Математика 5 клас

РОЗДІЛ 3 ДІЇ ДРУГОГО СТУПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ

 

§ 16. РІВНЯННЯ

 

Ви знаєте, що таке рівняння, і вмієте їх розв’язувати.

Рівнянням називається рівність, що містить невідоме, значення якого треба знайти.

Невідоме позначають буквою, наприклад, х, у тощо. ? Чи завжди рівність, що містить букву, є рівнянням? Ні. Наприклад, рівність а + b = b +а не є рівнянням.

Задача 1. Розв’яжіть рівняння: x + 5 = 20.

Розв’язання. У рівнянні невідомим є доданок х. Щоб знайти невідомий доданок, треба від суми відняти відомий доданок. Тобто х = 20 - 5 і х = 15. Розв’язавши рівняння, ми знайшли значення невідомого: х = 15. Якщо його підставити в рівняння, дістанемо правильну числову рівність: 15 + 5 = 20.

Значення невідомого, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається коренем рівняння.

Так, коренем рівняння х + 5 = 20 є число 15. Якщо у це рівняння підставити будь-яке інше значення букви х, наприклад, х = 10, то правильну числову рівність не отримаємо: 10 + 5 ≠ 20. Отже, число 10 не є коренем рівняння х + 5 = 20.

Рівняння може не мати коренів. Наприклад, рівняння 0 ∙ х = 10 не має коренів, бо не існує числа, яке можна помножити на 0 і отримати число 10.

Іноді рівняння може мати кілька коренів. Із такими рівняннями ви зустрінетесь пізніше.

Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або встановити, що рівняння не має жодного кореня.

Задача 2. Деяке число збільшили на 7 і отримали число 9, Знайдіть це число.

Розв’язання.

Для знаходження невідомого доданка треба від суми відняти відомий доданок.

Задача 3. Деяке число зменшили на 7 і отримали число

2. Знайдіть це число.

Розвязання. Позначимо невідоме число буквою а. Тоді можна скласти рівняння: а - 7 = 2. Невідоме число а є  зменшуваним. Його знаходимо за відомими від’ємником і  різницею дією додавання: а = 2 +7 і а = 9. Отже, невідоме : число дорівнює 9.

Для знаходження невідомого зменшуваного треба до різниці додати від’ємник.

Задача 4. Різниця числа 9 і деякого числа дорівнює 7.  Знайдіть це число.

Розв’язання. Позначимо невідоме число буквою b. Тоді за умовою задачі можна скласти рівняння: 9 - b = 7. Невідоме число b є від’ємником. Його знаходимо за відомими зменшуваним і різницею дією віднімання: 6 = 9 – 7 і b = 2. Отже, невідоме число дорівнює 2.

Для знаходження невідомого від’ємника треба від зменшуваного відняти різницю.

Задача 5. Деяке число збільшили в 7 разів і отримали число 14. Знайдіть це число.

Pозв’язання. Позначимо невідоме число буквою у. Тоді можна скласти рівняння: у ∙ 7=14 або 7у= 14. Невідоме число у є множником. Його знаходимо за відомими добутком і другим множником дією ділення: у = 14 : 7 і  у = 2. Отже, невідоме число дорівнює 2.

Для знаходження невідомого множника треба добуток поділити на відомий множник.

Задача 6. Деяке число зменшили в 7 разів і отримали число 2. Знайдіть це число.

Розв’язання. Позначимо невідоме число буквою zТоді можна скласти рівняння: z : 7 = 2. Невідоме число z є діленим. Його знаходимо за відомими дільником і часткою дією множення: z = 2 ∙ 7 і z = 14. Отже, невідоме число дорівнює 14.

Для знаходження невідомого діленого треба частку помножити на дільник.

Задача 7. Частка числа 14 і деякого числа дорівнює 7. Знайдіть це число.

Розв’язання. Позначимо невідоме число буквою kТоді за умовою задачі можна скласти рівняння: 14: k=7. Невідоме число k є дільником. Його знаходимо за відомими діленим і часткою дією ділення: k = 14 : 7 і k = 2. Отже, невідоме число дорівнює 2.

Для знаходження невідомого дільника треба ділене поділити на частку.

Рівняння, що містять дужки, розв’язують за тими самими правилами.

Задача 8Розв’яжіть рівняння: (15 +х) ∙ 2 = 36.

Розв’язання. Ліва частина рівняння містить добуток виразу в дужках і числа 2. Тому вирaз у дужках вважаємо невідомим множником. Його знаходило за відомими добутком і другим множником: 15 + х = 36 : 2. Отримали рівняння 15 + х = 18. Звідси х=18-15 і x = 3.

Мистецтво розв’язувати рівняння зародилося дуже давно у зв’язку з потребами практики. Найбільш ранні рукописи, що дійшли до нас, свідчать про те, що в стародавніх Вавилоні та Єгипті були відомі прийоми розв’язування зaдач із невідомими величинами. В «Арифметиці» грецького математика Діофанта Александрійського (III ст.) міститься добірка, задач на складання рівнянь та поясненну, як їх розв’язувати. Проте першою працею щодо розв’язування рівнянь, яка набу

ла широкої популярності, став трактат арабського вченого Мухаммеда Бен Муси аль-Хорезмі (бл. 780 — бл. 850) «Книга про відновлення та зіставлення» (Кітаб аль-джебр валь-мукабала), яка стала відправною точкою у становленні науки про розв’язування рівнянь.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ           

553. Яке із чисел 4, 5, 8 чи 10 є коренем рівняння:

1)25-х = 20;           2)10∙y = 100;      3)64:х=16?

Відповідь поясніть.

554. Розв’яжіть рівняння усно:

1)     15 + х = 55;   3)60 - у = 45;     5)88:х = 8;

2)     х - 22 = 42;    А) у ∙ 12=12;      6) у : 10 = 40.

555 Чи можна розв’язати рівняння:

1) 8х = 0;         2) 0 : у =25;    3)5х = 5;    4)12:y = 0?

556. Розв’яжіть рівняння:

1)    28 + (45 + х) = 100;        11) 121 : (x — 45) = 11;

2)    (у - 25) + 18 = 40; 12) 77 : (у + 10) = 7;

3) (70-х)-35= 12;             13) (х - 12) : 10 = 4;

4)    60 - (у + 34) = 5;    14) 55 - у ∙ 10 = 15;

5)    52 - (19 + х) = 17;  15) x : 12 + 48 = 91;

6) 9y - 18 = 72;                  16) 5y + 4y = 99;

7)    20 + 5х = 100;             17) 54х - 27х = 81;

8)    90 - у ∙ 12 = 78;          18) 36y - 16y + 5y = 0;

9)    10х - 44 = 56;              19) 14х + х - 9х + 2 = 56;

10) 84-7y= 28;                    20) 20y- 14у + 7у - 13= 13.

557. Розв’яжіть рівняння:

1)    65 + (х + 23) = 105;    6) 9х + 50 = 86;

2)    (у-34) - 10 = 32;          7) 120: (х - 19) = 6;

3)    (48-х)+ 35 = 82;          8) (у +50): 14 = 4;

4)    77 - (28 + у)=27;         9) 48 + у : 6 = 95;

5)    90 +у ∙ 8 = 154;           10) 8х + 17х - х = 42.

558. Складіть рівняння, коренем якого є число:

а) 8;          6)14.

559. Складіть рівняння, коренем якого є число:

а) 5;          6)9.

560. Деяке число збільшили на 67 і отримали число 109. Знайдіть це число.

561. До деякого числа додали 38 і отримали число 245. Знайдіть це число.

562. Деяке число збільшили у 24 рази і отримали число 1968. Знайдіть це число.

563. Деяке число зменшили у 18 разів і отримали число 378. Знайдіть це число.

564. Деяке число зменшили на 22 і oтримали число 105. Знайдіть це число.

565. Від числа 128 відняли деяке число і отримали 79 Знайдіть це число.

566. Складіть та розв’яжіть рівняння:

1)    сума подвоєного числа х і числа 39 дорівнює 81;

2)    різниця чисел 32 і у в 2 рази менша від числа 64;

3)    частка суми чисел х і 12 та числа 2 дорівнює 40;

4)    сума чисел х і 12 у 3 рази більша за число 15;

5)    частка різниці чисел у і 12 та числа 6 дорівнює 18;

б)    потроєна різниця чисел у і 17 дорівнює 63.

567. Складіть та розв’яжіть рівняння:

1)        різниця потроєного числа у і числа 41 дорівнює 64;

2)        сума чисел 9 і х у 5 разів менша від числа 80;

3)        частка суми чисел у і 10 та числа 4 дорівнює 16;

4)        різниця потроєного числа х і числа 17 дорівнює 10.

568 Деяке число збільшили на 5 і отримане число подвоїли. У результаті отримали число 22. Знайдіть невідоме число.

569. Деяке число збільшили в 7 разів і отримане число зменшили на 54. У результаті отримали число 100. Знайдіть невідоме число.

570. Деяке число зменшили на 14 і отримане число зменшили в 5 разів. У результаті отримали число 13. Знайдіть невідоме число.

571. Деяке число зменшили в 4 рази й отримане число збільшили на 35. У результаті отримали число 46. Знайдіть невідоме число.

572 Від деякого числа відняли 60 і отримане число зменшили на 25. У результаті отримали число 12. Знайдіть невідоме число.

573 До деякого числа додали 41 і отримане число збільшили в 3 рази. У результаті отримали число 126. Знайдіть невідоме число.

574. Розв’яжіть рівняння:

1)        (7х- 24): 12 + 26 = 31;     4) (97 + 75 : (50 - 5х)) ∙ 3 = 300;

2)        (99 -9у) ∙8+14 = 86;          5) 100 : (18 + (82 - 10х): 6) = 5;

3)        144-(х : 11 +21) ∙ 5= 14;    6) (105 - (25 + 6х) ∙ 4) ∙ 30= 150.

575 Розв’яжіть рівняння:

1)        (2х + 4) ∙ 20 - 85 = 35;     3) (21 + 75 : (2х+ 13)) ∙ 5= 120;

2)        32 +(136-х- 8) : 4 = 64;     4) 12 ∙ (32- (36 + 8х) : 5)= 144.

576. Сергійко задумав число. Якщо задумане число відняти від числа 777, результат зменшити в 7 разів, а потім збільшити на 7, то отримаємо число, яке на 7 більше за найменше трицифрове число. Знайдіть число, яке задумав Сергійко.

577. Тетянка задумала число. Якщо на задумане число поділити число 555, отриману частку відняти від 55, результат збільшити в 5 разів, то отримаємо число, яке в 10 разів більше за число 25. Яке число задумала Тетянка?

578. Розв’яжіть рівняння:

1)        (2400 : (25х+ 175): 6 + 58): 20 = 3;

2)        ((120 + х) ∙ 100 : 2 + 200): 250 : 25= 1;

3)        (16000 + 9 ∙ (900 - 50х) ∙ 4): 50 - 80 ∙ 6 = 20;

4)        10 :((8х + 24): 5:4 + 6) = 1.

579. Коли Софійці було 5 років, її брату Сергійкові було 9 років. Зараз їм разом 40 років. Скільки років Софійці?

580.  Трьом сестрам разом 24 роки. Молодшій — 5 років, а різниця в роках середньої сестри зі старшою і молодшою однакова. Скільки років старшій сестрі?

581. Петрик придумав математичний фокус. Він пропонує однокласникам задумати число. Після цього пропонує це число подвоїти, додати послідовно числа 5 і 3, потім послідовно відняти спочатку задумане число, а потім числа 6 і 1. Після цього Петрик просить назвати отриманий результат і називає задумане число. У чому полягає секрет фокуса?

582. Придумайте свій математичний фокус.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

583. Обчисліть усно значення виразу 8b + 12b b- 9b, якщо:

1)6 = 8;           2)b = 20.

584. Знайдіть значення виразу:

1)     (6330 — 65 ∙ 82): 125;  2) 105 105 : (74 ∙ 34 - 2501).

585. У Василька в колекції 124 поштові марки, а у Сашка — на 27 марок більше. Скільки марок у Сeргійка, якщо всього у хлопців 390 поштових марок?

586. Довжина садової ділянки прямокутної форми дорівнює 75 м, а ширина — на 5 м менша. Знайдіть довжину паркана, що обгороджує цю ділянку.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити