Розділ II ДРОБОВІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

 

§ 5. ДЕСЯТКОВІ ДРОБИ

 

35. Ділення десяткових дробів

 

Ви знаєте, що поділити натуральне число а на натурально число b — це означає знайти таке натуральне число с, яке при множенні на b дає число а. Це твердження залишається правильним, якщо хоча б одне з чисел а, b і с є десятковим дробом.

Розглянемо кілька прикладів, у яких дільником є натуральне число.

1,2 : 4 = 0,3, оскільки 0,3 ∙ 4 = 1,2;

2,5 : 5 = 0,5, оскільки 0,5 ∙ 5 = 2,5;

1:2 = 0,5, оскільки 0,5 ∙ 2 = 1.

А як бути тоді, коли ділення не вдається виконати усно? Наприклад, як поділити 43,52 на 17?

Збільшивши ділене 43,52 в 100 разів, отримаємо число 4352. Тоді значення виразу 4352 : 17 у 100 разів більше за значення виразу 43,52 : 17. Виконавши ділення куточком, ви легко встановите, що 4352 : 17 = 256. Тут ділене збільшено в 100 разів. Отже, 43,52 : 17 = 2,56. Зауважимо, що 2,56 ∙ 17 = 43,52, що підтверджує правильність виконання ділення.

Частку 2,56 можна отримати інакше. Будемо ділити 43,52 на 17 куточком, не звертаючи уваги на кому. При цьому кому в частці поставимо безпосередньо перед тим, як буде використано першу цифру після коми в діленому.

 

Якщо ділене менше від дільника, то ціла частина частки дорівнює нулю. Наприклад:

Розглянемо ще один приклад. Знайдемо частку 3,1 : 5. Маємо:

Ми припинили ділити далі, оскільки цифри діленого закінчилися, а в остачі нуль не отримали. Ви знаєте, що десятковий дріб не зміниться, якщо до нього справа приписати будь-яку кількість нулів. Тоді стає зрозумілим, що цифри діленого закінчитися не можуть. Маємо:

Тепер ми можемо знаходити частку двох натуральних чисел, коли ділене не ділиться націло на дільник.

Наприклад, знайдемо частку 31 : 5. Очевидно, що число 31 не ділиться наділо на 5:

Ми припинили ділити далі, оскільки цифри діленого закінчилися. Проте якщо подати ділене у вигляді десяткового дробу, то ділення можна продовжити.

Маємо: 31 : 5 = 31,0 : 5. Далі виконаємо ділення куточком:

Отже, 31 : 5 = 6,2.

У попередньому пункті ми з’ясували, що коли кому перемести вправо на 1, 2, 3 і т. д. цифри, то дріб збільшиться відповідно в 10, 100, 1000 і т. д. разів, а якщо кому перенести вліво на 1, 2, 3 і т. д. цифри, то дріб зменшиться відповідно в 10, 100, 1000 і т. д. разів.

Тому в тих випадках, коли дільник дорівнює 10, 100, 1000 і т. д., користуються таким правилом.

Щоб поділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д., треба в цьому дробі перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т. д. цифри.

Наприклад: 4,23 : 10 = 0,423;    2 :  100 = 0,02;

58,63 : 1000 = 0,05863.

Отже, ми навчилися ділити десятковий дріб на натуральне число.

Покажемо, як ділення на десятковий дріб можна звести до ділення на натуральне число.

Маємо:

 

Отримуємо:

тобто 2 : 5 = 20 : 50 = 200 : 500.

Цей приклад ілюструє таке: якщо ділене і дільник збільшити одночасно в 10, 100, 1000 і т. д. разів, то частка не зміниться.

Знайдемо частку 43,52 : 1,7.

Збільшимо одночасно ділене і дільник у 10 разів. Маємо: 43,52 : 1.7 = 435,2 : 17.

Тепер залишилося виконати ділення десяткового дробу 435,2 на натуральне число 17. А це ви вже вмієте робити й легко встановите, що 13,52 : 1,7 = 25,6.

Щоб поділити десятковий дріб на десятковий, треба:

1)      перенести в діленому і в дільнику коми вправо на стільки цифр, скільки їх міститься після коми в дільнику;

2)      виконати ділення на натуральне число.

ПРИКЛАД 1 Івасик зібрав 140 кг яблук і груш, з них 0,24 становили груші. Скільки кілограмів груш зібрав Івасик?

Розв’язання. Маємо:

1) 140 : 100 = 1,4 (кг) — становить  яблук і груш.

2) 1,4 ∙ 24 = 33,6 (кг) — груш було дібрано. Відповідь: 33,6 кг.

ПРИКЛАД 2 На сніданок Вінні-ІІух з’їв 0,7 барильця меду. Скільки кілограмів меду було в барильці, якщо Вінні-Пух з’їв 4,2 кг меду?

Розв’язання. Маємо:

1) 4,2 : 7 = 0,6 (кг) — становить  всього меду.

2) 0,6 ∙ 10 = 6 (кг) — меду було в барильці. Відповідь: 6 кг.

Розв'язуємо усно

1. Розв’яжіть рівняння:

1) 7х = 749;         2) 96  : х = 8;  3) х ∙ 12 = 12.

2. Чому дорівнює значення виразу:

1)    1,6а + 1,6b, якщо а + b = 100;

2)    2,5x - 2,5у, якщо х - у = 4?

3. У скільки разів треба збільшити число 0,05, щоб отримати: 1) 5; 2) 500?

Вправи

968.° Виконайте ділення:

1)    56,87 : 10;    3) 14,49 : 100;    5) 0,04 : 100;

2)    7 : 10;          4) 12 : 100;         6) 28 : 1000.

969.° Виконайте ділення:

1)    256 : 10;       3) 3 : 100;          5) 0,96 : 1000;

2)    37,5 : 10;      4) 70,2 : 100;       6) 125,7 : 1000.

970.° Знайдіть частку:

1)    2,4 : 8;         4) 0,048 : 12;       7) 0,5 : 2;

2)    0,42 : 7;       5) 7 : 2;              8) 19 : 2;

3)    5,5 : 5;         6) 6,36 :    6;       9) 0,24 : 3.

971.° Виконайте ділення:

1)    8,68 : 7;        5) 9,044 : 38;      9) 6 : 12;

2)    169,2 : 8;      6) 144,96 : 48;  10) 1 : 125;

3)    89,6 : 28;      7) 13 : 2;           11) 7,982 : 26;

4)    33,28 : 52;    8) 21 : 14;         12) 0,0432 : 36.

972.° Виконайте ділення:

1)    85,2 : 6;        5) 3,198 : 26;      9) 2 : 8;

2)    13,8 : 4;        6) 453,2 : 22;    10) 14 : 112;

3)    78,2 : 34;      7) 48,16 : 16;    11) 45 : 6;

4)    11,34 : 42;    8) 17 : 5;           12) 0,1242 : 69.

973.° Обчисліть:

1) 21,6 - 12,6 : 18 + 6;     3) (21,6 - 12,6) : (18 + 6);

2) (21,6 - 12,6): 18 + 6;    4) 21,6 - 12,6 : (18 + 6).

974.° Знайдіть значення виразу:

1)     3,6 : 9 + 0,18 ∙ 5;

2)     70,28 : 14 - 32,8 : 10 + 10,58 : 23;

3)     47,04 - 47,04 : (46 +  38);

4)     (140 - 12,32) : 42 + 3,15 ∙ 16.

975.° Виконайте дії:

1)     3,8 ∙ 1,7 - 36,24 : 12;

2)     53,4 : 15 + 224 : 100 - 36 : 8;

3)     22,08 - 22,08 : (74 - 26);

4)     (134 - 15,97) : 29 + 4,24 ∙ 35.

976.° Розв’яжіть рівняння:

1)     х ∙ 13 = 132,6;      4) 9,728х + 7,272x = 4,08;

2)     64,6 : x = 17;           5) 38,6x - 16,6x = 14,74;

3)     х : 14,5 = 4,6;     6) 1,2х + 1,6x - 2,8x = 0,15.

977.° Розв’яжіть рівняння:

1)     12 ∙ x = 112,8;         4) у + 27 у = 0,952;

2)     178,5 : x = 21;               5) 33m - m = 102,4;

3)     х : 3,2 = 10,5;         6) 2,7x - 1,8x + 3,6x = 2.

978.° Перетворіть у десятковий дріб:

979. Перетворіть у десятковий дріб:

980.° Знайдіть частку:

1) 3,2 : 0,4;          3) 0,084 : 0,04;      5) 2,4 : 0,12;

2) 0,36 : 0,9;        4) 0,012 : 0,6; 6) 0,3248 : 0,016.

981.° Виконайте ділення:

1)     45,6 : 2,4;                  7) 0,56 : 0,8;

2)     29,88 : 8,3;                 8) 0,026 : 0,65;

3)     60 : 1,25;                   9) 3 : 0,016;

4)     8,4 : 0,07;                 10) 19,798 : 5,21;

5)     9,246 : 0,23;             11) 0,2278 : 0,067;

6)     0,18564 : 0,78;         12) 24,1248 : 0,048.

982.° Виконайте ділення:

1)    28,8 : 1,8;                  7) 0,72 : 0,9;

2)    12,88 : 4,6;                8) 0,014 : 0,56;

3)    81 : 2,25;                   9) 1 : 0,025;

4)    9,6 : 0,04;                10) 7,488 : 3,12;

5)    4,928:0,16;              11) 0,1218:0,058;

6)    0,22274 : 0,43;        12) 6,1244 : 0,061.

983.° Виконайте ділення:

1) 93,42 : 0,1;      3) 12,7  : 0,01;  5) 79,35 : 0,001;

2) 8 : 0,1;         4) 4 : 0,001;        6) 4,87 : 0,00001.

984.° Викопайте ділення:

1)84,6:0,1;                      4)5:0,01;

2)54:0,1;                         5)239,16:0,001;

3) 0,73 : 0,01;                 6) 1,9 : 0,0001.

985.° Розв’яжіть рівняння:

 1) y ∙ 1,9 = 2,94;               4) 7,8а + 5,4а = 3,3;

 2) у ∙ 0,7 = 0,0091;             5) 1,3x - 0,82x = 6;

3) у :2,3  = 5,6;                     6) х - 0,28x = 36.

986. Знайдіть корінь рівняння:

1)    9,2 ∙ у = 3,68;          4) 3,8а + 4,6а = 13,44;

2)    0,3y = 0,0162;             5) b - 0,872b = 32;

3)    у : 1,2 = 10,2;         6) 4,9m - 0,1m = 3,84.

987.° Поїзд проїхав 135,8 км за 2,8 год. Скільки кілометрів він проїде за 6,2 год з тією самою швидкістю?

988.° За 1,8 кг печива заплатили 45,36 грн. Скільки треба заплатити за 4,5 кг такого печива?

989.° Аладдін купив для мавпочки Абу 6 кг бананів і 8 кг фініків, заплативши за все 136,4 драхми. Скільки коштує 1 кг фініків, якщо 1 кг бананів коштує 10,2 драхми?

990.° Барвінок зібрав у своєму саду 456,3 кг яблук і груш. Яблука він розклав у 9 ящиків по 23,5 кг у кожний, а груші — порівну у 12 кошиків. Скільки кілограмів груш було в кожному кошику?

991.° Від дроту завдовжки 12 м відрізали кусок, довжина якого становила 0,1 довжини усього дроту. Скільки метрів дроту відрізали?

992.° Марічка зібрала у своєму саду 320 кг фруктів та ягід, причому виноград становив 0,01 зібраного врожаю. Скільки кілограмів винограду зібрала Марічка?

993.° Петрик прочитав 0,6 книжки, у якій 180 сторінок. Скільки сторінок прочитав Петрик?

994.° Оленка зліпила 120 вареників з вишнями і з картоплею, причому вареники з вишнями становили 0,8 усіх вареників. Скільки вареників з вишнями зліпила Оленка?

995.° Турист пройшов 2,7 км, що становить 0,1 туристського маршруту. Яка довжина усього маршруту?

996.° Іван Іванович купив синові шоколадку за 12,5 грн, витративши на цю покупку 0,001 отриманої заробітної плати. Скільки гривень становить заробітна плата Івана Івановича?

997.° У парку ростуть 48 ялинок, що становить 0,6 усіх дерев. Скільки дерев росте в парку?

998.   На птахофермі було 960 курчат, що становило 0,8 усіх птахів. Скільки всього птахів було на фермі?

999.°Знайдіть значення виразу:

1)   84 : 0,35 - 4,64 : 5,8 - 60 : 48 + 2,9 : 0,58;

2)   40 - (2,0592 : 0,072 - 19,63);

3)   7,67 : 0,65 - (0,394 + 0,7688) : 0,57.

1000.°  Обчисліть:

1)    2,46 : 4,1 + 15 : 0,25 - 4 : 25 - 14,4 : 0,32;

2)    50 - (2,3256 : 0,068 + 9,38);

3)    6,63 : 0,85 - (34 - 30,9248) : 0,62.

1001.°  Знайдіть об’єм куба, сума довжин усіх ребер якого дорівнює 30 дм.

1002.° Знайдіть площу квадрата, периметр якого дорівнює 12,8 см.

1003.°  Виконайте дії:

1)    (39 - 5,8 ∙ 1,2) : (42,4 - 38,4 : 16);

2)    (57,12 : 1,4 + 4,324 : 0,46) ∙ 1,5 - 28,16.

1004.°  Виконайте дії:

1)    (14,6 ∙ 2,8 - 4,94) : (57,6 : 18  + 2,8);

2)    (55,08 : 1,8 - 4,056 : 0,52) ∙ 6,5 - 93,78.

1005.°  Знайдіть корінь рівняння:

1)    (1,8 + х) ∙ 21 - 71,4;

2)    16 (4х - 3,4) - 6,08;

3)    (х - 1,25) ∙ 4,5 = 27;

4)    (х + 19,64) ∙ 0,18 - 144;

5)    17 (1,6 - 5x) = 2,38;

6)    9,66 : (х + 0,17) = 23;

7)    5,6 : (х - 6) = 8;

8)    5,6 : x - 6 = 8;

9)    34,12 - x : 3,08 = 34,03;

10)  х : 100 — 1,2367 = 2,9633;

11)  9,2 (0,01 у + 0,412) = 4,6;

12)  8,8 (0,12у - 0,04) = 0,44.

Розв’яжіть рівняння:

1)    8 (х - 1,4) = 0,56; 4) (51,32 + х) - 0,12 = 72;

2)    (4,6 - х) ∙ 19 = 4,18; 5) 17,28 : (56 - х) = 36;

3)    (х - 7,3) ∙ 3,2 = 12,16;      6) x : 4,28 + 16,47 = 19,97.

1007.° Знайдіть корінь рівняння:

1)    9b + 6b- 0,15 = 6,15;

2)    17x - х + 5х - 1,9 = 17;

3)    1,7х + 88,42 = 94,2;

4)    16,4 - 5,4x = 14,78;

5)    10,2х - 7,4х + 0,88 = 2;

6)    0,6у + 0,18y - 2,376 = 5,58.

1008.° Розв’яжіть рівняння:

1)    14,63x + 3,37x - 0,48 = 2,4;

2)    16а -7а + 0,96 = 2,22;

3)    2,6x + 5,04 = 5,3;

4)    9,3 - 0,14x = 8,95;

5)    8,6х - 6,9x + 0,49 = 1;

6)    1,2n + 1,3n - 1,39 = 0,61.

1009.° Відстань між двома островами дорівнює 556,5 км. Від цих островів назустріч один одному одночасно вийшли два кораблі, які зустрілися через 7 год після виходу. Один із кораблів ішов зі швидкістю 36,8 км/год. З якою швидкістю рухався другий корабель?

1010.° Із своїх домівок назустріч один одному одночасно вирушили Братець їжак і Братець Кролик і зустрілися через 12 хв після початку руху. З якою швидкістю рухався Братець їжак, якщо відстань між домівками дорівнює 136,8 м, а Братець Кролик рухався зі швидкістю 9,6 м/хв?

1011.° Із двох станцій, відстань між якими дорівнює 20,8 км, в одному напрямі одночасно вийшли два поїзди. Попереду рухався поїзд зі швидкістю 54,6 км/год. Через 5 год після початку руху його наздогнав другий поїзд. Знайдіть швидкість другого поїзда.

1012.°Відстань між двома селами дорівнює 12,2 км. Із цих сіл по дорозі в одному напрямі одночасно вирушили вершник і пішохід. Вершник скакав позаду зі швидкістю 10,2 км/год і наздогнав пішохода через 2 год після початку руху. Знайдіть швидкість пішохода.

1013.° Із села Затишне зі швидкістю 9,4 км/год виїхав козак Чорновусенко. Коли він від’їхав від Затишного на 1,26 км, слідом виїхав козак Блискавичний зі швидкістю 11,2 км/год. За який час Блискавичний наздожене Чорновусенка?

1014.°Кіт Том побачив мишеня Джеррі на відстані 30,4 м і кинувся за ним. Через скільки хвилин кіт наздожене мишеня, якщо Джеррі втікає зі швидкістю 298,8 м/хв, а Том доганяє зі швидкістю 302 м/хв?

1015.°Моторний човен проплив 28,64 км за течією річки та 52,16 км проти течії. Скільки часу плив човен, якщо його власна швидкість дорівнює 34,2 км/год, а швидкість течії — 1,6 км/год?

1016.°Катер проплив 54,9 км за течією річки та 60,49 км проти течії. На скільки хвилин довше плив катер проти течії, ніж за течією, якщо швидкість катера в стоячій воді дорівнює 28,4 км/год, а швидкість течії — 2,1 км/год?

1017.° На три ділянки поля площею 8,4 га, 6,8 га і 5,2 га було завезено добриво: на першу — гній, на другу — торф, а на третю — суміш гною і торфу (в однаковій кількості на 1 га). Урожай жита з цих ділянок відповідно становив: 63 ц, 61,2 ц і 57,2 ц. Яке добриво найкраще впливає на врожайність жита?

1018.° На двох ділянках поля, площа кожної з яких дорівнює 5,4 га, виростили 30,24 ц льону і 49,68 ц ячменю, не вносячи добрив. На двох інших ділянках, площа кожної з яких дорівнює 7,5 га, виростили 39,75 ц льону і 170,25 ц ячменю, але вже з використанням добрив. Порівняйте врожайність льону і ячменю, вирощених з добривами і без добрив.

1019.° Площа прямокутника дорівнює площі квадрата зі стороною 2,1 см. Одна зі сторін прямокутника дорівнює 0,9 см. Обчисліть периметр прямокутника.

1020.° Площа прямокутника дорівнює 5,76 м2, а одна з його сторін — 3,6 м. Обчисліть периметр прямокутника.

1021.° Користуючись формулою об’єму прямокутного паралелепіпеда V = Sh, обчисліть:

1)   площу S основи, якщо V = 9,12 см3, h = 0,6 см;

2)   висоту h, якщо V = 76,65 см3, S = 10,5 см2.

1022.° Перший насос перекачує 18,56 м3 води за 3,2 год, а другий — 22,32 м3 води за 3,6 год. Який із насосів більше перекачує води за 1 год і на скільки кубічних метрів?

1023.° Кролики Фунт і Фант збирали капусту. Фунт зібрав 65,34 кг капусти за 5,4 год, а Фант — 76,32 кг за 7,2 год. У якого кролика продуктивність праці (кількість зібраної капусти за 1 год) вища і на скільки кілограмів?

1024.° За кілька місяців шкільна бібліотека витратила 4936 грн на придбання нових книжок. За перший місяць було витрачено 0,4 цієї суми, а за другий — 0,35 решти. Скільки гривень було витрачено за другий місяць?

1025.° Було відремонтовано 456 км дороги. За перший тиждень відремонтували 0,15 дороги, а за другий — 0,3 решти. Скільки кілометрів дороги відремонтували за другий тиждень роботи?

1026.° Один доданок дорівнює 2,88, що становить 0,36 суми. Знайдіть другий доданок.

1027.° Знайдіть різницю двох чисел, якщо від’ємник дорівнює 65,8 і становить 0,28 зменшуваного.

1028.°° Знайдіть число, 0,85 якого дорівнюють 0,68 числа 50.

1029.° Знайдіть  0,128 числа,  0,32 якого становлять 80.

1030.°° Замість зірочок поставте такі цифри, щоб ділення було виконано правильно:

1031.°°  Коли хлопчик прочитав 0,35 книжки, а потім ще 0,1 книжки, то виявилося, що він прочитав на 15 сторінок менше від половини книжки. Скільки сторінок було в книжці?

1032.°°  Якщо в деякому десятковому дробі перенести кому вправо через одну цифру, то він збільшиться на 62,01. Знайдіть цей дріб.

1033.°° Моторний човен проплив 43,4 км за течією річки за 3,5 год і 39,6 км проти течії за 4,5 год. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії.

Вправидля повторення

1034.    Промінь ОС ділить розгорнутий кут АОВ на два кути так, що кут АОС на 50° більший за кут BОС. Знайдіть градусні міри кутів АОС і BОС.

1035.   Промінь ОС ділить прямий кут АОВ на два кути так, що кут АОС у 4 рази менший від кута БОС. Знайдіть градусні міри кутів АОС і BОС.

1036.   Складіть вираз для обчислення площі зафарбованої фігури, зображеної на рисунку 209.

 

Рис. 209

Задача від Мудрої Сови

1037. Сім олівців коштують більше, ніж вісім зошитів. Що коштує більше: вісім олівців чи дев’ять зошитів?