Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

3. Теорема синусів

Під час доведення низки теорем і розв’язування багатьох задач застосовують таку лему.

Лема. Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.

Доведення. На рисунку 3.1 відрізок MN — хорда кола із центром у точці O. Проведемо діаметр MP. Тоді ∠MNP = 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр. Нехай величина вписаного кута MPN дорівнює а. Тоді з прямокутного трикутника MPN отримуємо:

MN = MP sin а. (1)

Усі вписані кути, які спираються на хорду MN, дорівнюють а або 180° - а. Отже, їхні синуси рівні. Тому отримана рівність (1) справедлива для всіх вписаних кутів, які спираються на хорду MN.

Рис. 3.1

Із другої ознаки рівності трикутників випливає, що сторона та два прилеглих до неї кути однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна знайти дві інші сторони трикутника. Як це зробити, підказує така теорема.

Теорема 3.1 (теорема синусів). Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Доведення. © Нехай у трикутнику ABC відомо, що AB = с, BC = a, CA = b. Доведемо, що

Нехай радіус описаного кола трикутника ABC дорівнює R. Тоді за лемою a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Звідси

Наслідок. Радіус кола, описаного навколо трикутника, можна обчислити за формулою

де a — довжина сторони трикутника, a — величина протилежного цій стороні кута.

Задача 1. У трикутнику ABC відомо, що AC = см, BC = 1 см, ∠B = 45°. Знайдіть кут A.

Розв’язання. За теоремою синусів

Тоді

Оскільки BC < AC, то ∠A < ∠B. Отже, кут A — гострий. Звідси, ураховуючи, що sin A = , отримуємо ∠A = 30°.

Відповідь: 30°.

Задача 2. У трикутнику ABC відомо, що AC = см, BC = 1 см, ∠A = 30°. Знайдіть кут B.

Розв’язання. За теоремою синусів

Тоді

Оскільки BC < AC, то ∠A < ∠B. Тоді кут B може бути як гострим, так і тупим. Звідси ∠B = 45° або ∠B = 180° - 45° = 135°.

Відповідь: 45° або 135°.

Задача 3. На стороні AB трикутника ABC позначено точку D так, що ∠BDC = y, AD = m (рис. 3.2). Знайдіть відрізок BD, якщо ∠A = a, ∠B = .

Розв’язання. Кут BDC — зовнішній кут трикутника ADC. Тоді ∠ACD + ∠A = ∠BDC, звідси ∠ACD = y - a.

Із трикутника ADC за теоремою синусів отримуємо:

Отже,

Із трикутника BCD за теоремою синусів отримуємо:

Отже,

Відповідь:

Рис. 3.2

Задача 4. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC, ∠ABC = 30°, ∠C = 105° (рис. 3.3). Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника BDC, дорівнює 8 см.

Розв’язання. Нехай R1 — радіус кола, описаного навколо трикутника BDC, R = 8 см.

Оскільки відрізок BD — бісектриса трикутника, то ∠CBD = ∠ABC = 15°.

Із трикутника BDC отримуємо:

∠BDC = 180° - (∠CBD + ∠C) = 180° - (15° + 105°) = 60°

За наслідком з теореми синусів

Звідси

Із трикутника ABC отримуємо:

∠A = 180° - (∠ABC + ∠C) = 180° - (30° + 105°) = 45°.

Нехай R — шуканий радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.

Тоді

звідси

Відповідь: 24 см.

1. Як знайти хорду кола, якщо відомо діаметр кола та вписаний кут, який спирається на цю хорду?

2. Сформулюйте теорему синусів.

3. Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі стороною а та протилежним цій стороні кутом а?

ВПРАВИ

3.1.° Знайдіть сторону BC трикутника ABC, зображеного на рисунку 3.4 (довжину відрізка дано в сантиметрах).

Рис. 3.4

Рис. 3.5

3.2.° Знайдіть кут A трикутника ABC, зображеного на рисунку 3.5 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

3.3.° Знайдіть сторону AB трикутника ABC, якщо AC = см, ∠B = 120°, ∠C = 45°.

3.4.° У трикутнику ABC відомо, що AB = 12 см, BC = 10 см, sin A = 0,2. Знайдіть синус кута C трикутника.

3.5.° У трикутнику DEF відомо, що DE = 16 см, ∠F = 50°, ∠D = 38°. Знайдіть сторону EF.

3.6.° У трикутнику MKP відомо, що KP = 8 см, ∠K = 106°, ∠P = 32°. Знайдіть сторону MP.

3.7.° Для знаходження відстані від точки A до дзвіниці B, яка розташована на другому березі річки (рис. 3.6), за допомогою віх, рулетки та приладу для вимірювання кутів (теодоліту) позначили на місцевості точку C таку, що ∠BAC = 42°, ∠ACB = 64°, AC = 20 м. Як знайти відстань від точки A до дзвіниці B? Знайдіть цю відстань.

Рис. 3.6

3.8.° У трикутнику ABC відомо, що ВС = a, ∠A = a, ∠C = g. Знайдіть сторони AB і AC.

3.9.° Діагональ паралелограма дорівнює d і утворює з його сторонами кути а і . Знайдіть сторони паралелограма.

3.10.° Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо:

Скільки розв’язків у кожному з випадків має задача? Відповідь обґрунтуйте.

3.11.° Чи існує трикутник ABC такий, що sin A = 0,4, AC = 18 см, BC = 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

3.12.° У трикутнику DEF відомо, що DE = 8 см, sin F = 0,16. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника DEF.

3.13.° Радіус кола, описаного навколо трикутника MKP, дорівнює 5 см, sin M = 0,7. Знайдіть сторону KP.

3.14.• На продовженні сторони AB трикутника ABC за точку B позначили точку D. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ACD, якщо ∠ABC = 60°, ∠ADC = 45°, а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 4 см.

3.15. Радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника AOC, де O — точка перетину бісектрис трикутника ABC, якщо ∠ABC = 60°.

3.16. Використовуючи дані рисунка 3.7, знайдіть відрізок AD, якщо CD = a, ∠BAC = y, ∠DBA = .

Рис. 3.7

3.17.• Використовуючи дані рисунка 3.8, знайдіть відрізок AC, якщо BD = m, ∠ABC = a, ∠ADC = .

3.18. На стороні AB трикутника ABC позначили точку M так, що ∠AMC = . Знайдіть відрізок CM, якщо AB = с, ∠A = a, ∠ACB = y.

Рис. 3.8

3.19. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = a, ∠B = . На стороні BC позначили точку D так, що ∠ADB = , AD = m. Знайдіть сторону BC.

3.20. Доведіть, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

3.21.• Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 12 см, а висота, проведена до третьої сторони, — 4 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.

3.22.• Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою 16 см і бічною стороною 10 см.

3.23.• Сторона трикутника дорівнює 24 см, а радіус описаного кола — 8 см. Чому дорівнює кут трикутника, протилежний даній стороні?

3.24. Траса для велосипедистів має форму трикутника, два кути якого дорівнюють 50° і 100°. Меншу сторону цього трикутника один із велосипедистів проїжджає за 1 год. За який час він проїде всю трасу? Відповідь подайте в годинах, округливши її до десятих.

3.25. •• У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = a, ∠C = y. Знайдіть бісектрису BD трикутника.

3.26.•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, протилежний їй кут дорівнює a. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при основі.

3.27.•• Доведіть, користуючись теоремою синусів, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких пропорційні прилеглим сторонам1.

1 Нагадаємо, що твердження з використанням теореми про пропорційні відрізки було доведено в підручнику: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Геометрія : підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Х.: Гімназія, 2016. Далі посилатимемося на цей підручник так: «Геометрія. 8 клас».

3.28.•• Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 21 см, а висота — 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

3.29.•• Відрізок CD — бісектриса трикутника ABC, у якому ∠A = а, ∠B = . Через точку D проведено пряму, яка паралельна стороні BC і перетинає сторону AC у точці E, причому AE = а. Знайдіть відрізок CE.

3.30.•• Медіана AM трикутника ABC дорівнює m і утворює зі сторонами AB і AC кути а і відповідно. Знайдіть сторони AB і AC.

3.31.•• Медіана CD трикутника ABC утворює зі сторонами AC і BC кути а і відповідно, BC = а. Знайдіть медіану CD.

3.32.•• Висоти гострокутного трикутника ABC перетинаються в точці H. Доведіть, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників AHB, BHC, AHC і ABC, рівні.

3.33.•• Дороги, які сполучають села A, B і C (рис. 3.9), утворюють трикутник, причому дорога із села A до села C заасфальтована, а дороги із села A до села B та із села B до села C — ґрунтові. Дороги, які ведуть із села A до сіл B і C, утворюють кут, величина якого 15°, а дороги, які ведуть із села B до сіл A і C, — кут, величина якого 5°. Швидкість руху автомобіля по асфальтованій дорозі у 2 рази більша за швидкість його руху по ґрунтовій. Який шлях вибрати водію автомобіля, щоб якнайшвидше дістатися із села A до села B?

Рис. 3.9

3.34.•• Дороги із сіл A і B сходяться біля розвилки C (рис. 3.10). Дорога із села A до розвилки утворює з дорогою із села A в село B кут, величина якого 30°, а дорога із села Bдо розвилки утворює з дорогою із села B в село A кут, величина якого 70°. Одночасно із села A до розвилки виїхав автомобіль зі швидкістю 90 км/год, а із села B — автобус зі швидкістю 60 км/год. Хто з них першим доїде до розвилки?

Рис. 3.10

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

3.35. Бісектриси кутів B і C прямокутника ABCD перетинають сторону AD у точках M і K відповідно. Доведіть, що BM = CK.

3.36. На рисунку 3.11 DE || AC, FK || AB. Укажіть, які трикутники на цьому рисунку подібні.

3.37. На стороні AB квадрата ABCD позначено точку K, а на стороні CD — точку M так, що AK : KB = 1 : 2, DM : MC = 3 : 1. Знайдіть сторону квадрата, якщо MK = 13 см.

Рис. 3.11

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

3.38. Розв’яжіть прямокутний трикутник:

1) за двома катетами a = 7 см і b = 35 см;

2) за гіпотенузою c = 17 см і катетом a = 8 см;

3) за гіпотенузою c = 4 см і гострим кутом а = 50°;

4) за катетом a = 8 см і протилежним кутом а = 42°.

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

3.39. У коло радіуса 1 см вписано п’ятикутник. Доведіть, що сума довжин його сторін і діагоналей менша від 17 см.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити