Математика 5 клас

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

 

§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

 

24. Комбінаторні задачі

 

Припустимо, що ви не можете пригадати останню цифру номера телефону свого друга. Яку найбільшу кількість номерів доведеться набрати, щоб йому додзвонитися?

Оскільки в кінці телефонного номера може стояти будь-яка з десяти цифр, то вам у найгіршому випадку доведеться зробити 10 спроб, тим самим перебравши всі можливі варіанти.

Нерідко в повсякденному житті ми стикаємось із задачами, розв’язання яких потребує розгляду та підрахунку всіх можливих випадків, або, як ще прийнято говорити, усіх можливих комбінацій. Тому такі задачі називають комбінаторними.

ПРИКЛАД1 Однокласниці Олена, Валентина та Катерина чергують по школі. Скількома способами класний керівник може розставити дівчинок по одній на кожному з трьох поверхів школи?

Розв’язання. Припустимо, що Олену призначили чергувати на третьому поверсі. Тоді на другому поверсі може чергувати Валентина або Катерина, а на першому — відповідно Катерина або Валентина.

Отримуємо два способи (дві комбінації, два варіанти) розподілу чергування (дівчинок позначено першими буквами їх імен):

3-й поверх:       О       О

2-й  поверх:       В        К

1-й  поверх:       К        В

Нехай тепер черговою на третьому поверсі призначили Валентину. Тоді на другому поверсі може чергувати Олена або Катерина, а на першому — відповідно Катерина або Олена. Отримуємо ще два способи розподілу чергування:

3-й  поверх:       В        В

2-й  поверх:      О       К

1-й  поверх:       К        О

І нарешті, припустимо, що черговою на третьому поверсі призначили Катерину. Отримуємо ще два способи розподілу чергування:

3-й  поверх:       К        К

2-й  поверх:       В        О

1-й поверх:       О       В

Таким чином, отримали шість способів розподілу чергування:

3-й поверх

O

O

В

В

К

К

2-й поверх

В

К

O

К

В

О

1-й поверх

К

В

К

O

O

В

Відповідь: 6 способів.

Під час розв’язування комбінаторних задач важливо розглянути (перебрати) усі випадки. Тому процес перебору бажано зробити зручним і наочним.

Наприклад, розв’язання задачі про розподіл чергувань можна проілюструвати за допомогою такої схеми:

 

Ця схема дає змогу записати шість комбінацій, кожна з яких відповідає одному варіанту розподілу чергування: ОВК, ОКВ, ВОК, ВКО, КВО, КОВ.

Зображена схема нагадує перевернуте дерево. Тому її називають деревом можливих варіантів.

ПРИКЛАД 2 Скільки кутів зображено на рисунку 181?

Розв’язання. Позначення будь-якого кута, зображеного на рисунку, складається з трьох букв, другою з яких обов’язково є буква О, а дві інші вибирають із букв А, В, С, DТому шукана кількість кутів дорівнює кількості способів вибрати з букв А, В, С, D дві букви.

Рис. 181

Записуючи всі можливі варіанти, слід урахувати що комбінації, які відрізняються порядком слідуванні букв, відповідають одному й тому самому куту. Наприклад, комбінації АВ і ВА відповідають одному й тому самому куту АОВ.

Спочатку запишемо всі пари букв, першою в якиx є буква А:

ABACAD.

Тепер запишемо пари букв, першою в яких є буква В, а другою не є буква А:

ВС, BD.

Залишилося записати пари букв, першою в яких є буква С, а другою не є ні буква А, ні буква В:

CD.

Таким чином, отримали шість комбінацій: АВ, АС, АD, ВС, BDCD.

Отже, на рисунку 181 зображено шість кутів.

Відповідь: 6 кутів.

При розв’язуванні цієї задачі можна скористатися такою наочною схемою.

Розглянемо чотири точки, позначені буквами А, В, С, D (рис. 182). Тоді кількість відрізків, що сполучають кожні дві точки, дорівнює кількості кутів, зображених на рисунку 181. Наприклад, відрізку АС на рисунку 182 відповідає кут АОС на рисунку 181, відрізку ВС — кут ВОС. І навпаки, кожному куту на рисунку 181 відповідає певний відрізок на рисунку 182.

 

Рис.182

 

На рисунку 182 можна провести всього шість відрізків. Отже, шукана кількість кутів дорівнює шести.

За допомогою схем, подібних до тієї, що зображено на рисунку 182, можна розв’язувати низку задач. За допомогою цієї схеми розв’яжіть таку задачу.

При зустрічі чотири приятелі потиснули один одному руки. Скільки разом було зроблено рукостискань? (Відповідь: 6.)

Розв’язуємо усно

1. Одним шаром паперу оклеїли куб, ребро якого дорівнює 3 дм. Скільки квадратних дециметрів паперу витратили на оклеювання куба?

2. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 240 см3. Якою з даних трійок чисел можна задати виміри цього паралелепіпеда:

1) 4 см, 6 см, 12 см;        3) 3 см, 5 см, 10 см;

2) 5 см, 6 см, 8 см;          4) 10 см, 10 см, 24 см?

3. Скільки центнерів пшениці можна засипати в бункер, який має форму прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжина дорівнює 8 м, ширина — 2 м, висота — 1 м, а маса 1 м3 зерна становить 8 ц?

4. Що більше і на скільки:

1)    квадрат суми чисел 4 і 3 чи сума їх квадратів;

2) різниця квадратів чисел 10 і 8 чи квадрат їх різниці;

3)    різниця кубів чисел 5 і 3 чи куб їх різниці?

Вправи

650.°  Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1, 2 і 3 (цифри в числі можуть повторюватися).

651.°  Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 1, 2 і 0 (цифри в числі можуть повторюватися).

652.°  Віслюк Іа має три надувні кульки: червону, зелену та жовту. Він хоче подарувати по одній кульці своїм друзям: Вінні-Пуху, П’ятачку і Кролику. Скільки варіантів зробити подарунки своїм друзям є у віслюка Іа?

653.°  Скільки двоцифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати за допомогою цифр 0, 1 і 2?

654.°  У футбольному турнірі беруть участь команди 5   «А» класу, 5 «Б» класу і 5 «В» класу. Скільки існує способів розподілу першого і другого місць серед цих команд? Розв’язання якої із задач за номерами 650-653 аналогічне розв’язанню цієї задачі?

655.°  Запишіть усі трицифрові числа, для запису яких використовуються цифри:

1)   3, 4 і 6;                     2) 4, 7 і 0.

(Цифри в числі не можуть повторюватися.)

656.°  Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр:

1)   1 і 2; 2) 0 і 1?

(Цифри в числі можуть повторюватися.)

657.°  Запишіть усі двоцифрові числа, у записі яких використовуються тільки цифри 2, 4, 9 і 0. (Цифри в числі можуть повторюватися.)

658.°  Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку зростання?

659.° Скільки двоцифрових чисел можна записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку спадання?

660.° Скільки існує двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює 5?

661.° Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює парному числу, можна скласти з цифр 1,2, З, 4 (цифри в числі можуть повторюватися)?

662.° Скільки двоцифрових чисел, сума цифр яких дорівнює непарному числу, можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3?

663.°°Кіт Базиліо та лисиця Аліса вирішили вкрасти золотий ключик, який зберігається в комірці тата Карла. Щоб туди потрапити, слід підібрати двоцифровий код. їм відомо, що двері в комірку зачиняє Буратіно, який знає поки що тільки чотири цифри: 0, 1, 2 і 3. Яку найбільшу кількість варіантів доведеться перебрати коту й лісиці, щоб відчинити двері?

664.°° Скільки існує різних прямокутників, периметри яких дорівнюють 24 см, а довжини сторін, виражені в сантиметрах, є натуральними числами?

665.°° Ганнуся має 30 однакових кубиків. Скільки різних прямокутних паралелепіпедів вона може з них скласти, якщо для побудови одного паралелепіпеда треба використати всі наявні 30 кубиків?

666.°°На прямій позначили чотири точки: А, В, С і DСкільки існує відрізків з кінцями в позначених точках? Який із рисунків п. 24 допомагає розв’язати цю задачу?

667.°°Підніжжя гори та її вершину зв’язують три стежки. Скільки існує маршрутів, які ведуть від підніжжя до вершини й потім униз до підніжжя?

668.°°Команді пропонують футболки трьох кольорів: червоного, зеленого та синього, і шорти двох кольорів — білого та жовтого. Скільки варіантів вибрати форму є у команди?

669.°°Тетянка має чотири плаття та дві пари туфель. Скільки у Тетянки є варіантів вибрати наряд?

670.°° У загоні космонавтів є три пілоти та два інженери. Скільки існує способів скласти екіпаж з одного пілота й одного інженера?

671.°°На рисунку 183 зображено план одного району міста.

Відрізками зображено вулиці.

Скільки існує маршрутів з точки А в точку В, якщо пересуватися дозволено вулицями, що ведуть на північ або на схід?

Рис. 183

 

672.°°       У записі 1 * 2 * 3 * 4 замість кожної зірочки можна поставити знак «+» або знак «∙». Чому дорівнює найбільше значення виразу, який можна отримати?

Вправи для повторення

673.  Відстань між двома селами дорівнює 28 км. Із цих сіл одночасно в одному напрямку виїхали мотоцикліст і автобус. Автобус їхав попереду зі швидкістю 42 км/год, а мотоцикліст їхав зі швидкістю 56 км/год. Через скільки годин після початку руху мотоцикліст наздогнав автобус?

674.  Розв’яжіть рівняння:

1)      1376 : (34 - х) = 86;

2)      9680 : (х + 219) = 16;

3)      (х - 57) : 29 = 205;

4)      (х - 72) ∙ 9 = 927.

675.  Один із доданків у 14 разів більший за другий. У скільки разів їх сума більша за менший із доданків?

676.  Від’ємник у 12 разів більший за різницю. У скільки разів зменшуване більше за різницю?

 

677. Розгадайте кросворд:

По горизонталі: 1. Результат дії ділення. 2. Одиниця часу. 3. Одиниця виміру кутів. 4. Компонент множення. 5. Компонент додавання.

По вертикалі: 6. «Цариця наук».

Задача від Мудрої Сови

678. У класі 30 учнів. Вони сидять по двоє за 15 партами так, що половина всіх дівчинок сидить з хлопчиками. Чи можна учнів класу пересадити так, щоб половина всіх хлопчиків сиділа з дівчинками?

ЗАВДАННЯ № З «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ

1.    Яку з даних одиниць виміру використовують при вимірюванні площі?

А) 1 см Б) 1 с В) 1 га Г) 1 г

2.   Чому дорівнює корінь рівняння (х - 28) ∙ 16 = 1632?

А) 130 Б) 120 В) 60 Г) 40

3.   Спростіть вираз 52 ∙ m ∙ 3.

А) 156m       Б) 52m        В) 55m         Г) 126m

4.   Укажіть правильну рівність.

А) 2 (5 + х) = 5 + 2x      В) 2 (5 + х) = 12x

Б) 2 (5 + х) = 10 + х            Г) 2 (5 + х) = 10 + 2х

5.   Чому дорівнює корінь рівняння 7х + х - 5х = 132?

А) 66            Б) 44           В) 12           Г) 11

6.   Укажіть число, яке може бути остачею при діленні натурального числа а на 98.

А) 102          Б) 100         В) 98           Г) 96

7.   Із двох сіл, відстань між якими дорівнює 18 км, одночасно в одному напрямі вирушили пішохід і велосипедист. Пішохід ішов попереду зі швидкістю 3 км/год, а велосипедист їхав зі швидкістю

12  км/год. Через скільки годин після початку руху велосипедист наздогнав пішохода?

А) 1 год        Б) 2 год       В) 3 год        Г) 1 год

8.   У кожному під’їзді на кожному поверсі дев’ятиповерхового будинку розташовано по вісім квартир. Знайдіть номер поверху, на якому міститься квартира № 173.

А) З              Б) 4            В) 5             Г) 6

9.   Стіну завдовжки 6 м і заввишки 2 м 40 см планують обкласти кахлем. Одна кахляна плитка має форму квадрата зі стороною 15 см, а в одному контейнері міститься 120 плиток. Яку найменшу кількість контейнерів з кахлем потрібно придбати для запланованої роботи?

А) 4 контейнери               В) 6 контейнерів

Б) 5 контейнерів              Г) 7 контейнерів

10. Об’єм акваріума дорівнює 120 000 см3. Знайдіть висоту акваріума, якщо його довжина дорівнює 60 см, а ширина — 40 см.

А) 5000 см Б) 500 см В) 50 см Г) 5 см

11.  Машиніст пасажирського поїзда, який рухався зі швидкістю 56 км/год, помітив, що зустрічний товарний поїзд, який рухався зі швидкістю 34 км/год, пройшов повз нього за 15 с. Яка довжина товарного поїзда?

А) 360 м   Б) 375 м В) 400 м Г) 425 м

12.  У меню шкільної їдальні є два види салатів, два види перших страв і два види других страв. Скільки варіантів вибрати обід має учень цієї школи, якщо обід складається із салату, першої страви і другої

страви?

А) 8               Б) 12         В) 9                   Г) 3

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ З

Множення

•     Добутком числа а на натуральне число 6, яке не дорівнює 1, називають суму, що складається з Ь доданків, кожний з яких дорівнює а.

•     У рівності а ∙ b = с числа а і b називають множниками, а число с і запис а ∙ b — добутком.

•     Якщо один із двох множників дорівнює 1, то добуток дорівнює другому множнику.

•     Якщо один із множників дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю.

•     Якщо добуток дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю.

Властивості множення

•     Переставна властивість: ab bа.

•     Сполучна властивість: (ab) с = а (bс).

•     Розподільна властивість множення відносно додавання:

a (b + с) = ab + ас.

•     Розподільна властивість множення відносно віднімання:

а (b - с) = аb - ас.

Ділення

•   Для натуральних чисел а, b і с рівність а : b = с є правильною, якщо є правильною рівність b ∙ с = а.

•   У рівності а : b = с число а називають діленим, число b — дільником, число с і запис а : b — часткою.

•   На нуль ділити не можна.

•   Для будь-якого натурального числа а правильними є рівності: 0:а = 0; а:а=1; а:1 = а.

Ділення з остачею

•   а = bq + г, де а — ділене, b — дільник, q — неповна частка, r — остача, r < b.

•   Якщо остача дорівнює нулю, то говорять, що число а ділиться націло на число b.

Властивості площі фігури

1)     Рівні фігури мають рівні площі;

2)     площа фігури дорівнює сумі площ фігур, з яких вона складається.

Площа прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сусідніх сторін, виражених в одних і тих самих одиницях.

Площа квадрата

S = а2, де S — площа квадрата, а — довжина його сторони.

Властивості об’єму фігури

1)     Рівні фігури мають рівні об’єми;

2)     об’єм фігури дорівнює сумі об’ємів фігур, з яких вона складається.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда

V      = abcде V — об’єм паралелепіпеда, а, b і с — його виміри, виражені в одних і тих самих одиницях;

V      = Shде S — площа основи паралелепіпеда, h — його висота.

Об’єм куба

V      = а3, де V — об’єм куба, а — довжина його ребра.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити