Математика 5 клас

Розділ II ДРОБОВІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

 

§ 4. ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ

 

26. Правильні і неправильні дроби. Порівняння дробів

 

Чи може чисельник дробу дорівнювати його знаменнику? Так, може. На рисунку 194 прямокутник поділили на 7 рівних частин і всі частини заштрихували.

Отже, заштрихованими виявились  площі прямокутника, тобто весь прямокутник. Таким чином,  прямокутника дорівнюють 1 прямокутнику, тобто 

Міркуючи аналогічно, отримаємо, що, наприклад, 

Якщо чисельник дробу дорівнює знаменнику, то дріб дорівнює одиниці.

У буквеному вигляді цей висновок можна записати так:

де — натуральне число.

Рис. 194

Рис. 195

А чи може виникнути така «неправильна» ситуація, коли чисельник дробу виявиться більшим за знаменник?

На рисунку 195 зображено два рівних прямокутники, кожний з яких поділено на 7 рівних частин. Ми заштрихували весь перший прямокутник і 4 із 7 частин другого прямокутника. У таких випадках кажуть, що заштриховано прямокутника.

Звернувшись до рисунка 196, можна сказати, що гості, які прийшли на день народження, можуть з’їсти  святкового торта.

Рис. 196

Дріб, у якого чисельник менший від знаменника, називають правильним.

Дріб, у якого чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильним.

Наприклад:

дроби  — правильні;

дроби  — неправильні.

На рисунку 197 зображено точку . Якщо відрізок ОС відкласти 11 разів від точки О, то отримаємо точку М, координата якої дорівнює 

 

Рис. 197

На рисунку 198 заштриховано прямокутника.

При цьому більша частина ( прямокутника) залишилася незаштрихованою. Можна зробити висновок, що 

 

Рис. 198

Цей приклад ілюструє таку властивість дробів.

Із двох дробів з однаковими знаменниками більший той, у якого чисельник більший, а менший той, у якого чисельник менший.

Наприклад, 

Розглянемо правильний дріб  і неправильний дріб 

Порівняємо ці дроби з одиницею. Маємо:  тобто 

тобто 

Ці приклади ілюструють тику властивість.

Усі правильні дроби менші від одиниці, а неправильні — більші або дорівнюють одиниці.

Ця властивість дозволяє зробити такий висновок.

Кожний неправильний дріб більший за будь-який правильний дріб, а кожний правильний дріб менший від будь-якого неправильного дробу.

Наприклад, 

Зазначимо, що на координатному промені з двох дробів більший дріб розташований праворуч від меншого.

Наприклад, точка  лежить праворуч від точки оскільки  (рис.197) штрихуємо  одного прямокутника та  другого.

Бачимо, що площа заштрихованої частини першого прямокутника більша за площу заштрихованої частини другого прямокутника. Тоді отримуємо, що 

Рис. 199

Цей приклад ілюструє таку властивість дробів.

Із двох дробів з однаковими чисельниками більший той, у якого знаменник менший, а менший той, у якого знаменник більший.

У 6 класі ви навчитеся порівнювати будь-які два звичайних дроби.

ПРИКЛАД1 Знайдіть усі натуральні значення а, при яких одночасно дріб  буде правильним, а дріб  неправильним.

Розв’язання. Щоб дріб  був правильним, значення а має бути більшим за 5, а щоб дріб  був неправильним, значення а має бути меншим або дорівнювати 9. Тоді а може набути одного з чотирьох значень: 6; 7; 8; 9.

Розв’язуємо усно

1.  Яку частину становить:

1)     довжина сторони квадрата від його периметра;

2)     секунда від години;

3)     доба від невисокосного року;

4) кут, градусна міра якого дорівнює 15°, від прямого кута;

5) кут, градусна міра якого дорівнює 20°, від розгорнутого кута?

2. Дмитрик перебуває в школі з 8 год 30 хв до 14 год 30 хв. Яку частину доби Дмитрик проводить у школі?

3. Івасик зібрав 35 грибів, з яких становлять білі. Скільки білих грибів зібрав Івасик?

У саду ростуть 36 вишень, що становить  усіх дерев. Скільки дерев росте в саду?

5. Пішохід і велосипедист вирушили назустріч один одному із двох селищ, відстань між якими дорівнює 28 км. Пішохід до зустрічі пройшов  шляху. Скільки кілометрів проїхав до зустрічі велосипедист?

Вправи

722.° Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 8.

723.° Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 11.

724.° Запишіть усі неправильні дроби з чисельником 8.

725.° Запишіть усі неправильні дроби з чисельником 11.

726.°Порівняйте числа:

727.° Порівняйте числа:

728.° Розташуйте дроби в порядку спадання:

729.° Розташуйте дроби в порядку зростання:

730.° Знайдіть уci натуральні значення х, при яких дріб буде правильним.

731.° Знайдіть усі натуральні значення х, при яких дріб  буде правильним.

732.° Знайдіть усі натуральні значення х, при яких дріб  буде неправильним.

733.°Знайдіть усі натуральні значення х, при яких дріб  буде неправильним.

 

734.° За зміну робітник має виготовити за нормою 63 деталі. Але Іван Працелюб виконує  норми. Скільки деталей виготовляє за зміну Іван Працелюб? На скільки деталей більше за норму він виготовляє за зміну?

735.° Порція галушок у кафе «Пампушечка» складається з 18 галушок. Петро Гурманенко з’їдає на обід  порції. Скільки галушок з’їдає на обід Петро? На скільки галушок більше за звичайну порцію він з’їдає?

736.° Знайдіть усі натуральні значення х, при яких виконується нерівність:

737. °Знайдіть усі натуральні значення х, при яких виконується нерівність:

738.° Які цифри можна підставити замість зірочки, щоб:

1) дріб  був неправильним;

2) дріб  був правильним?

739.°° Знайдіть усі натуральні значення b, при яких дріб  буде правильним.

740.°° Знайдіть усі натуральні значення b, при яких дріб  буде неправильним.

711.°° Знайдіть усі натуральні значення а, при яких одночасно:

1) обидва дроби  будуть правильними;

2) дріб  буде правильним, а дріб — неправильним.

742 Знайдіть усі натуральні значення а, при яких одночасно:

1) обидва дроби  будуть неправильними;

2) обидва дроби  будуть неправильними, а дріб  — правильним.

Вправидля повторення

743.  Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 180 дм3, а два його виміри — 6 дм і 15 дм. Знайдіть суму довжин усіх ребер паралелепіпеда.

744.   Із двох міст, відстань між якими становить 392 км, виїхали одночасно назустріч один одному два автомобілі. Швидкість одного автомобіля дорівнює 48 км/год, що становить  швидкості другого автомобіля. Якою буде відстань між автомобілями через 5 год після початку руху?

Задача від Мудрої Сови

745. Вінні-Пух, П’ятачок, Іа та Кролик з’їли разом 70 бананів, причому кожний із них з’їв хоча б один банан. Вінні-Пух з’їв більше за кожного з них, Кролик та Іа з’їли разом 45 бананів. Скільки бананів з’їв П’ятачок?



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити