Підручник Геометрія 9 клас - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2017 рік

§1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

5. Формули для знаходження площі трикутника

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що площу S трикутника зі сторонами a, b і с та висотами ha, hb і hc можна обчислити за формулами

Тепер у нас з’явилася можливість отримати ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Теорема 5.1. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін і синуса кута між ними.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b і ∠C = y. Доведемо, що

Можливі три випадки:

1) кут y гострий (рис. 5.1);

2) кут y тупий (рис. 5.2);

3) кут y прямий.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

На рисунках 5.1 і 5.2 проведемо висоту BD трикутника ABC

Тоді

Із прямокутного трикутника BDC у першому випадку (див. рис. 5.1) отримуємо: BD = a sin y, а в другому (див. рис. 5.2): BD = a sin (180° - y) = a sin y. Звідси для двох перших випадків маємо:

Якщо кут C прямий, то sin y = 1. Для прямокутного трикутника ABC із катетами а і b маємо:

Теорема 5.2 (формула Герона1). Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою

де p — його півпериметр.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b, AB = c. Доведемо, що

1 Герон Александрійський — давньогрецький учений, який жив у І ст. н. е. Його математичні праці є енциклопедією прикладної математики.

Нехай ∠C = y. Запишемо формулу площі трикутника:

Звідси

За теоремою косинусів c2 = a2 + b2 - 2ab cos g.

Тоді

Оскільки sin2 y = 1 - cos2 y = (1 - cos y) (1 + cos y), то:

Звідси

Теорема 5.3. Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою

де R — радіус кола, описаного навколо трикутника.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b, AB = c. Доведемо, що

де R — радіус описаного кола трикутника.

Нехай ∠A = а. Запишемо формулу площі трикутника:

Із теми п. 3 випливає, що

Тоді

Зауважимо, що доведена теорема дає змогу знаходити радіус описаного кола трикутника за формулою

Теорема 5.4. Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

Доведення. На рисунку 5.3 зображено трикутник ABC, у який вписано коло радіуса r. Доведемо, що

S = pr,

де S — площа даного трикутника, p — його півпериметр.

Нехай точка O — центр вписаного кола, яке дотикається до сторін трикутника ABC у точках M, N і P. Площа трикутника ABC дорівнює сумі площ трикутників AOB, BOC і COA:

S = SAOB + SBOC + SCOA

Проведемо радіуси в точки дотику. Отримуємо: OM AB, ON BC, OP CA. Звідси:

Рис. 5.3

Отже,

Теорему 5.4 узагальнює така теорема.

Теорема 5.5. Площа описаного многокутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

Доведіть цю теорему самостійно (рис. 5.4).

Зауважимо, що теорема 5.5 дає змогу знаходити радіус вписаного кола многокутника за формулою

Рис. 5.4

Задача 1. Доведіть, що площу З паралелограма можна обчислити за формулою

S = ab sin a,

де а і b — довжини сусідніх сторін паралелограма, а — кут між ними.

Розв’язання. Розглянемо паралелограм ABCD, у якому AB = a, AD = b, ∠BAD = а (рис. 5.5). Проведемо діагональ BD. Оскільки ∆ABD = ∆CBD, то запишемо:

Рис. 5.5

Задача 2. Доведіть, що площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей і синуса кута між ними.

Розв’язання. Нехай кут між діагоналями AC і BD чотирикутника ABCD дорівнює . На рисунку 5.6 ∠AOB = . Тоді ∠BOC = ∠AOD = 180° - і ∠COD = . Маємо:

Рис. 5.6

Задача 3. Сторони трикутника дорівнюють 17 см, 65 см і 80 см. Знайдіть найменшу висоту трикутника, радіуси його вписаного й описаного кіл.

Розв’язання. Нехай а = 17 см, b = 65 см, c = 80 см.

Знайдемо півпериметр трикутника:

Площу трикутника обчислимо за формулою Герона:

Найменшою висотою трикутника є висота, проведена до його найбільшої сторони, довжина якої дорівнює с.

Оскільки

Радіус вписаного кола

Радіус описаного кола

Відповідь:

1. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо дві його сторони та кут між ними?

2. Запишіть формулу Герона для обчислення площі трикутника.

3. Як можна обчислити площу трикутника зі сторонами a, b і ста радіусом R описаного кола?

4. Як можна знайти радіус описаного кола трикутника, якщо відомо площу трикутника та його сторони?

5. Як можна знайти площу трикутника, якщо відомо його півпериметр і радіус вписаного кола?

6. Як можна знайти радіус вписаного кола трикутника, якщо відомо площу трикутника та його сторони?

7. Чому дорівнює площа описаного многокутника?

ВПРАВИ

5.1.° Знайдіть площу трикутника ABC, якщо:

1) AB = 12 см, AC = 9 см, ∠A = 30°;

2) AC = 3 см, BC = 6 см, ∠C = 135°.

5.2.° Знайдіть площу трикутника DEF, якщо:

1) DE = 7 см, DF = 8 см, ∠D = 60°;

2) DE = 10 см, EF = 6 см, ∠E = 150°.

5.3.° Площа трикутника MKN дорівнює 75 см2. Знайдіть сторону MK, якщо KN = 15 см, ∠K = 30°.

5.4.° Знайдіть кут між даними сторонами трикутника ABC, якщо:

1) AB = 12 см, BC = 10 см, площа трикутника дорівнює 30 см2;

2) AB = 14 см, AC = 8 см, площа трикутника дорівнює 56 см2.

5.5.° Площа трикутника ABC дорівнює 18 см2. Відомо, що AC = 8 см, BC = 9 см. Знайдіть кут C.

5.6.° Знайдіть площу рівнобедреного трикутника з бічною стороною 16 см і кутом 15° при основі.

5.7.° Знайдіть площу трикутника зі сторонами:

1) 13 см, 14 см, 15 см; 2) 2 см, 3 см, 4 см.

5.8.° Знайдіть площу трикутника зі сторонами:

1) 9 см, 10 см, 17 см; 2) 4 см, 5 см, 7 см.

5.9.° Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 13 см, 20 см і 21 см.

5.10.° Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 11 см, 25 см і 30 см.

5.11.° Периметр трикутника дорівнює 32 см, а радіус вписаного кола — 1,5 см. Знайдіть площу трикутника.

5.12.° Площа трикутника дорівнює 84 см2, а його периметр — 72 см. Знайдіть радіус вписаного кола трикутника.

5.13.° Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами:

1) 5 см, 5 см і 6 см; 2) 25 см, 29 см і 36 см.

5.14.° Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами 6 см, 25 см і 29 см.

5.15.° Знайдіть площу паралелограма за його сторонами а і b та кутом а між ними, якщо:

1) a = 5J2 см, b = 9 см, а = 45°;

2) а = 10 см, b = 18 см, а = 150°.

5.16.° Чому дорівнює площа паралелограма, сторони якого дорівнюють 7 см і 12 см, а один із кутів — 120°?

5.17.° Знайдіть площу ромба зі стороною 9 см і кутом 60°.

5.18.° Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу чотирикутника.

5.19.° Знайдіть площу опуклого чотирикутника, діагоналі якого дорівнюють 3 см і 4 см, а кут між ними — 60°.

5.20.° Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, площа якого дорівнює 36 см2, а кут при вершині — 30°.

5.21.• Який трикутник із двома даними сторонами має найбільшу площу?

5.22.• Чи може площа трикутника зі сторонами 4 см і 6 см дорівнювати:

1) 6 см2; 2) 14 см2; 3) 12 см2?

5.23.• Дві сусідні сторони паралелограма відповідно дорівнюють двом сусіднім сторонам прямокутника. Чому дорівнює гострий кут паралелограма, якщо його площа вдвічі менша від площі прямокутника?

5.24. Знайдіть відношення площ S1 і S2 трикутників, зображених на рисунку 5.7 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

Рис. 5.7

5.25.• Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC. Площа трикутника ABD дорівнює 12 см2, а трикутника ACD — 20 см2. Знайдіть відношення сторони AB до сторони AC.

5.26. Знайдіть площу трикутника, сторона якого дорівнює а, а прилеглі до неї кути дорівнюють р і y.

5.27. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два кути трикутника дорівнюють а і р. Знайдіть площу трикутника.

5.28. У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = а, ∠B = р. Знайдіть площу трикутника.

5.29. У трикутнику ABC кут A дорівнює а, а висоти BD і CE дорівнюють відповідно h1 і h2. Знайдіть площу трикутника ABC.

5.30. Відрізок BM — висота трикутника ABC, BM = h, ∠A = а, ∠ABC = р. Знайдіть площу трикутника ABC.

5.31. • У трикутник зі сторонами 17 см, 25 см і 28 см вписано коло, центр якого сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трикутників, які при цьому утворилися.

5.32. •• Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC, AB = 6 см, AC = 8 см, ∠BAC = 120°. Знайдіть бісектрису AD.

5.33.•• Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 50 см, а бічні сторони — 13 см і 37 см.

5.34.•• Основи трапеції дорівнюють 4 см і 5 см, а діагоналі — 7 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

5.35.•• Відрізки BM і CK — висоти гострокутного трикутника ABC, ∠A = 45°. Знайдіть відношення площ трикутників AMK і ABC.

5.36.•• Сторони трикутника дорівнюють 39 см, 41 см і 50 см. Знайдіть радіус кола, центр якого належить більшій стороні трикутника та яке дотикається до двох інших сторін.

5.37.•• Вершини трикутника сполучено із центром вписаного в нього кола. Проведені відрізки розбивають даний трикутник на трикутники, площі яких дорівнюють 26 см2, 28 см2 і 30 см2. Знайдіть сторони даного трикутника.

5.38.•• Доведіть, що де h1, h2 і h3 — довжини висот трикутника, r — радіус вписаного кола.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

5.39. Перпендикуляр, проведений із вершини прямокутника до його діагоналі, ділить його кут у відношенні 4 : 5. Визначте кут між цим перпендикуляром і другою діагоналлю.

5.40. Середня лінія MK трапеції ABCD (BC || AD) дорівнює 56 см. Через середину M сторони AB проведено пряму, яка паралельна стороні CD і перетинає основу AD у точці E так, що AE : ED = = 5 : 8. Знайдіть основи трапеції.

5.41. Відрізок CD — бісектриса трикутника ABC. Через точку D проведено пряму, яка паралельна прямій AC і перетинає сторону BC у точці E. Знайдіть відрізок DE, якщо AC = 16 см, BC = 24 см.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

5.42. Знайдіть суму кутів опуклого семикутника.

5.43. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює:

1) 1080°; 2) 1200°?

5.44. Чи існує многокутник, кожний кут якого дорівнює:

1) 72°; 2) 171°?

5.45. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):

1) якщо всі сторони многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його кути теж рівні;

2) якщо всі кути многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його сторони теж рівні;

3) якщо всі сторони многокутника, описаного навколо кола, рівні, то й усі його кути теж рівні;

4) якщо всі кути многокутника, описаного навколо кола, рівні, то й усі його сторони теж рівні?

СПОСТЕРІГАЙТЕ, РИСУЙТЕ, КОНСТРУЮЙТЕ, ФАНТАЗУЙТЕ

5.46. Дано квадрат розміром 99 х 99 клітинок. Кожну клітинку квадрата пофарбовано в чорний або в білий колір. Дозволяється одночасно перефарбувати всі клітинки деякого стовпця або деякого рядка в той колір, клітинок якого в цьому стовпці або в цьому рядку до перефарбовування було найбільше. Чи завжди можна добитися того, щоб усі клітинки квадрата стали однакового кольору?

ЗОВНІ ВПИСАНЕ КОЛО ТРИКУТНИКА

Проведемо бісектриси двох зовнішніх кутів із вершинами A і C трикутника ABC (рис. 5.8). Нехай O — точка перетину цих бісектрис. Тоді точка O рівновіддалена від прямих AB, BC і AC.

Проведемо три перпендикуляри: OM AB, OK AC, ON BC. Зрозуміло, що OM = OK = ON. Отже, існує коло із центром у точці O, яке дотикається до сторони трикутника та продовжень двох інших його сторін. Таке коло називають зовнівписаним колом трикутника ABC (рис. 5.8).

Оскільки OM = ON, то точка O належить бісектрисі кута ABC.

Будь-який трикутник має три зовнівписаних кола. На рисунку 5.9 їхні центри позначено OA, OB і OC. Радіуси цих кіл позначимо відповідно ra, rb і rc.

За властивістю дотичних, проведених до кола через одну точку, маємо: CK = CN, AK = AM (рис. 5.8). Тоді AC = CN + AM. Отже, периметр трикутника ABC дорівнює сумі BM + BN. Але BM = BN. Тоді BM = BN = р, де p — півпериметр трикутника ABC.

Рис. 5.8

Рис. 5.9

Маємо:

Звідси

де S — площа трикутника ABC.

Аналогічно можна показати, що

ВПРАВИ

1. Доведіть, що де r — радіус вписаного кола трикутника ABC.

2. Доведіть, що площу S прямокутного трикутника можна обчислити за формулою S = rc ∙ r, де rc — радіус зовнівписаного кола, яке дотикається до гіпотенузи трикутника, r — радіус вписаного кола даного трикутника.

3. У рівносторонній трикутник зі стороною а вписано коло. До кола проведено дотичну так, що відрізок дотичної, який належить трикутнику, дорівнює b. Знайдіть площу трикутника, який ця дотична відтинає від рівностороннього трикутника.

4. У чотирикутнику ABCD діагональ BD перпендикулярна до сторони AD, ∠ADC = 135°, ∠BAD = ∠BCD = 60°. Доведіть, що діагональ AC є бісектрисою кута BAD.

Вказівка. Доведіть, що точка C — центр зовнівписаного кола трикутника ABD.

5. У трикутнику ABC кут B дорівнює 120°. Відрізки AN, CF і BK є бісектрисами трикутника ABC. Доведіть, що кут NKF дорівнює 90°.

Вказівка. На продовженні сторони AB за точку B позначимо точку M. Тоді ∠MBC = ∠KBC = 60°, тобто промінь BC — бісектриса зовнішнього кута MBK трикутника ABK. Звідси випливає, що точка N — центр зовнівписаного кола трикутника ABK. Аналогічно можна довести, що точка F — центр зовнівписаного кола трикутника BCK.

6. Сторона квадрата ABCD дорівнює 1 см. На сторонах AB і BC позначили точки M і N відповідно так, що периметр трикутника MBN дорівнює 2 см. Знайдіть кут MDN.

Вказівка. Доведіть, що точка D — центр зовнівписаного кола трикутника MBN.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити