Математика 5 клас

РОЗДІЛ 4 СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР


§ 19. ПЛОЩА ПРЯМОКУТНИКА І КВАДРАТА


Подивіться на малюнок 149. Ви бачите на столі книжку, зошит і пенал. Кожен предмет займає певну частину стола, і ми можемо порівняти, який з них займає більше місця, а який менше. Математики сказали б, що ми порівнюємо предмети за площею, яку вони займають на столі.


Мал. 149

Мал. 150

Мал. 151

Мал. 152

Стільниця дає уявлення про таку геометричну фігуру, як площина (мал. 150). Ця фігура безмежна. Всі геометричні фігури, які ви вивчали, можна розмістити на площині (мал. 151).

Ви знаєте, що книжка, зошит і пенал (див. мал. 149) мають форму прямокутника. Таку саму форму мають і рама для картини, і віконна рама (мал. 152). Проте математики розрізняють такі геометричні фігури. Прямокутник, прикладом якого є книжка, зошит чи пенал, — це частина площини (мал. 153), а прямокутник, який ілюструють рама для картини чи віконна рама, — це лінія (мал. 154). Якщо ж у раму вставити картину, а у віконну раму — шибку, то дістанемо приклади прямокутника як частини площини.

Прямокутник разом із частиною площини, яку він обмежує, називається плоским прямокутником.


Для плоского прямокутника, як і будь-якого іншого плоского многокутника, можна визначити не тільки довжини його сторін і периметр, а й площу. Надалі, якщо йтиметься про площу фігури, будемо розуміти, що це — плоска фігура. А називати її будемо коротко — фігура (прямокутник, квадрат, многокутник), опускаючи слово «плоска».


Мал. 153

Мал. 154

 

Мал. 155

Одиницею вимірювання площі вважають площу квадрата, сторона якого дорівнюй одиниці довжини. Такий квадрат називають одиничним квадратом. У таблиці 28 ви бачите одиниці довжини і відповідні їм одиниці площі, якими користуються в метричній системі мір.

Таблиця 28

Одиниця 1 см довжини

1 см

1 мм


1 дм

1 м

Одиниця площі

1 см2

1 мм2

1 дм2

1 м2


Запис 1 см2 читають так: «один квадратний сантиметр».

Визначити площу фігури означає з’ясувати, скільки одиничних квадратів у ній уміщується. На малюнку 154 ви бачите, що в прямокутникуABCD зі сторонами 2 см і 3 см уміщується 6 одиничних квадратів із площею 1 см2. Це означає, що площа прямокутника ABCD дорівнює 6 см2.

Коротко записують: S = 6 см2. Буквою S замінюють слово «площа».

Площа прямокутника залежить від довжин його суміжних сторін. Справді, уздовж сторони АВ прямокутника ABCD (див. мал. 155) уміщується 2 одиничні квадрати, а уздовж сторони ВС — 3 такі квадрати. Тому всього у прямокутнику можна умістити 2∙3 = 6 одиничних квадратів. Якщо змінити довжини суміжних сторін

Мал. 156

Мал. 157

прямокутника, то кількість одиничних квадратів, що уміщуються в ньому, може змінитися. Наприклад, збільшивши одну із сторін на 2 см і зменшивши другу на 1 см (мал. 156), дістанемо, що прямокутник уміщує 4∙2 = 8 одиничних квадратів.

Узагалі, у прямокутнику зі сторонами а і b можна вмістити ab одиничних квадратів (мал. 157). Можемо записати формулу площі прямокутника.

Формула площі прямокутника.

Площа прямокутника зі сторонами а і b дорівнює добутку цих сторін.

S = ab

? Чи можна за формулою площі прямокутника обчислити площу квадрата? Так, оскільки квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні (мал. 158). Якщо сторона квадрата дорівнює а, то його площа становить а ∙ а = а2. Отже, отримали формулу площі квадрата.

Формула площі квадрата.

Площа квадрата зі стороною а дорівнює квадрату його сторони.

S = a2

Мал. 158


Чи має зв’язок площа квадрата із назвою другого степеня числа? Так. Саме звідси і походить його назва — квадрат числа.

Скориставшись формулою площі квадрата, дістанемо зв’язок між одиницями вимірювання площі:

1 м2 = 100 дм2 = 10000 см2 = 1 00 000 мм2.

Задача. Два рівні прямокутники ABCD і BNKC мають спільну сторону ВС і утворюють квадрат (мал. 159).

Знайдіть площу кожного прямокутника та їх сторони, якщо площа квадрата дорівнює 16 см2.

Розв'язання. У рівних прямокутників рівні відповідні сторони, тому вони мають рівні площі. Значить, площа кожного прямокутника становить половину площі даного квадрата і дорівнює: 16:2 = 8 (см2). Знайдемо сторони прямокутників. Оскільки дані прямокутники утворюють квадрат із площею 16 см2, то AD=AN = 4 см, із рівності прямокутників випливає, що АВ = BN, тобто AN = 2АВ. Звідси АВ=AN : 2 = 4 : 2 = 2 (см). Отже, сторони прямокутників дорівнюють 4 см і 2 см.

Мал. 159

1.  Рівні фігури мають рівні площі.

2.  Площа фігури дорівнює сумі площ її частин.

Дізнайтеся більше

Для вимірювання земельних ділянок використовують такі одиниці площі, як ар і гектар. Коротко їх позначають а і га. Термін «ар» походить від латинського слова area (площа). Інша назва ара — сотка, оскільки:

1 а = 100 м2.

Слово гектар складається з двох слів: гект (від грецького слова hekaton, що означає «сто») і ар. Назва підказує, що:

1 га = 100а = 10000 м2.


РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

714. Довжина прямокутника 7 см, а ширина — 5 см. Чи правильно, що площа прямокутника дорівнює:

1)7∙5 (см2);            2) (7 + 5) ∙ 2 (см2)?

715. Довжина прямокутника дорівнює m, а ширина — n. Чи можна за даним виразом знайти площу прямокутника:

1 )m + n          2)2m + 2n;   3)2mn;              4)mn?

716. Скільки квадратів площею 1 см2 уміщує прямокутник, площа якого дорівнює:

 1) 6 см2; 2) 5 см2; 3) 10 см2?

717. Чи правильно, що площа квадрата зі стороною 5 см дорівнює:

1) 52 (см);           2) 5 ∙ 2 (см);                   3)52(см2);    4)5∙2(см2)?

718. Запишіть 2 дм2:

1) у квадратних сантиметрах; 2) у квадратних міліметрах.

719. Запишіть 650 м2:

1) у квадратних дециметрах; 2) у квадратних сантиметрах.

720. Виразіть у квадратних метрах:

1) 1000000 мм2;    2) 1 км2;             3) 6 дм2.

721. Виразіть у квадратних сантиметрах:

1) 4 км2;                2) 1000000 мм2; 3) 25 м2.

722. Скільки квадратів зі стороною 1 см уміщує прямокутник зі сторонами:

1) 4 см і 5 см; 2) 10 см і 2,см?

723. Одна сторона прямокутника дорівнює 10 см, а інша — у 3 рази більша. Знайдіть площу прямокутника.

724. Одна сторона прямокутника дорівнює 9 см, а інша — на 5 см менша. Знайдіть площу прямокутника.

725. а,b — сторони прямокутника, S — його площа, Р — периметр. Заданими таблиці 29 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 29

a

4 cм

11 M

дм

м



12 м


b

9 cм

м




мм


10 км

S




35 м2


6мм2


60 км2

P



14 дм




34 м


726. Знайдіть площу квадрата, сторона якого дорівнює:

1)5м;                      2) 11 см;            3)100дм.

727. Знайдіть площу фігури (мал. 160), якщо сторона квадрата дорівнює:

1)3см;                    2)4дм.

728. Як зміниться площа квадрата, якщо кожну його сторону:

1) збільшити у 2 рази;

2)    зменшити у 3 рази?

Мал. 160

729. Як зміниться сторона квадрата, якщо його площу:

1) збільшити у 4 рази; 2) зменшити у 25 разів?

730. Знайдіть площу фігур, зображених на малюнках 161 —162, якщо площа 1 клітинки дорівнює 1 см2.

731. Скільки квадратів зі стороною 1 см уміщує прямокутник зі сторонами:

1) 30 мм і 4 см;      2) а см і 6 см;     3)а см і bсм?

732. Як зміниться площа прямокутника, якщо:

1) одну сторону збільшити в 6 разів, а іншу — зменшити в 6 разів;

2) кожну сторону збільшити в 10 разів?

733.  Одна сторона прямокутника дорівнює m, а друга — на n більша. Знайдіть площу прямокутника. Обчисліть значення площі, якщо:

1) m = 6 см, n=20 мм;          2) m= 8 дм, n = 4 см.

Мал. 161

Мал. 162

Периметр прямокутника дорівнює 126 м Знайдіть його площу, якщо ширина прямокутника у 6 разів більша за його довжину.

735. Периметр прямокутника дорівнює 312 см. Знайдіть його площу, якщо одна сторона прямокутника в 11 разів менша від іншої сторони.

736. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 18 см2, а сторона — 90 мм.

737. Знайдіть площу квадрата, якщо його периметр дорівнює: 1) 64 м;                          2) 144 см.

738. Як зміниться площа квадрата, якщо його периметр зменшити у 8 разів?

739. Як зміниться периметр квадрата, якщо його площу зменшити у 100 разів?

740. Площа квадрата дорівнює 36 дм2. Кожну сторону квадрата збільшили на 2 дм. Знайдіть площу нового квадрата.

741. Сторону квадрата збільшили на 4 см і отримали квадрат, площа якого дорівнює 196 см2. Знайдіть площу початкового квадрата.

742. Запишіть вирази для знаходження площ фігур, зображених на малюнках 163—164.

743. Площа квадрата дорівнює площі прямокутника зі сторонами 60 мм і 24 см. Чому дорівнює сторона рівностороннього трикутника, периметр якого вдвічі менший від периметра квадрата?

744. Якої довжини буде смуга, що складається з усіх квадратиків зі стороною 1 мм, прикладених один до одного, на які розбивається квадрат площею 1 м2?

Мал. 163

Мал. 164

745.  1 м2 лінолеуму коштує 90 грн. Скільки треба заплатити за лінолеум для кімнати у твоїй домівці?

746.  Скільки квадратних метрів трав’яного покриття треба для футбольного поля, розміри якого 100 М і 75 м?

747.  Кахлем, що має розміри 20 см х 25 см, необхідно обкласти стіну розмірами 250 см х 4 м. Скільки потрібно кахлю?

748. Площа будинку становить 68 м2. Кухня має площу 12 м2, що в 4 рази більше за площу коридору. Площа дитячої кімнати дорівнює сумі площ кухні і коридору. Знайдіть площу решти кімнат будинку.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

749.  Розв’яжіть рівняння:

1) (25 + 35 х): 15 = 4; 2)3х + 2х + 145 =   282 : 3 + 53 ∙ 2.

750.  У класі навчається 35 учнів. Дівчаток на 9 менше, ніж хлопчиків. Скільки в класі хлопчиків?

751.  У класі навчається m учнів. Хлопчиків на р менше, ніж дівчаток. Скільки в класі дівчаток?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити