Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

20. Подібність фігур1

На рисунку 20.1 зображено точки O, X і X1 такі, що Говорять, що точка X1 — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом 2.

Рис. 20.1

Рис. 20.2

На рисунку 20.2 зображено точки O, X і X1 такі, що

Говорять, що точка X1 — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом -. Узагалі, якщо точки O, X і X1 є такими, що

Де k ≠ 0, то говорять, що точка X1 — це образ точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k.

Точку O називають центром гомотетії, число k — коефіцієнтом гомотетії, k ≠ 0.

Розглянемо фігуру F і точку O. Кожній точці X фігури F поставимо у відповідність точку X1, яка є образом точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k (якщо точка Oналежить фігурі F, то їй зіставляється вона сама). У результаті цього перетворення фігури F отримаємо фігуру F1 (рис. 20.3). Таке перетворення фігури F називають гомотетією із центром O та коефіцієнтом k. Також говорять, що фігура F1 гомотетична фігурі F із центром O та коефіцієнтом k.

Рис. 20.3

1 Матеріал пункту, який відноситься до гомотетії, є необов’язковим для вивчення.

Наприклад, на рисунку 20.4 трикутник A1B1C1 гомотетичний трикутнику ABC із центром O та коефіцієнтом, який дорівнює -3. Також можна сказати, що трикутник ABCгомотетичний трикутнику A1B1C1 із тим самим центром, але коефіцієнтом гомотетії, який дорівнює -.

Рис. 20.4

Рис. 20.5

Зазначимо, що при k = -1 гомотетія із центром O є центральною симетрією із центром O (рис. 20.5). Якщо k = 1, то гомотетія є тотожним перетворенням.

Очевидно, що при k ≠ 1 і k ≠ -1 гомотетія не є рухом.

Теорема 20.1. При гомотетії фігури F із коефіцієнтом k усі відстані між її точками змінюються в |k| разів, тобто якщо A і B — довільні точки фігури F, а точки A1 і B1 — їхні відповідні образи при гомотетії з коефіцієнтом k, то A1B1 = |k| AB.

Доведення. Нехай точка O — центр гомотетії. Тоді

Маємо:

тобто A1B1 = |k| AB.

Наслідок. Якщо трикутник A1B1C1 гомотетичний трикутнику ABC із коефіцієнтом гомотетії k, то

Для доведення цього твердження достатньо скористатися теоремою 20.1 і третьою ознакою подібності трикутників.

Гомотетія має низку інших властивостей.

При гомотетії:

• образом прямої є пряма;

• образом відрізка є відрізок;

• образом кута є кут, який дорівнює даному;

• образом трикутника є трикутник, подібний даному;

• образом кола є коло;

• площа многокутника змінюється в k2 разів, де k — коефіцієнт гомотетії.

Ці властивості ви можете довести на заняттях математичного гуртка.

Зазначені властивості гомотетії вказують на те, що це перетворення може змінити розміри фігури, але не змінює її форму, тобто при гомотетії образ і прообраз є подібними фігурами. Зауважимо, що в курсі геометрії 8 класу, коли йшлося про подібність фігур, ми давали означення лише подібним трикутникам. Зараз означимо поняття подібності для довільних фігур.

На рисунку 20.6 фігура F1 гомотетична фігурі F, а фігура F2 симетрична фігурі F1 відносно прямої l.

Рис. 20.6

Говорять, що фігуру F2 отримано з фігури F у результаті композиції двох перетворень: гомотетії та осьової симетрії.

Оскільки F1 = F2, то фігури F і F2 мають однакові форми, але різні розміри, тобто вони є подібними. Говорять, що фігуру F2 отримано з фігури F у результаті перетворення подібності.

На рисунку 20.7 фігура F1 гомотетична фігурі F, а фігура F2 — образ фігури F1 при деякому русі. Тут також можна стверджувати, що фігури F і F2 подібні.

Рис. 20.7

Зі сказаного випливає, що доцільно прийняти таке означення.

Означення. Дві фігури називають подібними, якщо одну з них можна отримати з другої в результаті композиції двох перетворень: гомотетії та руху.

Це означення ілюструє схема, зображена на рисунку 20.8.

Рис. 20.8

Запис F ~ F1 означає, що фігури F і F1 подібні. Також говорять, що фігура F1 — образ фігури F при перетворенні подібності.

Із наведеного означення випливає, що при перетворенні подібності фігури F відстані між її точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.

Оскільки тотожне перетворення є рухом, то зі схеми, зображеної на рисунку 20.8, випливає, що гомотетія — окремий випадок перетворення подібності.

Нехай A і B — довільні точки фігури F, а точки A1 і B1 — їхні образи при перетворенні подібності. Точки A1 і B1 належать фігурі F1, яка подібна фігурі F. Число називають коефіцієнтом подібності. Говорять, що фігура F, подібна фігурі F із коефіцієнтом подібності k, а фігура F подібна фігурі F1 із коефіцієнтом подібності .

Зауважимо, що перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1 є рухом. Звідси випливає, що рух — окремий випадок перетворення подібності.

З перетворенням подібності ми часто маємо справу в повсякденному житті (рис. 20.9). Наприклад, унаслідок зміни масштабу карти отримуємо карту, подібну даній. Фотографія — це перетворення негатива в подібне зображення на фотопапері. Переносячи до свого зошита рисунок, зроблений учителем на дошці, ви також виконуєте перетворення подібності.

Рис. 20.8

Теорема 20.2. Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доведення цієї теореми виходить за межі розглядуваного курсу геометрії. Ми доведемо її для окремого випадку, розглянувши подібні трикутники.

Доведення. Нехай трикутник A1B1C1 — образ трикутника ABC при перетворенні подібності з коефіцієнтом k (рис. 20.10). Сторона A1C1 — образ сторони AC. Тоді A1C1 = k. AC. Проведемо висоту BD. Нехай точка D1 — образ точки D. Оскільки при перетворенні подібності зберігаються кути, то відрізок B1D1 — висота трикутника A1B1C1. Тоді B1D1 = k. BD. Маємо:

Рис. 20.10

Рис. 20.11

Задача 1. Доведіть, що образом прямої l при гомотетії із центром O, який не належить прямій І, є пряма, паралельна даній.

Розв’язання. Із властивостей гомотетії випливає, що образом прямої l буде пряма. Для побудови прямої достатньо знайти дві будь-які її точки. Виберемо на прямій l довільні точки A і B (рис. 20.11). Нехай точки A1 і B1 — їхні образи при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k (рисунок 20.11 відповідає випадку, коли k > 1). Тоді пряма A1B1 — образ прямої AB.

При доведенні теореми 20.1 ми показали, що

Отже, AB || A1B1.

Задача 2. У гострокутний трикутник ABC впишіть квадрат так, щоб дві його вершини лежали відповідно на сторонах AB і BC, а дві інші — на стороні AC.

Розв’язання. Із довільної точки M сторони AB опустимо перпендикуляр MQ на сторону AC (рис. 20.12). Побудуємо квадрат MQPN так, щоб точка P лежала на промені QC. Нехай промінь AN перетинає сторону BC у точці N1.

Розглянемо гомотетію із центром A та коефіцієнтом

Тоді точка N — образ точки N при цій гомотетії. Образом відрізка MN є відрізок M1N1, де точка M1 належить променю AB, причому M1N1 || MN. Аналогічно відрізок N1P1 такий, що точка P1 належить променю AC і N1P1 || NP, є образом відрізка NP. Отже, відрізки M1N1 і N1P1 — сусідні сторони шуканого квадрата. Для завершення побудови залишилося опустити перпендикуляр M1Q1 на сторону AC.

Рис. 20.12

Рис. 20.13

Задача 3. Відрізок CD — висота прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Знайдіть радіус r вписаного кола трикутника ABC, якщо радіуси кіл, вписаних у трикутники ACD і BCD, відповідно дорівнюють r1 і r2.

Розв’язання. Оскільки кут A — спільний для прямокутних трикутників ACD і ABC, то ці трикутники подібні (рис. 20.13).

Нехай коефіцієнт подібності дорівнює k1. Очевидно, що

Аналогічно ABCD ~ AABC із коефіцієнтом подібності

Позначимо площі трикутників ACD, BCD і ABC відповідно S1, S2 і S. Маємо:

Звідси

Отримуємо, що

тобто

Відповідь:

1. У якому разі говорять, що точка X, є образом точки X при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k?

2. Oпишіть перетворення фігури F, яке називають гомотетією із центром O та коефіцієнтом k.

3. Як змінюється відстань між точками при гомотетії з коефіцієнтом k?

4. Сформулюйте властивості гомотетії.

5. Які фігури називають подібними?

6. Чому дорівнює відношення площ подібних многокутників?

ПРАКТИЧНІ ЗАВДАННЯ

20.1.° Побудуйте образ відрізка AB (рис. 20.14) при гомотетії із центром O та коефіцієнтом:

20.2.° Накресліть відрізок AB. Побудуйте образ цього відрізка при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

1) у точці A, k = 3;

2) у точці B, k = -2;

3) у середині відрізка AB, k = 2.

Рис. 20.14

20.3.° Накресліть коло, радіус якого дорівнює 2 см, і позначте на ньому точку A. Побудуйте образ цього кола при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

20.4.° Накресліть трикутник ABC. Побудуйте образ цього трикутника при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

20.5.° Накресліть трикутник ABC. Знайдіть точку перетину його медіан. Побудуйте образ цього трикутника при гомотетії із центром у точці перетину його медіан і коефіцієнтом:

20.6. ° Накресліть паралелограм ABCD. Точку перетину його діагоналей позначте буквою O. Побудуйте образ цього паралелограма при гомотетії із центром O та коефіцієнтом: 1) k = 2; 2) k = -2.

20.7. ° Накресліть квадрат ABCD. Побудуйте образ цього квадрата при гомотетії з коефіцієнтом k і центром:

20.8.° Орієнтуючись за клітинками, накресліть п’ятикутник ABCDE (рис. 20.15). Побудуйте п’ятикутник A1B1C1D1E1, подібний даному з коефіцієнтом подібності .

Рис. 20.15

Рис. 20.16

Рис. 20.17

20.9. На рисунку 20.16 точка A1 — образ точки A при гомотетії із центром O. Побудуйте образ точки B при цій гомотетії.

20.10. На рисунку 20.17 точка A1 — образ точки A при гомотетії з коефіцієнтом: 1) k = 3; 2) k = -2. Побудуйте центр гомотетії.

20.11.• На рисунку 20.18 зображено прямокутник ABCD та точки A1 і D1, які є образами відповідно точок A і D при перетворенні подібності. Побудуйте образ прямокутника ABCDпри цьому перетворенні. Скільки розв’язків має задача?

Рис. 20.18

Рис. 20.19

20.12.• На рисунку 20.19 зображено прямокутник ABCD та точки A1 і C1, які є образами відповідно точок A і C при перетворенні подібності. Побудуйте образ прямокутника ABCDпри цьому перетворенні. Скільки розв’язків має задача?

20.13.• Побудуйте образ трикутника ABC при перетворенні подібності, яке є композицією двох перетворень: гомотетії із центром O і коефіцієнтом k = 2 та осьової симетрії відносно прямої l (рис. 20.20). Укажіть коефіцієнт подібності.

Рис. 20.20

20.14. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 2 см. Позначте точку O на відстані 4 см від його центра. Побудуйте образ цього кола при перетворенні подібності, яке є композицією двох перетворень: гомотетії із центром O та коефіцієнтом k = і повороту із центром O за годинниковою стрілкою на кут 45°. Укажіть коефіцієнт подібності.

20.15.• На рисунку 20.21 зображено дві паралельні прямі а і b. Побудуйте центр гомотетії, при якому пряма b є образом прямої a з коефіцієнтом:

Скільки розв’язків має задача?

Рис. 20.21

20.16.• Накресліть трапецію ABCD, основа BC якої у два рази менша від основи AD. Побудуйте центр гомотетії, при якій відрізок AD є образом відрізка BC із коефіцієнтом: 1) k = 2; 2) k = -2.

ВПРАВИ

20.17.° У паралелограмі ABCD точка D1 — середина сторони AD. При гомотетії із центром A точка D1 є образом точки D. Знайдіть коефіцієнт гомотетії. Укажіть, які точки є образами точок B і C при цій гомотетії.

20.18.° Які з фігур, зображених на рисунку 20.22, збігаються зі своїми образами при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k > 0 і k ≠ 1?

Рис. 20.22

20.19.° Які з фігур, зображених на рисунку 20.23, збігаються зі своїми образами при гомотетії із центром O та коефіцієнтом k < 0?

Рис. 20.23

20.20.° Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M (рис. 20.24). Знайдіть коефіцієнт гомотетії із центром:

1) у точці B, при якій точка B1 є образом точки M;

2) у точці M, при якій точка A1 є образом точки A;

3) у точці C, при якій точка M є образом точки C1.

Рис. 20.24

20.21.° Медіани трикутника ABC перетинаються в точці M (рис. 20.24). Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій трикутник A1B1C1 є образом трикутника ABC.

20.22.° У трикутнику ABC медіани AA1, BB1 і CC1 перетинаються в точці M. Точки K, F і N — середини відрізків AM, BM і CM відповідно. Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій трикутник ABC є образом трикутника KFN.

20.23.° Знайдіть образи точок A (-2; 1), B (3; 0) і D (0; -6) при гомотетії із центром O (0; 0) та коефіцієнтом:

20.24.° Точка A1 (-1; 2) — образ точки A (-3; 6) при гомотетії із центром у початку координат. Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

20.25.° Площі двох подібних трикутників дорівнюють 28 см2 і 63 см2. Одна зі сторін першого трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть сторону другого трикутника, яка відповідає даній стороні першого.

20.26.° Відповідні сторони двох подібних трикутників дорівнюють 30 см і 24 см. Площа трикутника зі стороною 30 см дорівнює 45 см2. Знайдіть площу другого трикутника.

20.27.° Площа трикутника дорівнює S. Чому дорівнює площа трикутника, який відтинає від даного його середня лінія?

20.28.° Площа трикутника дорівнює S. Знайдіть площу трикутника, вершини якого — середини середніх ліній даного трикутника.

20.29. Відрізок MN — середня лінія трикутника ABC (рис. 20.25). Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій:

1) відрізок AC є образом відрізка MN;

2) відрізок MN є образом відрізка AC.

Рис. 20.25

Рис. 20.26

20.30. Паралельні прямі перетинають сторони кута A в точках M, N, P і Q (рис. 20.26). Відомо, що AM : MP = 3 : 1. Укажіть коефіцієнт і центр гомотетії, при якій:

1) відрізок PQ є образом відрізка MN;

2) відрізок MN є образом відрізка PQ.

20.31.• Паралельні відрізки BC і AD такі, що AD = 3BC. Скільки існує точок, що є центрами гомотетії, при якій образом відрізка BC є відрізок AD? Для кожної такої точки визначте коефіцієнт гомотетії.

20.32.• Кола із центрами О1 і O2 та радіусами R і r відповідно мають зовнішній дотик у точці O (рис. 20.27). Доведіть, що коло із центром О1 є образом кола із центром O2 при гомотетії із центром O та коефіцієнтом -.

20.33.• Кола із центрами О1 і O2 та радіусами R і r відповідно мають внутрішній дотик у точці O (рис. 20.28). Доведіть, що коло із центром О1 є образом кола із центром O2 при гомотетії із центром O та коефіцієнтом .

Рис. 20.27

Рис. 20.28

20.34. Коло із центром O дотикається до прямої а. Доведіть, що образ цього кола при гомотетії із центром A, де A — довільна точка прямої а (рис. 20.29), дотикається до цієї прямої.

Рис. 20.29

20.35.• Точка A (2; -3) — образ точки B (8; 6) при гомотетії із центром M (4; 0). Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

20.36. Точка A (-7; 10) — образ точки B (-1; -2) при гомотетії з коефіцієнтом -2. Знайдіть центр гомотетії.

20.37.• Точка A1 (x; 4) — образ точки A (-6; у) при гомотетії із центром у початку координат і коефіцієнтом:

Знайдіть x і y.

20.38. Точка A1 (4; у) — образ точки A (x; -4) при гомотетії із центром B (1; -1) і коефіцієнтом k = -3. Знайдіть x і у.

20.39. Середня лінія трикутника відтинає від нього трапецію, площа якої дорівнює 21 см2. Знайдіть площу даного трикутника.

20.40. Пряма, паралельна стороні AC трикутника ABC, перетинає його сторону AB у точці M, а сторону BC — у точці K. Знайдіть площу трикутника ABC, якщо BM = 4 см, AC = 8 см, AM = MK, а площа трикутника MBK дорівнює 5 см2.

20.41.• Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці E. Знайдіть площу трапеції, якщо BC : AD = 3 : 5, а площа трикутника AED дорівнює 175 см2.

Рис. 20.30

20.42.• На рисунку 20.30 зображено план школи. Обчисліть, яку площу займає школа, якщо план накреслено в масштабі 1 : 2000. Довжина сторони клітинки дорівнює 0,5 см.

20.43.•• Знайдіть образ прямої у = 2х + 1 при гомотетії із центром у початку координат і коефіцієнтом:

20.44. Знайдіть образ кола (х + 2)2 + (у - 4)2 = 4 при гомотетії із центром у початку координат і коефіцієнтом:

20.45.•• Два кола мають внутрішній дотик. Через точку дотику проведено дві прямі, які перетинають кола в точках A1, А2, B1, В2 (рис. 20.31). Доведіть, що A1B1 || A2B2.

20.46. Два кола мають зовнішній дотик. Через точку дотику проведено дві прямі, які перетинають кола в точках A1, A2, B1, B2 (рис. 20.32). Доведіть, що A1B1 || А2В2.

Рис. 20.31

Рис. 20.32

Рис. 20.33

20.47.•• Точка A належить колу (рис. 20.33). Знайдіть геометричне місце точок, які є серединами хорд даного кола, одним із кінців яких є точка A.

20.48.•• Два кола мають внутрішній дотик, причому менше коло проходить через центр більшого. Доведіть, що менше коло ділить навпіл будь-яку хорду більшого кола, яка проходить через точку дотику.

20.49.•• Дано трикутник ABC і довільну точку M. Доведіть, що точки, симетричні точці M відносно середин сторін трикутника ABC, є вершинами трикутника, рівного даному.

20.50.•• Побудуйте трикутник за двома його кутами та радіусом описаного кола.

20.51.•• Побудуйте трикутник за двома його кутами та радіусом вписаного кола.

20.52.•• Відрізок AC — найбільша сторона трикутника ABC. Впишіть у трикутник ABC прямокутник, сторони якого відносяться як 2 : 1, так, щоб дві вершини більшої сторони прямокутника лежали на стороні AC трикутника, а дві інші вершини — на сторонах AB і BC.

20.53.* Відрізок AB — хорда даного кола, точка C — довільна точка цього кола. Знайдіть геометричне місце точок, які є точками перетину медіан трикутників ABC.

20.54.* Дано дві точки A і B та пряму l. Знайдіть геометричне місце точок, які є точками перетину медіан трикутника ABC, де C — довільна точка прямої І.

20.55.* Точка M належить куту ABC, але не належить його сторонам. Побудуйте коло, яке дотикається до сторін кута і проходить через точку M.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

20.56. Знайдіть площу ромба та радіус кола, вписаного в ромб, якщо його діагоналі дорівнюють 12 см і 16 см.

20.57. Знайдіть периметр трикутника, утвореного при перетині прямої 3x + 4у = 24 з осями координат.

20.58. Два кола мають зовнішній дотик у точці A, точки B і C — точки дотику до цих кіл їхньої спільної дотичної. Доведіть, що кут BAC прямий.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити