§1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

4. Розв'язування трикутників

Розв’язати трикутник означає знайти невідомі його сторони та кути за відомими сторонами та кутами¹.

У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Теореми косинусів і синусів дають змогу розв’язати будь-який трикутник.

У наступних задачах значення тригонометричних функцій будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до сотих. Величини кутів будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до одиниць. Обчислюючи довжини сторін, результат будемо округлювати до десятих.

Задача 1. Розв’яжіть трикутник (рис. 4.1) за стороною a = 12 см і двома кутами b = 36°, у = 119°.

Розв’язання. Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: а = 180° - (b + у) = 180° - 155° = 25°.

За теоремою синусів

Звідси

Маємо:

Знову застосовуючи теорему синусів, запишемо:

Звідси

Маємо:

Відповідь: b ≈ 16,9 см, c ≈ 24,9 см, а = 25°.

Рис. 4.1

Задача 2. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами a = 14 см, b = 8 см і кутом у = 38° між ними.

¹ У задачах цього пункту та вправах 4.1-4.9 прийнято позначення: a, b і с — довжини сторін трикутника, а, b і у — величини кутів, протилежних відповідно сторонам з довжинами a, b і с.

Розв’язання. За теоремою косинусів c² = a² + b² - 2ab cos g.

Звідси

с² = 196 + 64 - 2 ∙ 14 ∙ 8 cos 38° = 260 - 224 ∙ 0,79 = 83,04;

c ≈ 9,1 см.

Далі маємо:

a²= b² + c² - 2bc cos a;

Звідси a ≈ 110°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: b = 180° - (a + g); b ≈ 180° - 148° = 32°.

Відповідь: c ≈9,1 см, a ≈ 110°, b ≈ 32°.

Задача 3. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами a = 7 см, b = 2 см, c = 8 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів a² = b² + c² - 2bc cos a. Звідси

Отримуємо: a ≈ 54°.

За теоремою синусів

Звідси

Оскільки b — довжина найменшої сторони даного трикутника, то кут b є гострим. Тоді знаходимо, що b ≈ 13°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: g = 180° - (a + b); y ≈ 180° - 67° = 113°.

Відповідь: a ≈ 54°, b ≈ 13°, y ≈ 113°.

Задача 4. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, протилежним одній зі сторін:

1) a = 17 см, b = 6 см, a = 156°;

2) b = 7 см, c = 8 см, b = 65°;

3) a = 6 см, b = 5 см, b = 50°.

Розв’язання. 1) За теоремою синусів

Звідси

Оскільки кут а даного трикутника тупий, то кут b є гострим. Тоді знаходимо, що ≈ 8°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: y = 180° - (а + b); y ≈ 16°.

За теоремою синусів

Звідси

Відповідь: ≈ 8°, y ≈ 16°, c ≈ 11,6 см.

2) За теоремою синусів

Звідси

що не можливо.

Відповідь: задача не має розв’язку.

3) За теоремою синусів

Звідси

Можливі два випадки: а ≈ 67° або а ≈ 180° - 67° = 113°. Розглянемо випадок, коли а ≈ 67°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: y = 180° - (а + ); y ≈ 180° - 117° = 63°.

За теоремою синусів

Звідси

Розглянемо випадок, коли а ≈ 113°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: y = 180° - (а + ); y ≈ 180° - 163° = 17°.

Оскільки

Відповідь: а ≈ 67°, y ≈ 63°, c ≈ 5,8 см або а ≈ 113°, y ≈ 17°, c ≈ 1,9 см.

ВПРАВИ

4.1.° Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:

1) a = 10 см, = 20°, y = 85°; 2) b = 16 см, а = 40°, = 110°.

4.2.° Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:

1) b = 9 см, а = 35°, y = 70°; 2) с = 14 см, = 132°, y = 24°.

4.3.° Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:

1) b = 18 см, с = 22 см, а = 76°;

2) a = 20 см, b = 15 см, y = 104°.

4.4.° Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:

1) a = 8 см, с = 6 см, = 15°; 2) b = 7 см, с = 5 см, а = 145°.

4.5.° Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

1) a = 4 см, b = 5 см, с = 7 см; 2) a = 26 см, b = 19 см, с = 42 см.

4.6.° Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

1) a = 5 см, b = 6 см, с = 8 см; 2) a = 21 см, b = 17 см, с = 32 см.

4.7.° Розв’яжіть трикутник, у якому:

1) a = 10 см, b = 3 см, = 10°, кут а гострий;

2) a = 10 см, b = 3 см, = 10°, кут а тупий.

4.8.• Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:

1) a = 7 см, b = 11 см, = 46°; 3) a = 7 см, с = 3 см, y = 27°.

2) b = 15 см, с = 17 см, = 32°;

4.9.• Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:

1) a = 23 см, с = 30 см, y = 102°;

2) a = 18 см, b = 25 см, а = 36°.

4.10. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 20 см, ∠A = 70°. Знайдіть:

1) сторону AC;

2) медіану CM;

3) бісектрису AD;

4) радіус описаного кола трикутника ABC.

4.11.• Діагональ AC рівнобічної трапеції ABCD (BC || AD) дорівнює 8 см, ∠CAD = 38°, ∠BAD = 72°. Знайдіть:

1) сторони трапеції;

2) радіус описаного кола трикутника ABC.

4.12.•• Основи трапеції дорівнюють 12 см і 16 см, а бічні сторони — 7 см і 9 см. Знайдіть кути трапеції.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

4.13. Бісектриса кута B паралелограма ABCD перетинає його сторону AD у точці M, а продовження сторони CD за точку D — у точці K. Знайдіть відрізок DK, якщо AM = 8 см, а периметр паралелограма дорівнює 50 см.

4.14. Периметр одного з двох подібних трикутників на 18 см менший від периметра другого трикутника, а дві відповідні сторони цих трикутників дорівнюють 5 см і 8 см. Знайдіть периметри даних трикутників.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

4.15. Точка M — середина сторони CD прямокутника ABCD (рис. 4.2), AB = 6 см, AD = 5 см. Чому дорівнює площа трикутника ACM?

4.16. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що ∠ADB = а. Доведіть, щo S_ABC = AC. BD sin а.

Рис. 4.2