Математика 5 клас

РОЗДІЛ 4 СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР


§ 22. КОМБІНАТОРНІ ЗАДАЧІ


У повсякденному житті часто доводиться створювати різноманітні комбінації, наприклад: грошових купюр різної вартості, щоб утворити потрібну суму; страв для обіду; матеріалів для ремонту тощо. При цьому виникає запитання: «Скількома способами можна утворити ту чи іншу комбінацію?». Шукаючи відповідь на нього, ми розв’язуємо особливу задачу. У ній задано елементи для комбінування, а вимагається знайти кількість можливих комбінацій. Такі задачі називаються комбінаторними. Для їх розв’язування використовують різні способи. Ми ознайомимося з двома із них.

1.    Спосіб перебору.

Задача 1 . Скількома способами можна скласти розклад трьох перших уроків у 5 класі з предметів: математика, українська мова, історія?

Розв’язання. Введемо позначення: математика — М, українська мова — У, історія — І. Якщо на перший урок поставити математику, тоді на другий урок можна поставити або українську мову, або історію, а на третій урок — або історію, або українську мову відповідно. Отримали 2 комбінації: МУІ та МІУ. Міркуючи аналогічно, дістанемо ще 4 комбінації: УМІ та УІМ, ІМУ та ІУМ. Отже, розклад можна скласти 6 способами.

 Зверніть увагу:

щоб перебрати всі комбінації заданих елементів і не загубити якусь із них, варто записувати проміжні результати, наприклад у таблиці.

Розв’язуючи задачу, ми перебрали всі можливі комбінації із заданих елементів для комбінування. У цьому і полягає суть способу перебору.

Застосовуючи спосіб перебору, крім таблиці можна створити дерево можливих варіантів. Це схема, яка допомагає виявити всі можливі комбінації заданих елементів. Розглянемо приклад.

 Задача 2. Скількома способами можна розмістити на . столі в один ряд підручник, зошит і щоденник?

Розв’язання. Введемо позначення: підручник — П, зошит — 3, щоденник — Щ. Бачимо, що вже утворилась перша комбінація. Запишемо її в один ряд і обведемо кожну літеру квадратиком (мал. 193).

Від кожного квадратика проведемо по 2 гілки (мал. 194), які показують, що перебирати залишилось із 2 елементів. На кінцях гілок розмістимо квадратики, в які впишемо позначення цих елементів (мал. 195). Залишилось перебрати по 1 елементу, тому проводимо по 1 гілці від кожного квадратика другого рівня і вписуємо в них відповідні елементи (мал. 196). Тепер порахуємо кількість квадратиків у найнижчому, третьому рівні. їх виявляється 6. Отже, підручник, зошит і щоденник можна розмістити 6 способами.


Мал. 193

Щоб виписати ці комбінації, пройдемо кожним ланцюжком гілок від найвищого до найнижчого рівня: ПЗЩ, ПЩЗ, ЗПЩ, ЗЩП, ЩПЗ, ЩЗП.

Мал. 194

Мал. 195

Мал. 196

Зверніть увагу:

у дереві можливих варіантів:

1) стільки рівнів, скільки задано елементів для комбінування;

2) на кожному рівні проводять стільки гілок, скільки елементів залишилось перебрати.

2.     Правило множення.

Задача 3. У фінал змагань зі стрибків у довжину вийшли Олег, Ігор, Максим і Дмитро. Скількома способами можуть розподілитися перші 4 місця у цих змаганнях?

Розв’язання. Перше місце може вибороти один із чотирьох хлопчиків. Тоді друге місце — один із трьох хлопчиків, що залишились, третє місце — один із двох хлопчиків, що залишились, а четверте — лише один хлопчик. Отже, всіх можливих варіантів: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =24. Випишіть самостійно ці комбінації.

Можемо записати правило множення (для комбінаторних задач ).

Правило множення (для комбінаторних задач).

Щоб знайти кількість усіх комбінацій з п елементів, треба помножити всі натуральні числа, починаючи з числа п і закінчуючи числом 1.

Дізнайтеся більше

Михайло Йосипович Ядренко

(1932-2004 pp.) — видатний український математик. Народився в селі Дрімайлівці Чернігівської області. Він віддавав багато сил та енергії розвитку шкільної математичної освіти, організації математичних олімпіад, виданню сучасних посібників з елементарної математики і комбінаторики, а також збірників задач до математичних олімпіад.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАНІ

820. На кіносеанс Олегу, Ігорю, Максиму, Дмитру і Петру дісталися квитки №1 -5 у шостому ряду. Зі скількох елементів складатиметься комбінація?

821. Назвіть усі можливі комбінації букв А і У. Скільки їх?

822. Скількома способами на контурній карті можна зафарбувати в один колір дві країни, маючи синій і червоний олівці?

823. На малюнку 197 розпочато побудову дерева можливих варіантів для комбінацій із цифр 1, 2 і З,. Скільки рівнів має бути в дерева? Чи на всі рівнях завершено побудову? Добудуйте дерево. Скільки отримали комбінацій?

824. Чи правильно виписано усі можливі комбінації букв Р, А і К у таблиці 35?

Мал. 197

Таблиця 35

РАК


КАР

АКР


РА

РК


АК

825. Доповніть таблицю 36 так, що0 у ній були виписані всі можливі комбінації цифр 3, 6, 9.

Таблиця 36

369

396

693


963


826. Кролик подарував Вінні-Пуху банку варення, торт і банку згущеного молока. Скількома способами Вінні-Пух може поласувати солодощами? Чи правильно побудовано до задачі дерево можливих варіантів на малюнку 198?

827. Наталка купила три порції морозива: пломбір, фруктове і ванільне. Скількома способами дівчинка може поласувати морозивом? Чи правильно побудовано до задачі дерево можливих варіантів на малюнку 199?

Мал. 198

Мал. 199


Мал. 200

828. Випишіть усі можливі комбінації цифр 1, 2, 3,4. Добудуйте дерево можливих варіантів (мал. 200).

829. Випишіть усі можливі комбінації букв А, О, І. Побудуйте дерево можливих варіантів.

830. На гору веде три дороги. Петро, Миколка і Василь вирішили піднятися на гору різними дорогами. Скількома способами це можна зробити?

831. Скількома способами можна приклеїти три різні картинки в один ряд?

832. Скільки трицифрових чисел, записаних різними цифрами, можна скласти із цифр:

1)1,2,3;

2)7, 5, 8?

833. Скільки наборів букв можна скласти з букв l, К, Т, М?

834. Скільки наборів слів можна скласти зі слів СОНЦЕ, ЗОРІ, НЕБО?

835. Чи правильно виписано усі можливі комбінації цифр 5, 6, 9 і 3 у таблиці 37?

Таблиця 37

5369

5936

5963

5693

5639

6593

6953

6539

6935

6359

9563


9653

9635

9356

9365

3569

…………

3596

3695


3659

3956

836. Скількома способами можна розклаcти в один ряд чотири різні монети?

837. Випишіть усі можливі комбінації букв А, О, І, У. Побудуйте дерево можливих варіантів.

838.  Складіть дерево можливих варіантів розміщення чергових Петренка, Сидоренка, Василенка та Іваненка на чотирьох поверхах школи.

839.  Скільки трицифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 0?

840.  Скільки трицифрових чисел можна скласти із цифр 4, 2, 5 так, щоб першою стояла цифра 5?

841.  Скільки існує двоцифрових чисел із різними цифрами?

842.  Скільки існує трицифрових чисел із різними цифрами?

843.  На гору веде три дороги. Скількома способами можна піднятися на гору і спуститися з неї так, щоб двічі не пройти однією дорогою?

844. Дано чотирикутник. Скільки існує відрізків з кінцями у його вершинах?

845. У змаганні брало участь 4 команди. Кожна команда грала з усіма іншими командами. Скільки всього ігор було зіграно?

846.Скількома способами можна розставити на полиці підручники з математики, історії, природознавства, української мови так, щоб першим стояв підручник з математики?

847.  Катруся, Ганнуся, Даринка, Василько, Петрик купили квитки на концерт. Скількома способами можуть розсістися діти так, щоб усі дівчатка сиділи поряд?

848.  За даними таблиці 38 з’ясуйте, з яких елементів складається комбінація. Перемалюйте та заповніть таблицю.

Таблиця 38

ДЗВОНИК

ДИКЗВОН      ДИКОЗВОН

ДОНИКЗВ

ДОНЗВИК

ДЗВИКОН

ОНДИКЗВ





ИКДОНЗВ





ЗВДОНИК





849. Скільки комбінацій можна скласти з букв М, А, И, К, Р? Скільки з них утворюють слово?

850. Скільки комбінацій можна скласти зі слів У, СНІЖИНКИ, ТАНКУ, КРУЖЛЯЛИ? Скільки з них утворюють речення?

851. Скількома способами можна розставити на полиці п’ять різних книг?

852. Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5?

853. Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти з цифр 4, 2, З, 8, 0, якщо на місці тисяч може стояти 2 або 3, а на місці десятків 8 або 4?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

854.  Марійка забула дві останні цифри номера мобільного телефону подруги. Скільки комбінацій їй доведеться перебрати?

855.  Ви вирішили відвідати музей, театр і виставку. Скільки варіантів вашої культурної програми ви можете розробити?

856.  На малюнку 201 зображено три фрагменти узору. Скількома способами можна утворити орнамент?

Мал. 201

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

857.  Виконайте віднімання:

1)1976 - 1452; 3)39898 - 154;

2)2875 - 545;  4)57431 - 321220.

858.   Сума двох чисел дорівнює 3678, а їх різниця — 104. Знайдіть ці числа.

859.   Різниця двох чисел дорівнює 25, а їх сума — 180341. Знайдіть ці числа.

860.  Як зміниться периметр квадрата, якщо його сторону:

1)     збільшити у 2 рази;

2)     зменшити у 3 рази?

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1.   Що таке степінь числа? Основа степеня? Показник степеня?

2.   Що означає піднести число а до степеня п?

3.   Чому дорівнює 1 устелені т?

4.   Чому дорівнює а у степені 1 ?

5.   Що називається квадратом числа? Кубом числа?

6.   У яких одиницях вимірюють площу?

7.   Що означає визначити площу фігури?

8.   Яка формула площі прямокутника? Площі квадрата?

9.   Поясніть, що таке прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда.

10.  Чому дорівнює сума всіх ребер прямокутного паралелепіпеда? Куба?

11.  Скільки вершин, граней, ребер у прямокутного паралелепіпеда? Куба? Трикутної піраміди?

12.  Скільки у куба рівних граней? Ребер?

13.  Поясніть, що таке вершина піраміди. Бічні ребра. Ребра основи.

14  Що таке одиничний куб?

15.  У яких одиницях вимірюють об’єм?

16.  Що означає визначити об’єм фігури?

17.  Яка формула об’єму прямокутного паралелепіпеда? Куба?

18.  Поясніть, які задачі називають комбінаторними.

19.  У чому полягає суть способу перебору розв’язування комбінаторних задач?

20.  Поясніть правило множення для комбінаторних задач.

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі і знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10-15 хв.

1. Обчисліть 43 +13.

А. 125.            Б. 13.          В. 15;.          Г. 65.

2. Обчисліть суму довжин усіх ребер куба, якщо периметр його грані дорівнює 8 см.

А. 24 см.         Б. 48 см.     В. 16 см.      Г. 32 см.

3. Скількома способами можна назвати трикутник, використовуючи букви А, В і С?

А. 6.               Б. 3.            В. 2.             Г. 1.

4. На скільки квадратних сантиметрів площа квадрата зі стороною 12 см більша за площу прямокутника зі сторонами 9 см і 1 см?

А. 3см2.           Б. 134 см2.  В. 28 см2.     Г. 135 см2.

5. Знайдіть площу найбільшої грані прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм становить 480 см3, а два ребра дорівнюють 8 см і 20 мм.

А. 384 см2. Б. 240 см2. В. 600 см2. Г. 60 см2.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити