Математика 5 клас

РОЗДІЛ 3 ДІЇ ДРУГОГО СТУПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ

 

§ 13. ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

 

У початковій школі разом із дією множення ви вивчали й іншу арифметичну дію другого ступеня — ділення. Пригадайте: число, яке ділять, називається діленим, а те, на яке ділять, — дільником. Результат дії ділення називається часткою.

Вираз 24 : 2 також називається часткою.


Задана 1. У коробці 24 цукерки. Малюк і Карлсон поділили їх порівну. По скільки цукерок отримав кожний?

Розв’язання. Позначимо кількість цукерок, яку отримав кожний, буквою к. Якщо k помножити на 2, то дістанемо кількість цукерок у повній коробці: k ∙ 2 = 24. Отже, в задачі шуканим є невідомий множник. Щоб його знайти, треба добуток поділити на відомий множник: k = 24 : 2. Звідси k  = 12, тобто Малюк і Карлсон отримали по 12 цукерок.

Розв’язуючи задачу, ми виконали ділення як дію, обернену до дії множення. Отже, множення і ділення — взаємно обернені дії. Саме тому множення перевіряють діленням, а ділення — множенням.

Поділити одне число на інше — означає знайти таке третє число, яке в добутку з другим дає перше.

? Чи завжди одне натуральне число можна поділити на інше націло? Не завжди. Наприклад, частку 5 : 3 неможливо виразити натуральним числом, оскільки не існує такого натурального числа, яке в добутку з числом 3 дає число 5.

Ви знаєте, що, помноживши будь-яке число а на 0, дістанемо в добутку 0:

а ∙ 0 = 0.

Але число а може бути яким завгодно, і таких чисел — безліч. Тому вважають, що частка 0:0 — не визначена. ? Чи можна знайти частку 5 : 0? Ні. (Справді, за змістом ділення, для цього потрібно знайти таке число х, яке в добутку з числом 0 дасть число 5, тобто: х ∙ 0 = 5. Але такого числа х не існує. Тому частка 5 : 0 не існує.

Узагалі, вважають, що дія ділення на 0 не має змісту. Тому:

на 0 ділити не можна!

Якщо число 0 поділити на будь-яке число, відмінне від нуля, то в частці дістанемо 0:

0 : а = 0, якщо а ≠ 0.


Ви вже знаєте, що для будь-якого числа а справджується рівність: а ∙ 1 =а. Звідси випливає, що: а : 1 = а для будь-якого а; а : а = 1, якщо а ≠ 0.

Зверніть увагу:

1) добуток двох натуральних чисел завжди є натуральним числом;

2) частку двох натуральних чисел не завжди можна виразити натуральним числом;

3)  на 0 ділити не можна.

Ви знаєте, що ділення багатоцифрових чисел зручніше виконувати кутом. Розглянемо приклади.

 Зверніть увагу:

при діленні чисел, що закінчуються нулями, користуються особливим правилом: спочатку відкидають однакову кількість нулів у кінці діленого і дільника, а потім виконують ділення.

Наприклад, 2400 : 400 = 24 : 4 = 6 або 2400 : 40 = 240 : 4 = 60.

Розглянемо основні задачі, що розв’язуються за допомогою ділення.

Задача 2. В Оленки є 10 грн. Наскільки цукерок їй вистачить грошей, якщо одна цукерка коштує 2 грн?

Розв’язання. Позначимо кількість цукерок, яку зможе купити Оленка, буквою k. Тоді, за умовою задачі, дістанемо: k ∙ 2 = 10. Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник: к = 10 :12. Звідси k = 5. Отже, Оленка зможе купити 5 цукерок.

Задача 3. Морозиво коштує 6 грн, а цукерка — у 2 рази  дешевша від морозива. Скільки коштує цукерка?

Розв’язання. Щоб знайти ціну цукерки, треба ціну морозива зменшити у 2 рази: 6:2 = 3 (грн). Отже, цукерка коштує 3 грн.

Задача 4. В Оксанки 15 цукерок, а у Сергійка — 5 цукерок. У скільки разів більше цукерок в Оксанки, ніж у Сергійка?

Розв’язання. Щоб відповісти на запитання задачі, треба кількість цукерок, що має Оксанка, поділити на кількість цукерок, що є у Сергійка: 15:5 = 3 (p.). Отже, в Оксанки цукерок у 3 рази більше.

Зверніть увагу:

за допомогою ділення:

1) за відомим добутком і одним із множників знаходять інший множник;

2)  дане число зменшують у вказану кількість разів;

3) з’ясовують, у скільки разів одне число більше за друге або менше від нього.

Дізнайтеся більше

Для обчислення частки чисел у нагоді можуть стати такі властивості ділення.

1. Щоб добуток двох чисел поділити на третє число, можна поділити на це число один із множників, а потім частку помножити на інший множник: (а b) : с = (а : с) ∙ b. Наприклад, (36∙15) : 9 = (36: 9)∙ 15 = 4∙15 = 60.

2. Щоб суму двох чисел поділити на третє число, можна поділити на це число кожен із доданків, а потім отримані частки додати:

(a + b):c = a:c + b : c.

Наприклад,

(81 +45) : 9 = 81 : 9 + 45 : 0 = 9 + 5= 14.

Дана властивість виконується і для різниці двох чисел:

(а - b): с = а : с - b : с.

Наприклад,

(81 -45): 9 = 81 : 9 - 451 : 9 = 9 - 5 = 4.

 РОЗВ'ЯЖІТЬ ЗАДАЧI

460. Чи правильно, що у рівності 100 : 25 = 4 діленим є число:

1)4;                2)25;            3) 100?

461. Чи правильно, що у рівності 100 : 25 = 4 дільником є число:

1)4;                2)25;            3)100?

462. Чи правильно, що у рівності 100 : 25 = 4 часткою є число:

1)4;                2)25;            3) 100?

463. Чи правильно, що множення і ділення — взаємно обернені дії? Відповідь поясніть на прикладі.

464. Сергійко сказав, що на 0 ділити нe можна, а Юрко — що на 0 множити не можна. Хто із хлопчик|в помиляється?

465. Обчисліть усно:

1)     84:2;             4)162:8;             7)1000:100;

2)    55 : 5;            5) 880 : 80;        8) 72 000 : 800;

3)     0 : 56;            6) 3600 : 90;       9) 56 000 : 700.

Як зміниться результат дії ділення а : b = с, якщо число b збільшити у 3 рази?

467°. Заданими таблиці 14 обчисліть значення с.

a

79360

7000

5555

38

b

32

28

101

d

c = a : b




468. За даними таблиці 15 обчисліть значення h.

Таблиця 15

n

11070

6250

10375

42

m

54

25

125

b

h = n: m





469. Знайдіть частку чисел:

1)782    і 23;                        5) 81225 і 285;

2)9840    і 1230;                   6)2923095 і 679;

3)143594   і 107;                  7)2076162 і 5478;

4)34120160  і 8560;             8)432540 і 4005.

470. Виконайте ділення:

1)12180:42;           3)91656:456,       5)66690:702;

2)22250:250;         4)10800:120;    6)211890:2018.

471. Відрізок АВ завдовжки 22 см поділено на 11 рівних відрізків. Знайдіть довжину відрізків, на які поділено відрізок АВ.

472. Кут COD, градусна міра якого дорівнює 108°, поділено на 9 рівних частин. Знайдіть градусну міру частин кута, на які поділено кут COD.

473. За дванадцять зошитів у клітинку Ганнуся заплатила 14 грн 40 к. Скільки коштує один такий зошит?

474.Поїзд, що складається з 15 однакових вагонів, може за одну поїздку перевезти 540 пасажирів. Скільки місць в одному такому вагоні?

445. Кілограм цукерок коштує 26 грн, а кілограм печива — у 2 рази дешевший від цукерок. Скільки коштують 5 кг печива?

476. Альбом коштує 8 грн, а зошит — у 4 рази дешевший від альбому. Скільки коштують 20 таких зошитів?

447. Ділене закінчується трьома нулями, а дільник — двома. Скількома нулями може закінчуватися частка?

478. Чи зміниться частка, якщо до діленого і дільника приписати нуль?

479. Перевірте чи правильно Оленка виконала ділення

479

480. Які числа треба поставити замість зірочок, щоб отримати правильне розв’язання наступних прикладів?

481. Виконайте дії:

1)         24 хв 24 с : 2;              4)      100 кг 50 г : 10;

2)         12 год 30 хв : 3;          5)        5 кг 100 г : 5;

3)         10 м 50 см: 5;              6) 8 дм48 мм : 16.

432. Виконайте дії:

1)         2 год 20 с : 2;              3)      10 км 100 м :       4;

2)         7 діб 2 год : 17;            4)        4 кг 40 г: 8.

483. За 25 днів на фабриці планували пошити 300 костюмів. Проте кожного дня шили на 3 костюми більше, ніж планували. За скільки днів на фабриці виконають план?

484. Під час весняних канікул Сергійко планував розв'язати 40 задач з математики за 5 днів. Проте він кожного дня розв’язував на 2 задачі більше, ніж планував. За скільки днів Сергійко розв’язав усі задачі?

485. За чотири дні туристи подолали 48 км. Першого дня вони проїхали третину запланованого шляху, другого дня — відстань, на 4 км більшу, ніж першого дня, третього дня — у 4 рази менше, ніж другого дня. Яку, відстань подолали туристи за четвертий день?

486. У книзі 60 сторінок. Першого дня Тетянка прочитала 20 сторінок книги, другого дня — на 4 сторінки більше, ніж першого, а третього дня — у 3 рази менше, ніж другого. Скільки сторінок залишилося прочитати Тетянці?

487, Прямий кут АОВ поділили внутрішнім променем ОМ на два рівні кути. Після цього кут АОМ поділили внутрішніми променями ON і ОК на три рівні кути. Знайдіть градусну міру кута AONРозгляньте два випадки.

488 Розгорнутий кут АОВ поділили внутрішнім променем ОМ на два рівні кути. Після цього кут МОВ поділили внутрішнім променем ОК на два рівні кути. Знайдіть градусну міру кута KOB.

489. Знайдіть помилку в міркуваннях:

«Розглянемо правильну рівність: 4 : 4 =15 : 5.

Застосуємо розподільний закон: 4 ∙ (1 :1) = 5 ∙ (1 : 1).

(1 : 1) = (1 : 1), тому 4 = 5».

490. Число m у 15 разів більше за натуральне число n. Чому дорівнює:

1)     m : n;       2)m : 3n;     3) 2mn;   4) 3m : 5n?

491. Порівняйте натуральні числа а і b, якщо:

1)a + 5 = b;      2)а = 4b;     3)а = b - 7; 4)а : 2 = b.

492. Знайдіть усі двоцифрові числа, які зменшаться в 14 разів, якщо закреслити їх останню цифру.

493. Знайдіть трицифрове число, яке зменшиться у 10 разів, якщо закреслити його середню цифру.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

494. При русі навколо Сонця за добу Земля переміщується на 2     592 000 км. На яку відстань переміщується Земля за 1 год?

495. Скільки років становлять мільярд секунд?

496. Для приготування варення з малини на 3 частини ягід беруть

2 частини цукру. Скільки цукру потрібно взяти для приготування 3 кг 600 г малини? Скільки кілограмів]малини було у бабусі, якщо для приготування варення вона використала 4 кг цукру?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

497. Обчисліть усно, яке число треба вписати в останню клітинку ланцюга.

498. Знайдіть значення виразу 4а + 5b : с, якщо:

1)     а = 150, b= 12, с = 60; 2) а = 25,b = 280, с = 35.

499. На прямій від точки О спочатку відклали відрізок ОА завдовжки 16 см, а потім відрізок АВ завдовжки 10 см. Знайдіть довжину відрізка ОB. Скільки розв’язків має задача?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити