Математика 5 клас

РОЗДІЛ 4 СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР


§ 21. ОБ’ЄМ ПРЯМОКУТНОГО ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА І КУБА


Подивіться на малюнок 186. Ви бачите в кімнаті шафу і тумбочку. Кожен предмет займає певну частину простору кімнати і ми можемо порівняти, який з них займає більше місця, а який менше. Математики сказали б, що ми порівнюємо предмети за об’ємом, який вони займають у кімнаті. Ви знаєте, що шафа і тумбочка мають форму прямокутного паралелепіпеда. Щоб знайти його об’єм, треба обрати одиницю вимірювання об’єму і з’ясувати, в який спосіб визначати цей об’єм.

Мал. 186

Одиницею ви

мірювання об’єму вважають об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини. Такий куб називають одиничним кубом. У таблиці 32 ви бачите одиниці довжини і відповідні їм одиниці об’єму, якими користуються в метричній системі мір.

Таблиця 32


Мал. 187

Запис 1 см3 читають так: «один кубічний сантиметр».

Визначити об’єм прямокутного паралелепіпеда означає з’ясувати, скільки одиничних кубів у ньому вміщується. На малюнку 187 ви бачите, що в прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 із ребрами 3 см, 4 см і 5 см уміщується 60 одиничних кубів з об’ємом 1 см3. Це означає, об’єм прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнює 60 см3.

Коротко записують: V = 60 см3. Буквою V заміняють слово «об’єм».

Об’єм прямокутного паралелепіпеда залежить від довжин його ребер, так caмoяк і площа прямокутника залежить від довжин його сторін. Справді, на грані ABCD прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 (мал. 188) уміщуються шар із 3 ∙ 4 = 12 одиничних кубів. Оскільки ребро АА1 — 5 см, то в даному паралелепіпеді можна вмістити 5 таких шарів. Тоді загалом паралелепіпед вміщатиме 3 ∙ 4 ∙ 5 = 60 одиничних кубів. Якщо змінити виміри прямокутного паралелепіпеда, то кількість одиничних кубів, які він

Мал. 188

Мал. 189


Мал. 190

уміщує, може змінитися. Наприклад, збільшивши кожне ребро на 1 см (мал. 189), дістанемо, що прямокутний паралелепіпед уміщує 4 ∙ 5 ∙ 6 = 120 одиничних кубів.

Узагалі, у прямокутному паралелепіпеді з ребрами а, b і с можна умістити abc одиничних кубів (мал. 190). Можемо записати формулу об’єму прямокутного паралелепіпеда.

Формула об’єму прямокутного паралелепіпеда. Об’єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, b і с дорівнює добутку цих ребер.

V=abc

Мал. 191

? Чи можна за формулою об’єму прямокутного паралелепіпеда обчислити об’єм куба? Так, оскільки куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні (мал. 191). Якщо ребро куба дорівнює а, то його об’єм становить а ∙ а ∙ а = а3. Отже, отримали формулу об’єму куба.

Формула об’єму куба.

Об’єм куба з ребром а дорівнює кубу його ребра.

V=а3

? Чи має зв’язок об’єм куба із назвою третього степеня числа? Так. Саме звідси і походить його назва — куб числа. Скориставшись формулою об’єму куба, дістанемо зв’язок між одиницями вимірювання об’єму:

Мал. 192

Задача. Із чотирьох рівних кубів складено прямокутний паралелепіпед об’ємом 32 см3 (мал. 192). Знайдіть об’єм та ребро кожного куба.

Розв’язання. Рівні куби мають рівні ребра, тому вони мають рівні об’єми.

За умовою задачі, прямокутний паралелепіпед складено з 4 рівних кубів. Значить, об’єм даного прямокутного паралелепіпеда в 4 рази більший за об’єм кожного куба. Звідси об’єм куба дорівнює: 32 : 4 = 8 (см3). За знайденим об’ємом куба знаходимо його ребро: 8 см3= 2 см ∙ 2 см ∙ 2 см. Отже, ребро куба дорівнює 2 см.

1.  Рівні прямокутні паралелепіпеди мають рівні об’єми.

2. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі об’ємів його частин.

Дізнайтеся більше

Основною одиницею вимірювання Об'ємів вважають кубічний дециметр. Для вимірювання об’єму рідини найчастіше використовують таку одиницю, як літр:

1 л = 1 дм3.

Цікаво, що маса 1 літра води становить 1 кг

Великі об’єми вимірюють у декалітрах (скорочено — дал):

1 дал = 10л, 100 дал = 1 м3.

Маленькі об’єми вимірюють у мілілітрах (скорочено — мл):

1 л = 1000 мл, 1 мл — 1 см3.

Напевне, ви чули і про таку одиницю вимірювання об’ємів, як американський нафтовий барель. Його об’єм становить 159 л. Англійський галон становить близько 5 л.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

784. Прямокутний паралелепіпед має виміри т, п і р. Чи можна за даною формулою знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда:

1     )m + n+р; 2)2m+2n+2р;          3)рmn; 4)mn?

785. Скільки кубів із ребром 1 см уміщує прямокутний паралелепіпед, об’єм якого дорівнює:

 1) 25 см3; 2) 7 см3; 3) 100 см3?

786. Чи правильно знайдено об’єм куба з ребром 4 дм:

1)43дм;            2)4∙3 дм; 3)42дм2;               4)43дм3?

787. У прямокутного паралелепіпеда виміри nm i р. Заданими таблиці 33 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 33

n

4 см

7 см

2 м

6 м

10 м

m

6 см

3 см

10 м

8 м

6 м

2 м

р

5 см

3 см

6 м

4 м

4 м

Об’єм паралелепіпеда







Сума площ усіх граней паралелепіпеда







788. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 124 см3. Чи можуть ребра прямокутного паралелепіпеда дорівнювати:

1)    2 см, 12 см, 100 см;

2)    2 см, 31 см і 2 см;

3)    4 см, 31 см і 1 см?

789. Скільки кубів із ребром 1 см уміщує прямокутний паралелепіпед, ребра якого дорівнюють:

1) 3 см, 4см, 6 см;  2)10см, 5 см, 2 см?

790. Одне ребро прямокутного паралелепіпеда дорівнює 10 см, друге — у 3 рази більше, ніж перше, а третє — на 15 см більше, ніж перше. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда.

791. Довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює (а + 22) см, ширина — (а + 8) см, висота — (а + 2) см. Запишіть формулу для знаходження об’єму паралелепіпеда. Обчисліть значення об’єму, якщо:

1)а = 2;           2) a = 8.

792. Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює:

1)2м;               2) 3см;         3) 10дм.

793. Ребро куба дорівнює (а - 3) см. Запишіть формулу для знаходження об’єму куба. Обчисліть значення об’єму, якщо: 1) а = 5;                 2) а = 18.

794. Як зміниться об’єм куба, якщо його ребро:

1) збільшити у 2 рази;         2) зменшити у 3 рази?

795. Запишіть 2 дм3:

1) у кубічних сантиметрах;  2) у кубічних міліметрах.

796. Запишіть 77 м3:

1)     у кубічних дециметрах;

2)     у кубічних сантиметрах;

3)     у кубічних міліметрах.

797. Виразіть у кубічних метрах:

1) 500000000 см3;       2) 1 км3;       3) 10000 дм3.

798. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 2 см, 5 м і 10 дм.

799. Скільки кубів із ребром 1 см уміщує прямокутний паралелепіпед з ребрами:

1) 30 мм, 6 см, 4 см;            2), а см, 6 см,р см?

800. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює m см, довжина — у р разів більша за висоту, а ширина — на n см менша від довжини. Запишіть формулу для знаходження об’єму паралелепіпеда. Обчисліть значення об’єму, якщо:

1) m = 6,р = 4, n= 14;         2) m = 135,p= 2, n = 70.

801. Знайдіть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 1000 см3, а два ребра дорівнюють 125 см і 8 см.

802. Знайдіть суму площ усіх граней прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 720 см3, а два ребра дорівнюють 15 см і 24 см.

803 Дано куб. За даними таблиці 34 знайдіть невідомі величини.

Таблиця 34

Об’єм куба

125 м3


216мм3




Сума довжин усіх ребер


48 км


60 дм



Сума площ усіх граней





150 м2

96 см2

804. Як зміниться ребро куба, якщо його об’єм:

1) збільшити у 64 рази;       2) зменшити у 125 разів?

805. Знайдіть об’єм куба, якщо площа його грані дорівнює:

1)16 см2;           2) 144 дм2;   3) 400 м2.

806. У скільки разів об’єм куба з ребром 2 см більший за об’єм куба з ребром 10 мм?

807. На скільки кубічних сантиметрів об’єм куба з ребром 12 см більший за об’єм куба з ребром 20 мм?

808. Знайдіть ребро куба, якщо його об’єм дорівнює об’єму прямокутного паралелепіпеда з вимірами:

1) 2 см, 4 см, 64 см;             2) 3 см, 12 см, 6 см.

809. Запишіть 1 м3 2 дм3 15 см3:

1) у кубічних міліметрах;     2) у кубічних сантиметрах.

810. Довжина прямокутного паралелепіпеда у 2 рази більша за ширину і на 10 см менша від висоти. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 160 см.

811. Прямокутний паралелепіпед має виміри 2 см, 8 см, 3 дм 2 см. Знайдіть ребро куба, об’єм якого дорівнює об’єму даного прямокутного паралелепіпеда.

812. Знайдіть площу грані А1В1С1D1 прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 якщо його об’єм дорівнює 30 см3, АА1 — 6 мм.

813. Якої висоти буде стовпчик, складений з усіх кубиків зі стороною 1 мм, які уміщуються в кубі об’ємом 1 м3?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

814. У Сергійка був акваріум, основа якого — квадрат зі стороною 50 см. Рівень води в ньому становив 32 см. Хлопчику купили новий акваріум, довжина дна якого 80 см, а ширина — 40 см. Сергійко перелив воду в новий акваріум. Який рівень води в новому акваріумі?

815. На конкурс шоколаду кондитерська фабрика виготовила дві великі плитки шоколаду. Перша плитка була зроблена із чорного шоколаду і мала розміри 150 см х 65 см х 70 см. Друга плитка була зроблена із білого шоколаду і мала розміри 250 см х 50 см х 120 см. На скільки відрізняються об’єми даних шоколадних плиток?

ЗАДАНІ НА ПОВТОРЕННЯ

816. Порівняйте значення виразів:

1) 78 ∙ 9670 і 49 ∙ 6500; 2) 209223 : 567 і 8834 : 631.

817. Розв’яжіть рівняння:

1)    (25 + х): 15 = 4+136; 2) 5х+145 = 282 : 3 + 53 ∙ 2.

818. Із Києва і Львова одночасно виходять два потяги назустріч один одному. Швидкість одного потяга — 90 км/год, а іншого — 110 км/год. На яку відстань зблизяться потяги за одну годину?

819. Із Києва до Львова одночасно виходять два потяги. Швидкість одного потяга — 140 км/год, а іншого —

90   км/год. Яка відстань буде між потягами через дві години?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити