Розділ II ДРОБОВІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

 

§ 5. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ

 

34. Множення десяткових дробів

 

Ви вже знаєте, що 

Наприклад, 

Нескладно встановити, що ця сума дорівнює 2, тобто 0,2 ∙ 10 = 2.

Аналогічно можна переконатися, що:

5,2 ∙ 10 = 52;

0,27 ∙ 10 = 2,7;

1,253 ∙ 10 = 12,53.

Ви, мабуть, зрозуміли, що при множенні десяткового дробу на 10 треба в цьому дробі перенести кому вправо на одну цифру.

А як помножити десятковий дріб на 100?

Маємо: а ∙ 100 = а ∙ 10 ∙ 10. Тоді

2,375 ∙ 100 = 2,375 ∙ 10 ∙ 10 = 23,75 ∙ 10 = 237,5.

Міркуючи аналогічно, отримуємо:

3,2 ∙ 100 = 320;

28,431 ∙ 100 = 2843,1;

0,57964 ∙ 100 = 57,964.

Помножимо дріб 7,1212 на 1000.

Маємо:

7,1212 ∙ 1000 = 7,1212 ∙ 100 ∙ 10 = 712,12 ∙ 10 = 7121,2.

Ці приклади ілюструють таке правило.

Щоб помножити десятковий дріб на 10,100,1000 і т. д., треба в цьому дробі перенести кому вправо відповідно на 1, 2, 3 і т. д. цифри.

Отже, якщо кому перенести вправо на 1, 2, З і т. д. цифри, то дріб збільшиться відповідно в 10, 100, 1000 і т. д. разів.

І навпаки, якщо кому перенести вліво на 1, 2, З і т. д. цифри, то дріб зменшиться відповідно в 10, 100, 1000 і т. д. разів.

Покажемо, що десяткова форма запису дробів дає змогу множити їх, керуючись правилом множення натуральних чисел.

Знайдемо, наприклад, добуток 3,4 ∙ 1,23. Збільшимо перший множник у 10 разів, а другий — у 100 разів. Це означає, що ми збільшили добуток у 1000 разів.

Отже, добуток натуральних чисел 34 і 123 у 1000 разів більший за шуканий добуток.

Маємо: 34 ∙ 123 = 4182. Тоді для отримання відповіді треба число 4182 зменшити в 1000 разів. Запишемо: 4182 = 4182,0. Переносячи кому в числі 4 182,0 на три цифри вліво, отримаємо число 4,182, яке в 1000 разів менше від числа 4182. Тому 3,4 ∙ 1,23 = 4,182.

Цей самий результат можна отримати простіше, керуючись таким правилом.

Щоб перемножити два десяткових дроби, треба:

1)     перемножити їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми;

2)     в отриманому добутку відокремити комою справа стільки цифр, скільки їх стоїть після ком в обох множниках разом.

У тому разі, коли добуток натуральних чисел містить менше цифр, ніж потрібно відокремити комою, зліва перед цим добутком дописують необхідну кількість нулів, а потім переносять кому вліво на потрібну кількість цифр.

Наприклад, 2∙3 = 6, тоді 0,2 ∙ 0,3 = 0,06; 25 ∙ 33 = 825, тоді 0,025 ∙ 0,33 = 0,00825.

Якщо ж один із множників дорівнює 0,1; 0,01, 0,001 і т. д., то зручно користуватися таким правилом.

Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д., треба в цьому дробі перенести кому вліво відповідно на 1, 2, 3 і т. д. цифри.

Наприклад, 1,58 ∙ 0,1 = 0,158; 324,7 ∙ 0,01 = 3,247. Властивості множення натуральних чисел виконуються і для дробових чисел:

ab = bа — переставна властивість множення;

(ab) с = а (bс) — сполучна властивість множення;

a (b + с) = ab + ас — розподільна властивість множення відносно додавання

Розв’язуємо усно

1. Знайдіть числа, яких не вистачає в ланцюжку обчислень:

2. Яке число:

1)     на 2,06 менше від 3,6;

2)     на 3,5 більше за 7,05;

3)     у 2 рази більше за 27;

4)     у 5 разів менше від 205?

3. Виконайте множення:

1) 4 ∙ 1000; 2) 36 ∙ 100; 3) 72 ∙ 10;   4) 370 ∙ 100.

4. Спростіть вираз:

1)   13а ∙ 2b;                   5) 5x - Зх + 4х;

2)   28m ∙ 5n;                  6) 7у + 6у - у;

3)   6р ∙ 8q ∙ 2с;               7) 10а - 9а + 8;

4)   5а ∙ 4b ∙ 9с;               8) 8с - 3с + с - 7.

5. У записі *,4 + *,5 + *,6 = 7,5 усі зірочки замінили однією і тією самою цифрою, щоб отримана рівність була правильною. Укажіть цю цифру.

в. У скільки разів двоцифрових чисел більше, ніж одноцифрових?

Вправи

913.° Скільки цифр записано справа від коми в добутку чисел 4,2 і 8,14? 9,36 і 19,426? 0,018 і 0,001?

914.° Знайдіть добуток:

1)6,58 ∙ 10;                     3)6,58 ∙ 1000;

2) 6,58 ∙ 100;                  4) 6,58 ∙ 10 000.

915.° Виконайте множення:

1)   9,6 ∙10;         3) 7,03 ∙ 100;    5) 8,1 ∙ 10 000;

2)   0,065 ∙ 100; 4) 32,97 ∙ 1000;  6) 0,028 ∙ 10 000.

916.° Виконайте множення:

1)   3,284                        ∙ 10;    3) 4,125 ∙ 1000;

2)   6,3 ∙  100;                 4) 924,587 ∙ 100 000.

917.° Відомо, що 428  76 = 32 528. Поставте в правій частині рівності кому так, щоб множення було виконано правильно:

1)   4,28  ∙ 76 = 32528;    4) 42,8 ∙ 0,76 = 32528;

2)   42,8  ∙ 7,6 = 32528; 5) 0,428  ∙ 7,6 = 32528;

3)   4,28  ∙ 7,6 = 32528; 6) 0,428  ∙ 0,076 = 32528.

918.° Виконайте множення:

1)   2,4 ∙3,6;         5) 9,16 ∙ 5,5;      9) 6,132 ∙ 5,2;

2)   2,7 ∙5,3;         6) 0,37 ∙                             1,9; 10) 0,018 ∙ 0,65;

3)   4,5  ∙ 8,4;      7) 42,25 ∙ 6;    11) 2,376 ∙ 0,42;

4)   2,8  ∙ 5,14;    8) 3,46 ∙                           0,14; 12) 1,35 ∙ 9,214.

919.° Виконайте множення:

1)     7,2 ∙ 4,8;      5) 8,35 ∙ 1,8;       9) 8,4 ∙ 18,454;

2)     8,1 ∙ 6,5;      6) 4,8 ∙ 0,64;     10) 0,85 ∙ 0,032;

3)     5,8 ∙ 2,5;      7) 8 ∙ 90,45;      11) 0,76 ∙ 5,098;

4)     3,02  ∙ 7,3;    8) 1,16 ∙ 0,29;   12) 0,275 ∙ 1,64.

920.° Виконайте множення:

1)     4,6 ∙ 0,1;      3) 436  ∙ 0,001;     5) 6,58 ∙ 0,1;

2)     35,1 ∙ 0,01;  4) 729 ∙ 0,0001;    6) 6,58        ∙        0,001.

921.° Виконайте множення:

1)     57 ∙ 0,1;                   3) 38,1 ∙ 0,001;

2)     2,7 ∙ 0,01;                4) 0,8 ∙ 0,00001.

922.° Обчисліть:

1)     0,42;         2) 0,23;        3) 1,62;         4) 0,15.

923.° Знайдіть значення виразу:

1)     12,3 ∙ 0,8 - 5,4 ∙ 1,6;

2)     (46 - 34,17) ∙ 0,09;

3)     (3,126 - 1,7) ∙ (0,15 + 7,4).

924.° Знайдіть значення виразу:

1)     5,6 ∙ 0,08 + 0,23 ∙ 2,4;

2)     (72 - 42,56) ∙ 0,08;

3)     (9,38 + 5.12) ∙ (8,4 - 3,24).

925.° Обчисліть площу тенісного корту, довжина й ширина якого дорівнюють 23,75 м і 10,92 м. Округліть відповідь до одиниць.

926.° У перший день регати яхта «Біда» рухалась 12,6 год зі швидкістю 26,5 км/год, а наступного дня — 10,5 год зі швидкістю 28,4 км/год. Який шлях подолала яхта за два дні регати?

927.° Під час стоянки яхти «Біда» в Одесі боцман Лом закупив рибу: 8,3 кг камбали по 12,6 грн за кілограм і 10,6 кг бичків по 9,7 грн за кілограм. Скільки грошей витратив Лом на закупівлю риби?

928.° Дід Остап продав 15,8 кг вишень по 20,5 грн за кілограм і 20,5 кг слив по 16 грн за кілограм. За які фрукти він уторгував більше грошей і на скільки?

929.° У поході група туристів 8,5 год ішла пішки зі швидкістю 4,2 км/год і 9,2 год пливла річкою на плоту зі швидкістю 3,5 км/год. Яка з відстаней, що подолали туристи, — суходолом чи річкою — є більшою і на скільки кілометрів?

930°.  Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1)   0,2 ∙  32,8 ∙ 5;          3) 0,8 ∙ 47,5 ∙ 12,5;

2)   0,25  ∙ 24,3 ∙0,4;            4) 73 ∙ 0,5 ∙ 0,4.

931.°  Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1)   0,4 ∙  17 ∙ 2,5;           3) 0,05 ∙ 6,73 ∙ 0,2;

2)   0,125 ∙ 4,3 ∙ 80;        4) 0,4 ∙ 0,36 ∙5.

932.°  Спростіть вираз:

1)   1,3 ∙  0,2а;                      6) 1,1x ∙ 1,4y;

2)   0,96  ∙ 8;                      7) 0,27m ∙ 0,3n;

3)   0,23  ∙ 40b;               8) 0,4а ∙ 8 ∙ b ∙ 0,3с;

4)   2,8 ∙  у ∙ 0,5;             9) 1,2х ∙ 0,3у - 5z.

5)   0,6а ∙ 0,08b;

933.°  Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1)   0,5а ∙ 20b, якщо а = 4, b = 6,8;

2)   0,25x ∙ 0,4у, якщо х 1,2, у = 0,3;

3)   4m ∙ 0,5n, якщо m = 0,22, n = 100;

4)   0,8k ∙ 12,5с, якщо k = 0,58, с = 0,1.

934.°  Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1)   3,18 ∙      7,8 + 3,18∙     2,2;

2)   59,8 ∙      4,9 - 59,7 ∙     4,9;

3)   0,946 ∙ 26,8 + 0,946 ∙ 23,2;

4)   7,54 ∙ 3,24 - 7,54 ∙ 3,14.

935.°  Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1)   0,47 ∙ 6,32 + 6,32 ∙ 0,53;

2)   85,6 ∙ 9,2 - 85,3 ∙ 9,2.

936.°  Виразіть величини в однакових одиницях виміру та порівняйте їх:

1)   1,36 кг і 589,6 г; 4) 92,6 см і 9,24 дм;

2)   2396,4 г і 2,278 кг; 5) 31,6 кг і 0,432 ц;

3)   28,4 мм і 2,84 см; 6) 85,1 ц і 8,09 т.

937.°  Виразіть величини в однакових одиницях виміру та порівняйте їх:

1)   6,4 дм і 64,2 см;       3) 4,2 ц і 416,5 кг;

2)   265,8 см і 2,663 м; 4) 0,8 т і 7,36 ц.

938.°    У XVIII ст. з розвитком торгівлі й промисловості назріла необхідність приведення в певну систему різних мір. Так, були затверджені такі одиниці довжини: верста, сажень, аршин, вершок. Верста дорівнювала 500 сажням, сажень — 3 аршинам, аршин — 16 вершкам. Скільком кілометрам дорівнювала верста, якщо вершок дорівнював 4,445 см?

939.°    У давнину користувалися такими мірами маси: пуд, фунт, золотник. Пуд дорівнював 40 фунтам, фунт — 96 золотникам. Скільком кілограмам дорівнює пуд, якщо золотник дорівнює 4,266 г? Відповідь округліть до сотих.

940.° З одного села в одному напрямі одночасно виїхали два велосипедисти. Один із них їхав зі швидкістю 11,4 км/год, а другий — зі швидкістю 9,8 км/год. Якою була відстань між ними через 6,5 год після початку руху?

941 .° З одного порту в інший одночасно відійшли теплохід і катер. Швидкість теплохода дорівнює 26,3 км/год, а швидкість катера — 30,8 км/год. Якою була відстань між ними через 5,4 год після початку руху?

942.° З однієї станції в протилежних напрямах одночасно вирушили два поїзди. Один із них рухався зі швидкістю 63,4 км/год, а другий — 58,6 км/год. Якою була відстань між ними через 9,3 год після початку руху?

943.°  З одного міста в протилежних напрямах одночасно виїхали два автомобілі. Швидкість першого автомобіля становить 72,5 км/год, що на 8,7 км/год більше, ніж швидкість другого. Якою була відстань між ними через 3,6 год після початку руху?

944.°  Із двох міст назустріч один одному одночасно виїхали велосипедист і легковий автомобіль. Велосипедист їхав зі швидкістю 13,8 км/год, а автомобіль — у 6,3 раза швидше. Знайдіть відстань між містами, якщо велосипедист і автомобіль зустрілися через 4,5 год після початку руху.

945.°Із двох селищ назустріч один одному одночасно вирушили велосипедист і пішохід. Пішохід ішов зі швидкістю 3,2 км/год, що в 4,2 раза менше від швидкості велосипедиста. Знайдіть відстань між селищами, якщо велосипедист і пішохід зустрілися через 1,6 год після початку руху.

946.°  Знайдіть значення виразу:

1)   (8,2 ∙ 0,45   + 14,71) ∙ 3,8 - 49,436;

2)   (3,6 ∙ 4,25    - 0,7) ∙ 5,9 + 7,9 ∙ 0,2;

3)   0,7 ∙ (34,1 - 18,4) + 0,5 ∙ 18,6 - (9,8 + 4 1,6) ∙ 1,4.

947.°  Знайдіть значення виразу:

1)   (2,35 ∙ 6,8   - 6,793) ∙ 0,4 + 1,3252;

2)   3,4 ∙ 6,5 - 0,25 ∙ (17,6 ∙ 1,5 4 3,28);

3)   (36,8 - 15,3) ∙ 0,4 + 0,6 ∙ 12,4 - (18,6 - 13,8)∙ 0,5.

948.°  На яке число треба помножити число 7,08, щоб отримати:

1)   70,8;      2) 7080;      3) 0,708;   4) 0,000708?

949.°  На яке число треба помножити число 0,47, щоб отримати:

1)   47;         2) 47 000;  3) 0,047;     4) 0,000047?

950.°  Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1)   6,5 ∙ 2,46 - 6,5 ∙ 2,29 - 6,5 ∙ 0,17;

2)   12,36 ∙ 1,39 + 1,11 ∙ 12,36 - 2,5 ∙ 4,36.

951.°  Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:

1)   0,37 ∙ 4,6 - 1,8 ∙ 0,37 + 0,37 ∙ 7,2;

2)   6,74 ∙ 0,13 + 0,47 ∙ 6,74 + 0,6 ∙ 1,76.

952.°  Спростіть вираз і обчисліть його значення:

1)   0,13р + 0,47р, якщо р = 0,14;

2)   0,072b  - 0,043b, якщо b = 5,4;

3)   3,8х + 1,7х - 5,4х: + 0,1х:, якщо х = 0,678;

4)   8,6с - 3,5с - 0,1с + 0,296, якщо с = 0,58.

953.°  Спростіть вираз і обчисліть його значення:

1)   3,4x- + 5,6x, якщо х = 0,08;

2)   5,4а - 3,9а, якщо а = 0,26;

3)   1,8m - 0,5m + 0,7m, якщо m = 3,94;

4)   0,19z - 0,12z + 0,33z - 1,92, якщо z = 8,2.

954.°  Човен плин 1,8 год за течією річки і 2,6 год проти течії. Який шлях подолав човен за весь час руху, якщо швидкість течії дорівнює 2,4 км/год, а власна швидкість човна — 18,9 км/год?

955.°  Теплохід плив 4,5 год проти течії і 0,8 год за течією річки. Який шлях подолав теплохід, якщо його швидкість проти течії дорівнює 24,6 км/год, а швидкість течії — 1,8 км/год?

956.°  1) Одна зі сторін прямокутника дорівнює 2,3 м, що на 3,4 м менше від сусідньої сторони. Обчисліть площу та периметр прямокутника.

2)   Сторона квадрата дорівнює 3,2 см. Обчисліть його площу та периметр.

957.°  Одна зі сторін прямокутника дорівнює 5,8 дм, що на 1,3 дм більше за сусідню сторону. Обчисліть площу та периметр прямокутника.

958.°  Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 4,6 см, 2,4 см і 3,6 см. Знайдіть: 1) суму довжин усіх його ребер; 2) площу його поверхні; 3) його об’єм.

959.°  Ребро куба дорівнює 0,6 дм. Знайдіть: 1) суму довжин усіх його ребер; 2) площу його поверхні; 3) його об’єм.

960.°  Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 4,5    см, що у 2 рази менше від його довжини і на 0,9 см більше за його висоту. Знайдіть: 1) суму довжин усіх його ребер; 2) площу його поверхні; 3) його об’єм.

961.°  Мати доручила Сашку купити 1,5 кг печива, 0,8 кг вафель і 0,5 кг цукерок. Чи вистачить Сашку 90 грн, якщо 1 кг печива коштує 36 грн, 1 кг вафель — 45 грн, а 1 кг цукерок — 60 грн?

962.°  До свого дня народження Буратіно купив 12 кг шоколадних цукерок по 3,4 сольдо за кілограм, 7,5 кг зефіру по 2,6 сольдо за кілограм і 14 пляшок лимонаду по 1,5 сольдо за пляшку. Скільки грошей залишилось у Буратіно, якщо спочатку в нього було 100 сольдо?

963.°  На покупку матерії для нового плаття короля кравчики отримали 500 гульдені». Вони придбали 20,4 м шовку по 1,75 гульдена за метр, 18,5 м парчі по 2,38 гульдена, 12,5 метра мережив по 2,16 гульдена, 32,8 м оксамиту по 2,05 гульдена і 11,4 м золотої пряжі по 3,45 гульдена. Скільки грошей залишилось у кравчиків?

Вправи для повторення

964.   Івасик колекціонує марки та значки. Третина від чверті всіх марок становить 12 марок, а чверть від третини всіх значків — 12 значків. Чого більше, марок чи значків, має Івасик?

965.   Довжина прямокутного аркуша паперу дорівнює 50 см, а ширина — 12 см. Скільки квадратів площею 100 см2 можна вирізати з цього аркуша паперу?

966.   По дорозі в одному напрямі йдуть два пішоходи. О 12 год 54 хв відстань між ними дорівнювала 540 м. Швидкість пішохода, який іде попереду, дорівнює  25 м/хв, що становить  швидкості пішохода, який іде позаду. О котрій годині другий пішохід наздожене першого?

Задача від Мудрої Сови

967. У п’ятих класах навчаються 100 учнів. Із них 75 учнів вивчають німецьку мову, 85 учнів — французьку, а 10 учнів не вивчають жодної з цих мов. Скільки учнів вивчають тільки французьку, а скільки — тільки німецьку мову?