Математика 5 клас

РОЗДІЛ 4 СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР

 

У розділі дізнаєтесь:

що таке степінь числа і як він пов’язаний із дією множення;

про дію піднесення до степеня та її властивості;

що таке квадрат і куб числа;

який порядок виконання дій у виразах, що містять степені;

що таке многокутник та які його види;

як обчислювати площу прямокутника і квадрата;

що таке прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда;

як обчислювати об’єм прямокутного паралелепіпеда і куба;

що таке комбінаторна задача та як її розв’язувати;

як застосувати вивчений матеріал на практиці

 

§ 18. СТЕПІНЬ ЧИСЛА

 

Ви вже знаєте, що суму кількох рівних доданків можна знайти за допомогою дії множення. Наприклад:

Про таку числову рівність кажуть, що суму рівних доданків згорнули в добуток. І навпаки, якщо читати цю рівність справа наліво, виходить, що добуток 4 ∙ 10 розгорнули в суму рівних доданків.

? Чи можна згорнуто записати добуток кількох рівних множників, наприклад, 4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4? Так. Для цього використовують спеціальний вираз 410, який називають степенем.

? Вираз 410 читають так: «чотири в десятому степені» або «десятий степінь числа 4».

У виразі 410 число 4 називають феновою степеня — вона показує, яке число множили саме на себе. Число 10 називають показником степеня — він показує, скільки рівних множників було в добутку. Отже, добуток рівних множників можна згорнути в степінь:

Дію, за допомогою якої добуток рівних множників згортають у степінь, називають піднесенням до степеня. Це — п’ята арифметична дія.

Піднести число а до степеня п означає знайти добуток n множників, кожен з яких дорівнює а.

 

Задача. Порівняйте значення степенів 410 і 104

Розв’язання. Піднесемо число 4 до степеня 10:

410= 4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4∙4=1048576.

Піднесемо число 10 до степеня 4:

 104= 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10= 10000.

 Оскільки 1048576 > 10000, то 410 > 104.

Зверніть увагу:

значення степеня може змінитися, якщо поміняти місцями основу степеня та його показник.

? Чи існує степінь, значення якого не зміниться, якщо його основу і показник поміняти місцями? Так. Наприклад, 33, 2525, 428428.

Якщо основа степеня дорівнює 1, то значення степеня при будь-якому натуральному n дорівнює 1:

1n = 1

Наприклад, 12 = 1, 125 = 1, 1257 = 1.

Якщо показник степеня дорівнює 1, то значення степеня при будь-якому натуральному а дорівнює а:

а1 = а.

Наприклад, 21 = 2, 251= 25, 2571= 257.

Нова арифметична дія — піднесення до степеня — вносить зміни до порядку виконання дій. Це дія третього ступеня, тому її виконують найпершою.

Задача. Обчисліть значення виразу З6 + 2 ∙ 132- 8 : 4.

Розв’язання.

 Визначимо порядок виконання дій у заданому виразі:

                                               1   5     3       2    6 4

                                                36 + 2 ∙ 132 - 8 : 4,

Тепер виконаємо дії у цьому порядку;

З6 + 2 ∙ 132- 8 : 4 = 729 + 2 ∙ 169-8:4 = 729 + 338-2=1065.

Зверніть увагу:

у виразах, що містять степені, спочатку виконують піднесення до степеня, а потім множення і ділення, додавання і віднімання.

Особливими вважають другий і третій степені числа. Для них навіть придумали власні назви: другий степінь називають квадратом числа, а третій степінь — кубом цього числа.

Степінь а2 читають так: «а в квадраті», а степінь а3 — «а в кубі».

Для спрощення обчислень важливо запам’ятати квадрати і куби одноцифрових чисел. Відповідну таблицю розміщено на форзаці підручника.

Дізнайтеся більше

Існує цікава закономірність, що пов’язує квадрат натурального числа і квадрат попереднього для нього натурального числа. Подивіться на малюнок 148. Ви бачите, як за допомогою квадратиків із червоними і чорними кружечками можна унаочнити числові рівності:

22 = 1 + 3 , 32 = 1 +3 + 5, 42=1+3 + 5 + 7 і т.д.

Звідси:

22 = 12 + 3,     32 = 22 + 5,         42 = 32 + 7.

Мал. 148

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

569. Прочитайте вираз: 1) 22; 2) 25; 3) 32; 4) 43; 5) 674; 6) 1002. Назвіть основу і показник степеня. Що вони показують?

670. Скільки разів взято множником число 5, якщо отримали степінь:

1) 52;   2) 55; 3) 545; 4)5n;   5) 5m?

671. Якому степеню числа 2 дорівнюй добуток:

1)2∙2∙2;                               3)2∙2∙2∙2;

2)2∙2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2;                 4) 2?

671. Якими даними треба доповнити клітинки таблиці 25?

Таблиця 25

Степінь

22

78

 

53

 

44

 

 

 

Основа

степеня

 

5

 

34

 

 

1

 

9

2

9

Показник

степеня

 

6

 

3

 

 

100

 

2

9

9

673. Чи правильно визначено порядок дій у виразі:

      1   2                   1 2           12 3            1 2

1) 43 + 9;        2) 23 - 23;    3)5∙32∙7;      4)82:4?

674. Запишіть у вигляді степеня:

1) три у квадраті;                2) шістнадцять у кубі.

675  Яка з рівностей є правильною:

1) 5 + 5 + 5 = 53;   2) 5 ∙ 5 ∙ 5 = 53;   3)5∙3 = 53?

676. Запишіть у вигляді степеня:

1)     37 ∙ 37 ∙ 37 ∙ 37 ∙ 37 ∙ 37;  3) m ∙ m ∙ m;

2)     24 ∙ 24 ∙ 24 ∙ 24 ∙ 24 ∙ 24 ∙ 24;     4)  n∙ n ∙ n ∙ n ∙ n ∙ n ∙ n ∙ n ∙ n.

677. Запишіть у вигляді добутку:

1)     275;         2) 5394;        3) m6;          4) n12.

678. За даними таблиці 26 знайдіть значення степеня з основою 10. Яка простежується закономірність?

Таблиця 26

Степінь

101

102

103

104

105

106

107

108

10а

1010

Значення

степеня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

679°. Порівняйте значення виразів:

1)3 + 3 + 3 і 3∙3∙3;              2) 3 ∙ 2 і З2.

680. Поставте знаки «<», «>», або «=» між виразами:

1)     23 і З2;      3) 12 і 13;      5)231 і 321; 7) 26 і 134;

2)     25 і 52;    4) 123 і 132;     6)1231 і 1321; 8) 80 і З4.

681. Обчисліть:

1)111  ∙ 11;      2) 54 + 75;     3) 122 : 6;    4) 23 ∙ 52.

682. Обчисліть:

1) 350 - б2 ∙ 3;                     3) (350 - 6)2 ∙ 3;

2)     (350 - б2)∙3;                 4) 350 - (6 ∙ З)2.

683. Визначте порядок дій у виразі:

1) 26+ 2 ∙ 52 ∙ 7;      2) (26 + 2) ∙ 52 ∙ 7; 3) 342 +52∙З2∙7.

684. Знайдіть а2, якщо а дорівнює: 1) 12; 2) 25; 3) 100.

685. Знайдіть m3, якщо m дорівнює: 1) 8; 2) 15; 3) 100.

686. За даними таблиці 27 знайдіть квадрати і куби числа а. Запам’ятайте отримані значення.

Таблиця 27

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

687.  Яке число у квадраті дорівнює: 1) 100; 2) 64; 3) 49?

688. Яке число в кубі дорівнює: 1) 8; 2) 125; 3) 64?

689. Запишіть у вигляді виразу:

1)     сума квадрата числа 3 і числа 6;

2)     різниця куба числа 5 і числа 100.

690. Розв’яжіть рівняння:

1)     24 - х = 10;                  3)54 + х = 625;

2)     300 - х= б3;                  4)4х = 82.

691. Запишіть вираз у вигляді степеня з основою 2:

1)8 ∙ 4;                     2)2∙4∙16;            3)32∙2∙64.

692 Запишіть вираз у вигляді степеня:

1)     9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 3 ∙3 ∙ 3;        2) 25 ∙ 25 ∙ 125 ∙ 125 ∙ 125 ∙ 25.

693. Запишіть вираз у вигляді добутку та обчисліть його значення:

1)     31 ∙ З2;       2) 63∙62;         3) 52 ∙ 52.

694. Запишіть у вигляді степеня вираз:

1)     26 ∙ 24;  2) 88 ∙ 82;         3) а2 ∙ а8;      4)р3∙р27.

695. Обчисліть:

1)    2 ∙ 54 + 12 ∙ 63+12 ∙ З2;        3) 152 : (63+З2);

2)    (2 ∙ 54 - 2): 23;             4) (23 ∙ 33): (22 ∙ З2).

696. Обчисліть:

1)    54- 22 ∙ 6 + 43;             3)(54-22) 6+43;

2)    (54 - 22 ∙ 6) + 43;          4)54 - 22 ∙ (6 + 43).

697.Знайдіть значення виразу а + b2, якщо b = 8, а а дорівнює:

1)1;                    2)6;             3)100.

698. Знайдіть значення виразу (а + b)2, якщо a = 2,ab дорівнює:

1)12;                   2)5;             3)10.

699. Знайдіть значення виразу а2 + b2, якщо а = 2, а b дорівнює:

1)12;               2)5;             3)10.

700. Знайдіть:

1)    куб суми квадратів чисел 3 і 4;

2)    квадрат різниці кубів чисел 6 і 5.

701. Розв’яжіть рівняння:

1) 23 ∙ х = б4;   2) 32+х=25;  3)27-х=53.

702. Число 7065 можна записати як суму розрядних доданків:

7065 = 7 ∙ 1000+6 ∙ 10+5 = 7 ∙ 103 + 6 ∙ 101+ 5. Запишіть у такому вигляді число:

1) 4567; 2) 30003.

703. Запишіть у вигляді степеня:

1)4∙ 27∙9∙ 64∙3∙16;              2) 11 ∙11∙ 8 ∙11 ∙ 11 ∙21 .

704. Розв'яжіть рівняння:

1)    24 ∙ х = б3- 40;             3) (54 - х2) ∙ 23 = 63+ 24;

2)    25 ( 25- х) - 53;            4) 112-х2= 102-22∙52.

705. Обчисліть:

1)   4∙104+4 ∙ 103+4 ∙ 102 + 4 ∙ 1044;

2)       105+ 2 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 3 ∙ 101+6.

Яка закономірність простежується?

706. Знайдіть суму чисел:

1)       2 ∙ 105+ 3 ∙ 104 + 4 ∙ 103+ 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 7 і 5 ∙ 106 + 9 ∙ 104+ 102+ 8 ∙ 101 + 3;

2)       4 ∙ 105+ 5 ∙ 104+ 7 ∙ 103+ 6 ∙ 101 + 7 і 5 ∙106+ 5 ∙ 104+ 102 + 3.

707. Знайдіть різницю куба суми квадратів чисел 2 і 3 та квадрата суми кубів цих чисел.

708. Задача Ал-Хорезми( Середня Азія, близько 780р. —850р.). Подайте число 10 у вигляді двох натуральних доданків, сума квадратів яких дорівнює 58.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

709. На першу клітинку шахової дошки поклали 2 зернятка, на другу — у 2 рази більше, ніж на першу, на третю — у 2 рази більше, ніж на другу і т. д. Скільки зерняток буде на: 1) десятій клітинці; 2) на останній клітинці? Відповідь запишіть у вигляді степеня числа 2.

 ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

710. Обчисліть усно:

1) 125:5 + 24∙2-15;  2)56:7 + 52 +4∙15.

711. Розв’яжіть рівняння:

1) (25-х) ∙ 11 = 169 : (67- 54)-458 : 229;

2) 16х - 34 = 405 : 5 - 153 : З,

712. Даринка купила 15 зошитів по 1 грн 30 к. та 4 альбоми по 7 грн. Скільки заплатила за покупку Даринка?

713. Олексій купив 5 пачок морозива по 0 грн 50 к. та 6 пачок печива по 6 грн 25 к. Скільки заплатив за покупку Олексій?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити