Математика 5 клас

РОЗДІЛ 4 СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР


§ 20. ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД. КУБ. ПІРАМІДА


Подивіться на малюнок 165. Ви бачите різноманітні предмети, які використовують у побуті. Усі вони мають одну й ту саму форму — прямокутного паралелепіпеда (мал. 166)

 

Мал. 165


Мал. 166

Мал. 167

Прямокутний паралелепіпед є просторовою фігурою. Він має три виміри — ширину, довжину і висоту (мал. 167). Це — довжини трьох ребер паралелепіпеда, що сходяться в одній вершині. Загалом у прямокутного паралелепіпеда 8 вершин і 12 ребер. Його поверхню утворюють 6 прямокутників, які називаються гранями (мал. 168).

 Позначають прямокутний паралелепіпед назвами його вершин, наприклад,                                      (мал. 169).

Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда — попарно рівні прямокутники. Наприклад, у прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1С1D1 на малюнку 169 грань ABCD дорівнює грані A1B1С1D1 грань АВВ1А1 — грані DCC1D1, грань ВСС1В1 — грані ADD1A1 Звідси випливає, що у прямокутного паралелепіпеда по 4 ребра мають ту саму довжину і таких четвірок — три. Наприклад, у прямокутного паралелепіпедаABCDA1B1C1D1 на малюнку 169 АВ = CD =А1В1= C1D1 aAD = ВС A1D1 = B1C1 = b,AA1 = BB1 = CC1=DD1 = c.


Мал. 168

 

Мал. 169


Коротко говорять: прямокутний паралелепіпед із ребрами а, b і с.

Задача 1. Знайдіть суму довжин уcix ребер прямокутного паралелепіпеда, якщо його ширина дорівнює 3 см, висота — на 2 см більша за ширину, а довжину — на 1 см менша від висоти.

Розв’язання. Позначимо ширину даного прямокутного паралелепіпеда буквою а, довжину — буквою b, а висоту — буквою с (мал. 170). Тоді

а = 3 см, с =3 + 2 = 5 (см), b = 5 - 1 =4 (см). Оскільки у прямокутного паралелепіпеда по 4 ребра кожної довжини, то сума всіх ребер дорівнює: 4а + 4b + 4с = 4 (а + b + с) = 4 (3 + 4 + 5)= 4 ∙ 12 = 48 (см).

Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда з ребрами а,b і с дорівнюй 4 (а + b + с).

Із початкової школи ви знаєте особливий вид прямокутного паралелепіпеда — куб (малі. 171). У нього, так само, як і у прямокутного паралелепіпеда, 8 вершин, 12 ребер і 6 граней. Але всі грані куба — квадрати, отже, всі його ребра рівні. Можна також сказати, що у куба довжина, ширина і висота дорівнюють, наприклад, а.

Коротко говорять: «куб із ребром а».

Мал. 170

Мал. 171

? Чи кожен прямокутний паралелепіпед є кубом? Ні, оскільки існують прямокутні паралелепіпеди, в яких ребра не дорівнюють одне одному. Наприклад, прямокутний паралелепіпед на малюнку 169.

3адача 2 . Знайдіть суму площі усіх граней куба з ребром 3 см.

Розв’язання. Позначимо ребро даного куба буквою а (мал. 172). Тоді а = З см. Оскільки кожна грань даного куба — квадрат зі стороною а, то площа грані дорівнює а2. Оскільки у куба 6 граней, то сума площ усіх його граней дорівнює:

6а2 = 6 ∙ 32 = 6 ∙ 9 = 54 (см2).

Мал. 172

Сума площ усіх граней куба з ребром а дорівнює

6а2.

Подивіться на малюнок 173. Ви бачите об’ємний пазл і головоломку Рубіка. Ці предмети мають особливу форму — піраміди. Головоломка Рубіка є прикладом трикутної піраміди (мал. 174), а об’ємний пазл — чотирикутної піраміди (мал. 17І5).

Обмежують піраміду її грані. Вибачите, що у трикутної піраміди всі грані є трикутниками, а в чотирикутної — не всі. Одна грань є чотирикутникам. Узагалі, у піраміди одна грань може бути яким завгодно многокутником. Така грань називається основою, піраміди (мал. 176). Решта граней обов’язково є трикутниками. Вони називаються бічними гранями піраміди. Називають піраміду залежно від того, який многокутник є її основою. Якщо основа — трикутник, піраміда називається трикутною, якщо чотирикутник — чотирикутною, якщо n-кутник — n-кутною.


Мал. 174

Мал. 175

Мал. 176

Як і грані, вершини піраміди теж мають свої назви. Вершину, в якій сходяться бічні грані піраміди, називають вершиною піраміди (мал. 177), а решту вершин — вершинами її основи. Вершина піраміди завжди лежить проти основи піраміди. Міркуючи аналогічно, дістанемо, що у піраміди є бічні рeбра і ребра основи (мал. 177). Бічні ребра, як і бічні грані, сходяться у вершині піраміди. Вони сполучають вершину піраміди з вершинами основи.

Позначають піраміду назвами її вершин, наприклад, SABCD (мал. 178). Першою завжди записують вершину піраміди.

Мал. 177

 

Мал. 178

На відміну від прямокутного паралелепіпеда і куба, кількість вершин, ребер і граней не є однаковою для всіх пірамід, а залежить від того, якого виду піраміда.

Задача 3. Скільки вершин, ребер і граней у п’ятикутної піраміди SABCDE (мал. 179)?

Розв'язання. Основа даної піраміди — п’ятикутник ABCDE. У нього 5 вершин і 5 сторін. Щоб порахувати кількість вершин, треба до п’яти вершин основи додати вершину піраміди. Отримаємо 6 вершин. Бічні ребра з’єднують вершину піраміди з вершинами основи. Тому бічних ребер — 5. Щоб порахувати кількість усіх ребер піраміди, треба до бічних, ребер додати ребра основи. Отримаємо 10 ребер. Оскільки в основі 5 сторін, то бічних граней також 5, Додавши грань Основи, дістанемо, що у даної піраміди 6 граней.

Мал. 179

Дізнайтеся більше

1. Куб має й іншу назву — гексаедр. Стародавні греки дали кубу таку назву за числом граней. «Гекса» означає шість, «хедра» — грань. Гексаедрі — шестигранник.

2. Єгипетські піраміди — архітектурні пам’ятки Стародавнього Єгипту, серед яких одне із Семи чудес світу — піраміда Хеопса (мал. 180). Піраміди будувалися як гробниці для фараонів Стародавнього Єгипту.

3. Цікаво, що піраміди-усипальниці є і в Україні, на Полтавщині. Вони були збудовані під враженням від побачених пірамід у Єгипті. На малюнку 181 зображено одну з таких пірамід, яка знаходиться в Березовій Рудці. Її вік — більше ста років (1898—1899 pp.). Висота піраміди — 9 м.

Мал. 180

Мал. 181

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

752. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 (мал. 182). Назвіть:

1)     вершини, ребра, грані паралелепіпеда;

2)     ребра, що проходять через вершину В;

3)     грані, що проходять через вершину В.

758. Чи можуть ребра паралелепіпеда дорівнювати:

1)     3 см, 5 см, 6 см, 7 см;

2)     5 см, 5 см, 6 см, 7 см;

3)     3 см, 3 см, 3 см, 3 см?

754. Дано куб АВСВА1В1С1D1 (мал. 183). Назвіть:

1)     вершини, ребра, грані куба;

2)     ребра, що проходять через вершину D1;

3)     грані, що проходять через вершину D1.

755. Чи можуть ребра куба дорівнювати:

1)     5 см, 5см, 6см;

2)     6 см, 6см, 60 мм;

3)     3 см, 3см, 3см?

Мал. 182

 

Мал. 183


Мал. 184

Мал. 185

756. Яку піраміду зображено на малюнку 184? Назвіть:

1)     вершину піраміди;

2)     бічні ребра та ребра основи піраміди;

3)     бічні грані та основу піраміди;

4)     ребра, що проходять через вершину піраміди;

5)     грані, що проходять через вершину піраміди.

757. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDA1B1С1D1 (мал. 185). Назвіть:

1)     ребра, які дорівнюють ребру АВ;

2)     грань, яка дорівнює грані АВСВ.

758. У прямокутного паралелепіпеду виміри n,m i р. За даними таблиці 30 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 30

n

4 см

7 см

8 м

2 м

6 м

10 м

m

6 см

3см

10 м

8 м

6 м

2 м

p

5 см

cм

6 м

4 м

4 м

2 м

Сума довжин усіх ребер





759. Дано куб. Заданими таблиці 31 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 31

Ребро куба

4 см

3см


6 см


Сума довжин усіх ребер куба


48 м

60 дм


120 м

Сума площ усіх граней куба






760. Запишіть формулу для знаходження суми довжин усіх ребер куба.

761. Довжина ребра першого куба на 5см більша за довжину ребра другого куба. На скільки сума довжин усіх ребер першого куба більша за суму довжин усіх ребер другого куба?

762. Довжина ребра першого куба в 4 рази менша від довжини ребра другого куба. У скільки разів сума довжин усіх ребер першого куба менша від суми довжин усіх ребер другого куба?

763. Обчисліть суму довжин усіх ребер піраміди DABC, якщо DA = DB = DC = 4 см, ВС = АВ = АС = 6 см.

764. Обчисліть суму довжин усіх ребер піраміди PABCD, якщо PA = PB = PC = PD= 17 см, BC AB = CD=AD= 14 см.

765. Запишіть формулу для знаходження суми площ усіх граней прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, b і с.

766. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDA1B1С1D1. Ребро DA дорівнює 8 см, що у два рази більше за ребро DD1 і на 10 см менше від ребраDCОбчисліть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда.

767. Обчисліть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 якщо:

1)АВ + BС + BB1 = 14 см; 2 )DAА1B1 + СС1 = 64 см.

768. Площі граней ABCD і ABB1A1 прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнюють 20 м2 і 60 м2. СС1 = 6 м. Знайдіть суму довжин усіх його ребер.

769. Периметри граней ABCD, АВВ1А1 і ADD1А1 прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнюють 20 м, 36 м і 32 м. Знайдіть суму довжин усіх його ребер.

770. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1Ребро DA у два рази більше за ребро DD1 і на 11 cм менше від ребра DCОбчисліть довжини ребер паралелепіпеда, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 64 см.

771. Сума довжин ребер прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнює 80 м. Знайдіть довжини його ребер, якщо у нього один із вимірів на 3 см більший за другий і на 20 см менший від третього.

772. Обчисліть суму довжин усіх ребер куба, якщо сума площ усіх його граней дорівнює 216 см2.

773. Обчисліть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 144 см.

774. Кожне ребро основи n-кутної піраміди дорівнює с см. Кожне бічне ребро дорівнює а см. Знайдіть суму всіх ребер піраміди.

775. У прямокутному паралелепіпеді довжина і ширина дорівнюють 8 м і 2 м, а сума площ усіх його граней — 132 м2. Знайдіть суму довжин усіх ребер паралелепіпеда.

776. Прямокутний брусок, пофарбований у синій колір, має виміри 12 см, 8 см і 6 см. Цей брусок розрізали на кубики з ребром 2 см. Скільки отримали кубиків, у яких пофарбовано:

1)          всі грані;

2)          три грані;

3)          дві грані;

4)          одну грань?

777. Обчисліть суму довжин ребер піраміди DABC, якщо периметри її граней дорівнюють 16 м, 20 м, 24 м і 32 м.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

778.      Для фарбування кубика з ребром 4 см потрібно 1 г фарби.        Скільки фарби потрібно для фарбування кубика з ребром 12 см?

779.      Скільки треба метрів дроту, щоб виготовити каркас прямокутного паралелепіпеда з вимірами 5 м, 6 м і 8 м?

780.      Аркуш паперу має форму прямокутника розміром 210 х 297 мм. Чи вистачить одного аркуша, щоб обклеїти куб 13 ребром 6 см?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

781.      Розв’яжіть рівняння:

1)          250 -(х + 2): 15 = 242;

2)          12 ∙ (х + 40): 4 + 144 = 282.

782.      Мама купила посуд: 6 чашок по 8 грн, 6 тарілок по 10 грн і чайник. Скільки коштує чайник, Якщо за всю покупку мама заплатила 202 грн?

783.      Тато купив 2 м’ячі по m грн, 4 вудки по р грн і палатку. Скільки коштує палатка, якщо за всю покупку тато заплатив n грн?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити