Математика 5 клас

РОЗДІЛ 3 ДІЇ ДРУГОГО СТУПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ

 

У розділі дізнайтесь:

про дії множення і ділення натуральних чисел та їх властивості;

як виконувати ділення з остачею;

який порядок виконання дій у виразах, що містять дії двох ступенів;

що таке рівняння та його корінь;

про арифметичний та алгебраїчний способи розв’язування задач;

як застосувати вивчений матеріал на практиці

 

§11. МНОЖЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

 

Ви знаєте, що додавання кількох Однакових доданків можна замінити дією множення: 25 + 25 + 25 + 25 = 25∙4.

Помножити число а на натуральне число Ь означає знайти суму b однакових доданків, кожний з яких дорівнює а.

Множення — це арифметична дія другого ступеня. Числа, які потрібно помножити, називаються множниками. Число, яке отримують у результаті множення, називається добутком.

Вираз 3 ∙ 2 також називається добутком.

? Чи зміниться добуток, якщо поміняти місцями множники? Ні. Спираючись на зміст дії множення, спробуйте самостійно пояснити рівність 3 ∙ 2 = 2 ∙ 3 = 6.

Така властивість множення справджується для будь-яких чисел а і b. Вона називається переставним законом множення.

Переставний закон множення.

Від перестановки множників добуток не змінюється.

аb=b∙а

Зрозуміло, що коли один із множників дорівнює 1, то добуток дорівнює іншому множнику:

а∙1 = 1 ∙ а = а.

Якщо один із множників дорівнює 0, то добуток дорівнює 0:

а ∙ 0 = 0 ∙ а = 0.

Ви вже знаєте, що результат множення кількох множників не залежить від порядку виконання множення. Наприклад, щоб знайти добуток чисел 10, 2 і 15, можна спочатку помножити числа 10 і 2, а потім їх добуток помножити на число 15. Але зручніше спочатку помножити числа 2 і 15, а потім на їх добуток помножити число 10. Порядок множення чисел указують за допомогою дужок. Для розглянутого прикладу дістанемо: (10∙2)∙15 = 10∙(2∙15).

Така властивість множення справджується для будь-яких чисел а, b і с. Вона називаються сполучним законом множення.

Сполучний закон множення.

Від порядку групування множників добуток не змінюється.

(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b∙с).

Зверніть увагу:

щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього.

Спираючись на переставний і сполучний закони, можна застосувати і такий спосіб групування множників: друге число помножити на добуток першого і третього. Наприклад, для знаходження добутку чисел 10, 2 і 15 крім способів, які ми розглянули, третій спосіб такий: (10∙15) ∙2.

Переставний і сполучний закони множення справедливі для будь-якої кількості множників. Застосовуючи ці закони, можна значно спростити обчислення. Розглянемо приклади.

Задaча 1. Знайдіть добуток:

1)2∙4∙ 5∙15∙25;          2) (4∙ 15) ∙2 ∙ (25 ∙ 5).

Розв’язання. 1) Щоб спростити обчислення, переставимо множники і згрупуємо їх по-іншому:

2∙4∙5 ∙ 15 ∙25=15∙ (2∙5) ∙ (4∙25) = 15∙10∙100=15000.

2)    Даний числовий вираз містить тільки дію множення, тому його можна записати без дужок:

(4∙15) ∙2∙ (25∙5) = 4- ∙15∙2∙25∙5. Перегрупувавши множники, знайдемо добуток:

4 ∙ 15 ∙ 2 ∙ 25 ∙ 5 = (4∙25) ∙ (2 ∙ 5) ∙ 15= 100∙10 ∙ 15 = 15000.

Зверніть увагу:

1) обчислюючи добуток кількох чисел, можна по-різному переставляти і групувати множники;

2) якщо вираз у дужках містить тільки дію множення, то в такому виразі дужки можна опустити (не записувати).

Ви знаєте, що багатоцифрові числа зручніше множити у стовпчик. Наприклад, треба знайти добуток чисел 3025 і 1234567. Першим, як правило, записують число з більшою кількістю цифр. Друге число розміщують під першим так, щоб одиниці містились під одиницями, десятки — під десятками, сотні — під сотнями і т. д. Множення виконують порозрядно, починаючи з найменшого розряду — одиниць.

При множенні чисел, що закінчуються нулями, користуються особливими правилами.

Щоб помножити натуральне число на 10, 100, 1000, ..., треба приписати до цього числа праворуч стільки нулів, скільки їх у числі, на яке множимо.

Наприклад, 28 ∙ 1000 = 28000; 735 ∙ 100 = 73500.

Щоб помножити натуральні числа, які закінчуються нулями, треба:

1) виконати множення, не звертаючи уваги на нулі в кінці чисел;

2) до знайденого добутку приписати праворуч стільки нулів, скільки їх у всіх множниках разом.

Наприклад, 120 ∙ 400 = 48000.

Множити можна не тільки числа і числові вирази, а й буквені вирази. За допомогою законів множення спрощують буквені вирази.

Задача 2. Спростіть вираз 2 ∙ 15 ∙ с ∙ 3 ∙ а.

Розв’язання. Застосувавши переставний і сполучний закони множення, згрупуємо окремо множники, що є числа: ми, і множники, які записано буквами:

2 ∙ 15 ∙ с ∙ 3 d= (2 ∙ 15 ∙ 3) ∙ (с∙d) = 90 ∙ cd = 90cd.

У буквених виразах, таких як 90cdмножники с і d називають буквеними множниками, а множник 90 — числовим множником, або числовим коефіцієнтом. Як правило, числовий коефіцієнт записують першим множником.

Розглянемо, які задачі можна розв’язувати за допомогою множення.

Задача 3. Три п’яті класи вирішили провести спортивні  змагання. У кожній команді має бути по 10 учасників. Скільки п'ятикласників братимуть участь у змаганнях?

Розв’язання, Щоб знайти кількість учасників змагань, і потрібно знайти суму однакових доданків: 10 + 10 + 10. Суму можна замінити множенням: 10 ∙ 3 = 30 (уч.). Отже, і у змаганнях братимуть участь 30 п’ятикласників.

Задача 4. Ласун Карлсон знову завітав до Малюка. Цього разу він з’їв 2 тістечка, а цукерок у 5 разів більше, ніж тістечок. Скільки цукерок з’їв Карлсон цього разу?

Розв’язання. Щоб знайти кількість цукерок, які з’їв Карлсон, треба кількість тістечок збільшити у 5 разів Звідси 2∙5=10 (ц.). Отже, Карлсон з’їв 10 цукерок.

Зверніть увагу:

за допомогою множення:

1)  знаходять суму однакових доданків;

2)  дане число збільшують у кілька разів.

Дізнайтеся більше

Знак множення «х» — навскісний хрест — знаходимо у праці англійського математика Уїльяма Оутреда «Математичний ключ», яка побачила світу 1631 році. Згодом, у 1698 p., видатний німецький математик Готфрід Вільїгельм Лейбніц запропонував дію множення позначати крапкою (∙). Трохи раніше, у 1684 р., він запровадив дві крапки (:)для позначення ділення. Щоправда, ці знаки дістали загального визнання і набули поширення лише у XVIII ст. завдяки підручникам німецького математика Хрістіана Вольфа.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

391. Замініть дію додавання на дію множення:

1)35 + 35 + 35; 2) 12 + 12 + 12 + 12 + 12; 3)а + а + а + а.

392. Чи правильно, що в рівності 24 ∙ 5 = 120 множником є число:

1)5;                2)120?

393. Чому дорівнює добуток числа mна 1 ? На 0?

394. Що можна сказати про множники, якщо їх добуток дорівнює 0? Наведіть приклади.

395. Масса кавуна 5 кг, а дині — 2 кг. Поясніть, який зміст мають вирази:

1)5 + 5 +5+ 5+ 5; 2) 5+ 2+ 2 +2; 3)5∙3 + 2; 4) 5∙2 + 2∙3.

396. Олівці коштують х грн, фарби — у грн, а альбом — z грн. Поясніть, який зміст мають вирази:

1) x + x + y + y + z + z;  2) 3x + 2y + 5z.

397. Обчисліть усно:

1)15∙2;            3)26∙10;      5)0 ∙65;

2)18∙4;            4)84∙1;        6)34∙100.

398. Обчисліть усно зручним способом:

1)16∙2∙5;         2) 5 ∙ 7 ∙ 4;  3) (25 ∙ 8) ∙ 2; 4)5∙(17∙2).

399. Назвіть числовий коефіцієнт у виразі:

1)2аbс;  2) 4х ∙ 3у ∙ 2z;                    3)m∙5n∙р.

400. Як можна збільшити число у 5 разів?

401. Сума яких двох чисел дорівнює їх добутку? Сума яких двох чисел більша за їх добуток?

402. Як зміниться результат дії множення а ∙ b = с, якщо:

1) число а збільшити у 2 рази; 2) чиcло b збільшити у 3 рази?

403°. Як зміниться добуток двох чисел, якщо до кожного з них приписати нуль?

404. Дано числа: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9. Що більше: добуток цих чисел чи їх сума? Відповідь поясніть.

405. Знайдіть значення виразу:

1) 48 + 48 + 48 + 48 + 48 + 48;

2) 405 + 405 + 405 + 405 + 405;

3) 201 + 15 + 201 +201 +201 + 15;

4) 82+ 12 + 12 + 82 + 82 + 82 + 82;

5) 25+ 125+ 125 + 25 + 25 + 25+ 125+ 125.

406. За даними таблиці 13 обчисліть значення с.

Таблиця 13

а

248

250

1258

 

18

k

5n

b

32

28

101

 

d

6h

4m

с = а∙b

 

 

 

 

 

 

 

407. Знайдіть добуток чисел:

1)2985    і 124;                     4)3412025025 і 85602;

2)30450 і 252;                      5)284 і 204531;

3)459810    і 4050;               6) 52801 і 4019.

408. Виконайте множення:

1)     125∙25201;                  3)81460∙2018;

2)   30865∙ 2010;                  4)457623∙985600120.

409. Обчисліть зручним способом:

1)256∙20∙5;                          3) (125 ∙ 68) ∙ 8;

2)25 ∙ 37 ∙ 4;                        4) 50 ∙ (245 ∙ 20).

410. Обчисліть зручним способом:

1)2∙144∙50;                          3) (241 ∙ 8) ∙ 125;

2)4∙702∙25;                          4) 250 ∙ (390 ∙ 4).

411. Спростіть вираз:

1)8∙а∙4∙2∙b;                          4) 7x∙5у∙ 2;

2)16∙c∙5∙d;                          5) 5р∙3k ∙ 12t;

3)∙ 3 ∙ n ∙ 12;                    6) 3ab∙2с ∙ 10.

Назвіть числовий коефіцієнт в отриманому виразі.

412. Спростіть вираз:

1) 6 ∙ 12 ∙ а ∙ 2 ∙ b;               3)4m∙7n∙2;

2) 8 ∙ с ∙ 5 ∙ d ∙2;                  4) 3р ∙ 6k ∙ 4t.

Назвіть числовий коефіцієнт в отриманому виразі.

413. Кут АОВ поділено на 9 рівних частин, градусна міра кожної з яких дорівнює 12°. Знайдіть градусну міру кута АОВ.

414. Відрізок CD поділено на 13 відрізків, довжина кожного з яких 4 см. Знайдіть довжину відрізка CD.

415. Сергійко у 4 рази старший за свого брата Сашка й у 5 разів молодший від свого батька. Скільки років батьку, якщо Сашку — 2 роки?                                     

416. Тетянка у 2 рази старша за свою сестричку Ганнусю й у 4    рази молодша від своєї мами. Скільки років матері, якщо Ганнусі — 5 років?

417. Перевірте, чи правильно Петрик виконав множення.

418. Які числа треба поставити замість зірочок, щоб отримати правильне розв'язання наступних прикладів?

419.Тетянка почала виконувати множення:

Яким чином записати наступний рядок, не виконуючи множення 7 на 529? Складіть подібний (приклад на множення.

420. Учню необхідно помножити 58 на 67. Він перемножив окремо десятки й отримав 3000, а потім перемножив окремо одиниці й отримав 56. Після цього він додав обидва добутки й отримав 3056. Чому він помилився?

421 Першого дня туристи подолали 15 км запланованого шляху, другого дня — у 3 рази більше, ніж першогоа третього дня — у 2 рази більше, ніж першого і другого дня разом. Яку відстань подолали туристи за 3 дні?

 422. Першого дня Тарасик прочитав 18 сторінок цікавої книги про подорожі, другого дня — у 2 рази більше, ніж першого, а третього дня — у 2 рази більше, ніж другого. Скільки сторінок прочитав Тарасик за 3 дні?

423. Виконайте дії:

1)        12хв 24 с ∙ 2;               3) 2 м 50 см ∙ 4;

2)        6 хв 36 с ∙5;                 4) 15 кг 50 г∙6.

424. Виконайте дії:

1) 5год5с∙3;                             3)34м65см∙3;

2) 15хв 30 с ∙ 2;                       4) 30 кг 450 г ∙ 4.

425. Знайдіть три числа, сума яких дорівнює їх добутку.

426. Добуток двох чисел у 8 разів більший за одне з них. Чи можна, знаючи це, знайти одне із чисел?

427. Якою цифрою закінчується добуток:

101 ∙ 102 ∙ 103 ∙ 104 ∙ 105 ∙ 106 ∙ 107 ∙ 108 ∙ 109?

428. Сергійко перемножив усі натуральні числа від 1 до 50 включно. Скількома нулями закінчується добуток?

429. При множенні двох двоцифрових чисел учень допустив помилку: у першому множнику замінив у цифрі одиниць 4 на 1, тому у відповіді отримав 525 замість 600. Які числа мав множити учень?

430 Миколка і Василько мешкають в одному будинку. На кожному поверсі в усіх під’їздах по 4 квартири. Миколка живе на п’ятому поверсі у квартирі № 83, а Василько на третьому поверсі у квартирі № 169. Скільки поверхів у цьому будинку?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

431. Спостерігач помітив, що через 5 с після того, як він побачив блискавку, почувся удар грому. На якій відстані від спостерігача відбувається гроза, якщо швидкість звуку 330 м/с?

432.  Тетянка порахувала, що в одному тижні 604800 секунд. Перевірте, чи правильну відповідь отримала Тетянка.

433. У бак влили 100 банок води. 4 банки Складають 1 л. Скільки літрів води влили у бак?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

434. Знайдіть закономірність і замініть знак «?» на число:

435. Обчисліть:

1)32∙28-(5680+140): 15;   2)2000-64:4 ∙ 25 + 3495.

436. На екскурсію до Києва поїхали 112 учнів 5-А класу, 14 учнів 5-Б класу та учні 5-В класу. Скільки учнів 5-В класу поїхало на екскурсію, якщо в автобусі було 44 особи, серед яких — учні 5-х класів, 4 вчителя та екскурсовод?

437.  У розгорнутому куті AOD проведено внутрішні промені ОВ і ОС. Знайдіть градусну міру кута АОВ, якщо ∠ BОС = 45° і ∠ COD = 60°.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити