наведіть приклади фігур, які мають центр симетрії.

7. Опишіть перетворення повороту навколо точки.

8. Сформулюйте властивість повороту.

9. Яку властивість мають фігури, якщо одна з них є образом другої при повороті?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

19.1.° Накресліть трикутник ABC і позначте точку O, яка не належить йому. Побудуйте трикутник, симетричний даному відносно точки O.

19.2.° Накресліть трикутник ABC. Побудуйте трикутник, симетричний даному відносно середини сторони AB.

19.3.° Накресліть коло й позначте на ньому точку. Побудуйте коло, симетричне даному відносно позначеної точки.

19.4.° Побудуйте образ відрізка AB при повороті навколо центра O проти годинникової стрілки на кут 45° (рис. 19.17).

Рис. 19.17

Рис. 19.18

19.5.° Побудуйте образ трикутника ABC при повороті навколо центра O за годинниковою стрілкою на кут 90° (рис. 19.18).

19.6. Побудуйте паралелограм ABCD за його вершинами A і B та точкою O перетину його діагоналей (рис. 19.19).

19.7.• Дано дві паралельні прямі а і b (рис. 19.20). Знайдіть точку, відносно якої пряма a буде симетричною прямій b.

19.8. На рисунку 19.21 зображено два рівних відрізки AB і BC, причому ∠ABC = 60°. Знайдіть точку O таку, щоб відрізок AB був образом відрізка BC при повороті навколо точки O проти годинникової стрілки на кут 120°.

Рис. 19.19

Рис. 19.20

Рис. 19.21

Рис. 19.22

19.9. На рисунку 19.22 зображено два рівних перпендикулярних відрізки MN і NK. Знайдіть точку O таку, щоб відрізок NK був образом відрізка MN при повороті навколо точки Oза годинниковою стрілкою на кут 90°.

19.10.* Побудуйте фігуру, яка не має осей симетрії та образом якої є ця сама фігура при повороті навколо деякої точки:

1) на кут 90°; 2) на кут 120°.

ВПРАВИ

19.11.° Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (рис. 19.23). Точка M — середина сторони BC. Укажіть образи точок A, D і M, сторони CD, діагоналі BD при симетрії відносно точки O.

Рис. 19.23

19.12.° Доведіть, що точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії.

19.13.° Доведіть, що коло має центр симетрії.

19.14.° Точки A1 і B1 є образами відповідно точок A і B при симетрії відносно точки, яка не належить прямій AB. Доведіть, що чотирикутник ABA1B1 — паралелограм.

19.15.° Знайдіть координати точок, симетричних точкам A (3; -1) і B (0; -2) відносно:

1) початку координат; 2) точки M (2; -3).

19.16.° Доведіть, що образом прямої, яка проходить через центр симетрії, є ця сама пряма.

19.17.° Точки A (x; -2) і B (1; у) симетричні відносно:

1) початку координат; 2) точки M (-1; 3).

Знайдіть x і y.

19.18.° На рисунку 19.24 зображено фігури, які складено з рівних півкругів. Які із цих фігур при певному повороті навколо точки O на кут а, де 0° < а ≤ 180°, збігаються зі своїми образами?

Рис. 19.24

19.19.° Медіани рівностороннього трикутника ABC перетинаються в точці O (рис. 19.25). Укажіть образи точок C, C1 і O, сторони BC, медіани BB1, відрізка OC1, трикутника A1B1C1 при повороті навколо точки O проти годинникової стрілки на кут 120°.

Рис. 19.25

Рис. 19.26

19.20.° Точка O — центр правильного шестикутника ABCDEF (рис. 19.26). Укажіть образи сторони AF, діагоналі BF, діагоналі AD, шестикутника ABCDEF при повороті навколо точки O за годинниковою стрілкою на кут:

1) 60°; 2) 120°.

19.21.° Діагоналі квадрата ABCD перетинаються в точці O (рис. 19.27). Укажіть образи точок A, O і C, сторони AD, діагоналі BD при повороті навколо точки O за годинниковою стрілкою на кут 90°.

Рис. 19.27

19.22.• Доведіть, що трикутник не має центра симетрії.

19.23.• Доведіть, що промінь не має центра симетрії.

19.24. Доведіть, що коли чотирикутник має центр симетрії, то він є паралелограмом.

19.25.• Кола із центрами O1 і O2 симетричні відносно точки O (рис. 19.28). Пряма, яка проходить через центр симетрії, перетинає перше коло в точках A1 і B1, а друге — у точках A2 і B2. Доведіть, що A1B1 = A2B2.

Рис. 19.28

19.26. Вершина A рівностороннього трикутника ABC є центром повороту на кут 120°. Знайдіть відрізок BC1, де точка С1 — образ точки C при заданому повороті, якщо AB = 1 см. Скільки розв’язків має задача?

19.27.• Вершина A квадрата ABCD є центром повороту проти годинникової стрілки на кут 90°. Знайдіть відрізок CC1, де точка C — образ точки C при заданому повороті, якщо AB= 1 см.

19.28. Вершини одного паралелограма лежать на сторонах другого: по одній вершині на кожній стороні. Доведіть, що точки перетину діагоналей цих паралелограмів збігаються.

19.29.•• Точки A і C належать гострому куту, але не лежать на його сторонах. Побудуйте паралелограм ABCD так, щоб точки B і D лежали на сторонах кута.

19.30.•• Побудуйте відрізок, серединою якого є дана точка, а кінці належать даним непаралельним прямим.

19.31.•• Точка M належить куту ABC і не належить його сторонам. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник, вершина прямого кута якого є точкою M, а дві інші належать сторонам BA і BC відповідно.

19.32.* На стороні BC рівностороннього трикутника ABC позначили точку D. Поза трикутником ABC позначили точку E таку, що трикутник DEC рівносторонній (рис. 19.29). Доведіть, що точка C і середини M і K відрізків BE і AD відповідно є вершинами рівностороннього трикутника.

19.33.* Побудуйте рівносторонній трикутник так, щоб його вершини належали трьом даним паралельним прямим.

19.34.* Побудуйте ромб, точкою перетину діагоналей якого є дана точка, а три вершини належать трьом даним попарно непаралельним прямим.

19.35.* На стороні CD квадрата ABCD позначено точку E. Бісектриса кута BAE перетинає сторону BC у точці F. Доведіть, що AE = BF + ED.

19.36.* У рівносторонньому трикутнику ABC вибрано точку P так, що ∠APB = 150°. Доведіть, що існує прямокутний трикутник, сторони якого дорівнюють відрізкам PA, PB і PC.

Рис. 19.29

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

19.37. Знайдіть сторони трикутника ABC, якщо ∠A = 30°, ∠B = 45°, а висота, проведена з вершини C, дорівнює 4 см.

19.38. На осі абсцис знайдіть точку, рівновіддалену від точок A (-2; 4) і B (6; 8).

19.39. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону трикутника у відношенні 25 : 12, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо площа трикутника дорівнює 1680 см2.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

19.40. Позначте на площині 6 точок так, щоби будь-які три з них були вершинами рівнобедреного трикутника.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити