Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§5 ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

21. Вправи для повторення курсу геометрії 9 класу

1. Pозв'язування трикутників

21.1. Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 10 см, а синус кута між ними дорівнює . Знайдіть третю сторону трикутника.

21.2. У паралелограмі ABCD відомо, що AB = 2 см, AD = 4 см, ∠BAD = 60°. Знайдіть косинус кута між прямими AC і BD.

21.3. Установіть, гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами: 1) 4 см, 4 см, 5 см; 2) 5 см, 6 см, 9 см; 3) 5 см, 12 см, 13 см.

21.4. Одна зі сторін трикутника дорівнює 21 см, а дві інші сторони відносяться як 3 : 8. Знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо кут між ними дорівнює 60°.

21.5. Одна зі сторін трикутника дорівнює 3 см, а друга сторона — см, причому кут, протилежний другій стороні, дорівнює 60°. Знайдіть невідому сторону трикутника.

21.6. Одна зі сторін паралелограма на 4 см більша за другу, а його діагоналі дорівнюють 12 см і 14 см. Знайдіть периметр паралелограма.

21.7. У трапеції ABCD відомо, що BC || AD, AD = 8 см, CD = 4 см. Коло, яке проходить через точки A, B і C, перетинає пряму AD у точці K, ∠AKB = 60°. Знайдіть відрізок BK.

21.8. Основи трапеції дорівнюють 3 см і 7 см, а бічні сторони — 6 см і 5 см. Знайдіть косинуси кутів трапеції.

21.9. Коло, вписане в трикутник ABC, дотикається до сторони AB у точці D, BD = 1 см, AD = 5 см, ∠ABC = 120°. Знайдіть відрізок CD.

21.10. Сторони трикутника дорівнюють 11 см, 12 см і 13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.

21.11. Знайдіть бісектрису трикутника, яка ділить його сторону на відрізки завдовжки 3 см і 4 см та утворює із цією стороною кут, що дорівнює 60°.

21.12. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC, BD = a, ∠A = 45°, ∠C = 75°. Знайдіть відрізок AD.

21.13. Знайдіть відношення сторін рівнобедреного трикутника, один із кутів якого дорівнює 120°.

21.14. У трикутнику ABC відомо, що AC = 6 см, ∠ABC = 60°. Знайдіть радіус кола, яке проходить через центр вписаного кола трикутника ABC та точки A і C.

21.15. Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.

21.16. Знайдіть бісектрису трикутника ABC, проведену з вершини A, якщо ∠BAC = a, AC = b, AB = c.

21.17. Бісектриса кута BAD паралелограма ABCD перетинає сторону BC у точці M. Знайдіть площу трикутника ABM, якщо AB = 4 см, ZBAD = 60°.

21.18. Знайдіть найбільшу висоту, радіуси вписаного й описаного кіл трикутника зі сторонами 4 см, 13 см і 15 см.

21.19. Радіуси двох кіл дорівнюють 17 см і 39 см, а відстань між їхніми центрами — 44 см. Знайдіть довжину спільної хорди даних кіл.

21.20. Обчисліть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює 15 см, а діагоналі — 11 см і 25 см.

21.21. Основи трапеції дорівнюють 16 см і 44 см, а бічні сторони — 17 см і 25 см. Знайдіть площу трапеції.

21.22. Основи трапеції дорівнюють 5 см і 12 см, а діагоналі — 9 см і 10 см. Знайдіть площу трапеції.

2. Правильні многокутники

21.23. Знайдіть площу правильного n-кутника, якщо радіус вписаного в нього кола дорівнює 6 см, а n дорівнює: 1) 3; 2) 4; 3) 6.

21.24. У коло вписано квадрат зі стороною 4 см. Знайдіть площу правильного трикутника, вписаного в це саме коло.

21.25. Знайдіть відношення площ правильних трикутника та шестикутника, вписаних в одне й те саме коло.

21.26. Середини сторін правильного дванадцятикутника сполучили через одну так, що отриманою фігурою є правильний шестикутник. Знайдіть сторону даного дванадцятикутника, якщо сторона утвореного шестикутника дорівнює а.

21.27. Довжина дуги кола дорівнює 6я см, а її градусна міра — 24°. Знайдіть радіус кола.

21.28. На катеті AC прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) як на діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги цього кола, яка міститься поза трикутником і відтинається гіпотенузою AB, якщо ∠A = 42°, AC = 8 см.

21.29. Сторона квадрата дорівнює 2 см. Знайдіть довжину дуги описаного кола даного квадрата, кінцями якої є дві його сусідні вершини.

21.30. Відстань між центрами двох кругів радіуса R дорівнює R. Знайдіть площу фігури, яка є спільною частиною цих кругів, і довжину лінії, що обмежує цю фігуру.

21.31. Площа кругового сектора дорівнює 2,4 см2. Знайдіть градусну міру дуги цього сектора, якщо радіус круга дорівнює 4 см.

21.32. Діаметр колеса вагона поїзда метрополітену дорівнює 78 см. За 2,5 хв колесо робить 1000 обертів. Знайдіть швидкість поїзда метрополітену в кілометрах за годину. Відповідь округліть до десятих.

21.33. Знайдіть довжину кола, вписаного в сегмент, довжина дуги якого дорівнює m, а градусна міра дорівнює 120°.

21.34. До кола, радіус якого дорівнює R, проведено дві дотичні, кут між якими дорівнює 60°. Знайдіть площу фігури, обмеженої дотичними та меншою з дуг, кінцями яких є точки дотику.

3. Декартові координати на площині

21.35. Вершинами трикутника є точки A (-4; 1), B (-2; 4) і C (0; 1). Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений, і знайдіть його площу.

21.36. Знайдіть координати точки перетину серединного перпендикуляра відрізка AB з віссю абсцис, якщо A (5; -3), B (4; 6).

21.37. Знайдіть координати точки перетину серединного перпендикуляра відрізка CD з віссю ординат, якщо C (2; 1), D (4; -3).

21.38. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A (-12; 6), B (0; 11), C (5; -1) і D (-7; -6) є квадратом.

21.39. Точка M (5; -2) є одним із кінців діаметра кола, точка N (2; 0) — центр кола. Знайдіть координати другого кінця діаметра.

21.40. Установіть, чи лежать точки A (-4; -3), B (26; 7) і C (2; -1) на одній прямій. У разі ствердної відповіді вкажіть, яка з точок лежить між двома іншими.

21.41. Доведіть, що трикутник, вершинами якого є точки A (5; 1), B (9; -2) і C (7; 2), прямокутний, і складіть рівняння кола, описаного навколо нього.

21.42. Установіть, чи є відрізок CD діаметром кола (x + 2)2 + (y - 3)2 = 52, якщо C (-8; 7), D (4; -1).

21.43. Коло, центр якого належить осі ординат, проходить через точки A (1; 2) і B (3; 6). Чи належить цьому колу точка C (-3; 4)?

21.44. Коло із центром у точці M (-5; 3) дотикається до осі ординат. Знайдіть координати точок перетину кола з віссю абсцис.

21.45. Знайдіть довжину лінії, заданої рівнянням

x2 + y2 - 2x + 4у - 20 = 0.

21.46. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку P (-3; 5) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює 6.

21.47. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку S (-1; 4) та утворює кут 135° з додатним напрямом осі абсцис.

21.48. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку A (-3; 1) паралельно прямій 5x + 3y = 6.

21.49. Знайдіть рівняння геометричного місця центрів кіл, які проходять через точки A (-3; -2) і B (2; 5).

4. Вектори на площині

21.50. Дві вершини прямокутника ABCD — точки A (3; 2) і B (3; -4). Модуль вектора дорівнює 10. Знайдіть координати точок C і D.

21.51. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O (рис. 21.1). Виразіть вектори через вектори

Рис. 21.1

21.52. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Знайдіть:

21.53. Знайдіть модуль вектора

21.54. Точки E і F — середини сторін AB і BC паралелограма ABCD відповідно (рис. 21.2). Виразіть вектор через вектори

21.55. На сторонах BC і CD паралелограма ABCD позначено точки M і K відповідно, причому BM = BC, CK = CD (рис. 21.3). Виразіть вектори через вектори

Рис. 21.2

Рис. 21.3

21.56. На сторонах AB і BC трикутника ABC позначено такі точки D і E відповідно, що AD : DC = 1 : 2, BE : EC = 2 : 1. Виразіть вектори через вектори

21.57. Чи колінеарні вектори якщо M (4; -1), N (-6; 5), K (7; -2), P (2; 1)?

21.58. Знайдіть значення k, при якому вектори колінеарні.

21.59. Дано вектори При якому значенні x виконується рівність

21.60. Знайдіть косинуси кутів трикутника ABC, якщо A (-3; -4), B (2; -3), C (3; 5). Установіть вид трикутника.

21.61. Дано вектори Знайдіть значення m, при якому вектори перпендикулярні.

21.62. Знайдіть косинус кута між векторами якщо

21.63. Дано вектори Знайдіть:

21.64. Складіть рівняння прямої, яка дотикається до кола із центром M (0; -4) у точці A (5; -3).

5. Геометричні перетворення

21.65. При паралельному перенесенні образом точки A (3; -2) є точка B (5; -3). Яка точка є образом точки C (-3; 4) при цьому паралельному перенесенні?

21.66. Побудуйте образи точок A (1; -3), B (0; -5) і C (2; 1) при паралельному перенесенні на вектор Запишіть координати побудованих точок.

21.67. Дано точки C (7; -4) і D (-1; 8). При паралельному перенесенні образом середини відрізка CD є точка P (-1; -3). Знайдіть координати точок, які є образами точок C і D.

21.68. На рисунку 21.4 CB = CD, ZACB = ZACD. Доведіть, що точки B і D симетричні відносно прямої AC.

21.69. Знайдіть координати точок, симетричних точці K (4; -2) відносно осей координат і початку координат.

21.70. Знайдіть х і у, якщо точки A (x; -2) і B (3; у) симетричні відносно осі абсцис.

21.71. Дано промінь OA та точку B, що йому не належить. Побудуйте промінь, симетричний даному відносно точки B.

21.72. Чи симетричні точки M (-3; 10) і N (-1; 6) відносно точки K (1; 4)?

Рис. 21.4

21.73. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х + 4)2 + (у - 5)2 = 11 відносно:

1) початку координат; 2) точки M (-3; 3).

21.74. Дано точки K і O. Побудуйте точку K1, яка є образом точки K при повороті навколо точки O: 1) на кут 130° проти годинникової стрілки; 2) на кут 40° за годинниковою стрілкою.

21.75. Дано відрізок AB і точку O, яка йому не належить. Побудуйте відрізок A1B1, який є образом відрізка AB при повороті на кут 50° навколо точки O за годинниковою стрілкою.

21.76. На який кут треба повернути прямокутник, відмінний від квадрата, навколо його центра симетрії, щоб його образом був цей самий прямокутник?

21.77. Побудуйте трикутник, гомотетичний даному тупокутному трикутнику, якщо центром гомотетії є центр описаного кола трикутника, коефіцієнт гомотетії k = -2.

21.78. Образом точки A (8; -2) при гомотетії із центром у початку координат є точка B (4; -1). Знайдіть коефіцієнт гомотетії.

21.79. Сторони двох правильних трикутників дорівнюють 8 см і 28 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ?

21.80. Многокутник F1 подібний многокутнику F2 з коефіцієнтом подібності k. Буквами P1, P2, S1, S2 позначено відповідно їхні периметри та площі. Заповніть порожні клітинки в таблиці.

P1

P2

S1

S2

k

19

64

16

12

36

7

35

4

100

21

36

2

21.81. Пряма, паралельна стороні трикутника завдовжки 6 см, ділить його на дві фігури, площі яких відносяться як 1 : 3. Знайдіть відрізок цієї прямої, що міститься між сторонами трикутника.

21.82. На стороні BC квадрата ABCD позначили точку M так, що BM : MC = 1 : 2. Відрізки AM і BD перетинаються в точці P. Знайдіть площу трикутника BPM, якщо площа трикутника APD дорівнює 27 см2.

21.83. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетинаються в точці M. Знайдіть площу трапеції, якщо AB : BM = 5 : 3, AD > BC, а площа трикутника AMD дорівнює 32 см2.

21.84. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 13 см, AC = 10 см. До кола, вписаного в цей трикутник, проведено дотичну, яка паралельна основі AC та перетинає сторони AB і BC у точках M і K відповідно. Обчисліть площу трикутника MBK.

21.85. На продовженнях медіан AA1, BB1 і CC1 трикутника ABC позначили відповідно точки A2, B2 і C2 так, що A1A2 = AA1, B1B2 = BB1, CC2 = CC1 (рис. 21.5). Знайдіть площу трикутника A2B2C2, якщо площа трикутника ABC дорівнює 1 см2.

Рис. 21.5



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити