Математика 5 клас

РОЗДІЛ 2 ДІЇ ПЕРШОГО СТУПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ


У розділі дізнаєтесь:

що таке буквений вираз та як його складати; т як користуватися формулами;

про дії додавання і віднімання натуральних чисел та їх властивості;

що таке многокутник та як знаходити його периметр;

які фігури називаються рівними;

які властивості прямокутника і квадрата;

що таке трикутник, які його види і властивості;

як застосувати вивчений матеріал на практиці


§ 6. БУКВЕНІ ВИРАЗИ. ФОРМУЛИ


Ви вже знаєте, що таке числовий вираз. Вмієте складати різні числові вирази та обчислювати їх значення. А як записати, на якій відстані від школи мешкає кожен із вас? Для когось із вас така відстань дорівнює, наприклад, 200 м, а для інших може становити 500 м, 1000 м тощо. Щоб записати це в загальному вигляді, можна число замінити буквою, наприклад, а. Тоді дістанемо: відстань від дому до школи становить а м.

Задача 1. Сергійко живе на 100 м далі від школи, ніж Оксана, а Марина — удвічі далі, ніж Сергійко. На якій відстані від школи живе Марина?

Розв’язання. Позначимо буквою а відстань від школи до і будинку, в якому живе Оксана. Тоді Сергійко живе від школи  на відстані а + 100 (м), а Марина — на відстані (а+ 100) ∙ 2 (м).

У цій задачі ми склали вирази: а, а + 100, (а + 100) ∙ 2. Такі вирази не є числовими. Це — буквені вирази.

Запис, в якому використовують букви, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається буквений виразом.

Буквені вирази, які містять добуток числа і букви, двох чи більше букв або буквеного виразу і букви, такі як 2 ∙ aa ∙ b(а + b) ∙ с, можна записати коротше — без знака множення (крапки): 2а, ab(а + b) с.

Букви, що входять до буквеного виразу, можна замінити числами. Тоді дістанемо числовий вираз. Отже, значення буквеного виразу можна обчислити при заданих значеннях букв. Наприклад, нехай у розглянутій задачі відомо, що Оксана живе на відстані 300 м від школи. Тоді а = 300, а+100 = 300 + 100 = 400, (а + 100) ∙ 2  = (300 + 100) ∙ 2 = 800. Отже, Сергійко живе від школи на відстані 400 м, а Марина — на відстані 800 м.

Чи зміняться значення цих буквених виразів при іншому значенні а? Так.

Зверніть увагу:

значення буквеного виразу залежить від значень букв, які входять до нього.

Найбільш важливі і загальні відомості про числа, їх властивості, співвідношення між величинами тощо часто записують у вигляді буквених виразів, рівностей і навіть нерівностей.

Наприклад, відомо, що в натуральному ряді два послідовних натуральних числа відрізняються на одиницю. Якщо натуральне число позначити буквою п, тоді буквений вираз n + 1 показує, як саме для числа п дістати наступне натуральне число: для цього потрібно до даного числа додати 1. Інший приклад. Якщо пройдений шлях позначити буквою sшвидкість руху — буквою V, а час руху — буквою t, то дістанемо рівність:

s vt.

У старшій школі ви ознайомитесь і з нерівностями, які виражають деякі властивості чисел.

Такі буквені вирази, рівності, нерівності називають формулами. Наприклад, вираз n + 1 — це формула наступного натурального числа: якщоn = 5, то n + 1 = 5  + 1 = 6; якщо n=11,то  n + 1 = 11 + 1 = 12 іт. д. Рівність s vt — це формула, що виражає закон руху. Вона показує, як саме пройдений шлях залежить від швидкості руху та витраченого часу: якщо v = 60 км/год t = 2 год, то s = vt = 60 ∙ 2 = 120 (км); якщо v = 80 км/год і t = 3 год, то s = 80 ∙ 3 = 240 (км) і т. д.

Задача 2. Довжина швидкісної ділянки дороги Київ — У Бориспіль дорівнює 18 км. Автобус рухається зі швидкістю 90 км/год. За який час автобус проїде швидкісну ділянку дороги?

Розв’язання. Iз формули руху s vt виразимо шуканий час: t = s:vДля зручності обчислень переведемо відстань

із   кілометрів у метри: 18 км = 18000 м, а швидкість — із кілометрів за годину в метри за хвилину: 90 км/год = 90 ∙ 1000:60= 1500 (м/хв). Тодіt=s : 18000:1500= 12 (хв).

Отже, автобус подолає швидкісну ділянку дороги за 12 хв.

Дізнайтеся більше

1. Підмічаючи закономірності, вчені прагнуть подати їх формулами. Проте, щоб назвати формулою деякий вираз, рівність або нерівність, математики обов’язково доводять, що виявлена закономірність справджується для всіх чисел, про які йдеться у формулі. Ці кроки називають виведенням формули. Пізніше ви теж навчитесь виводити формули, в тому числі доводити їх.

2. Слово «формула» — це переклад латинського слова formulaяке означає форма, правило, припис.

3. Творцем сучасної буквеної символіки вважають французького математика Франсуа Вієта (1540—1603).

Франсуа Вієт


 РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

170. Чи є вираз буквеним:

1)4 ∙ t;                                3)а + 78 (b-с);

2) 5 ∙ 45 + 7;                     4) а + 8 ∙ а?

171. Як записати коротше:

1) 4 ∙ t;            2)78 ∙ b;       3)8-а;            4) а ∙ b?

172. Чи можна записати вираз коротше (без знака арифметичної дії):

1)4 + t;           2)78 - b;       3)8 ∙ b ∙ а; 4) а ∙ b ∙ с?

173. Прочитайте буквений вираз:

1)8 +а;             2)с:5;         3 )mn;           4 )х-у.

174. Знайдіть значення виразу а + 15, якщо:

1) а = 5;      2) а = 20005;   3)а = 405;    4)а = 0.

175. Прочитайте буквений вираз:

1)3t + ab;              2)ab:n + 6;         3) 35x— 100y.

176. Запишіть у вигляді виразу:

1)    різниця чисел 123 і 78, зменшена на а;

2)    сума чисел а і 4, поділена на с;

3)    добуток числа 56 і суми чисел n і m;

4)    частка суми чисел а і 5b та різниці чисел n і m.

177. За даними таблиці 4 обчисліть значення виразів.

Таблиця 4

a

1000

62

11

202

a





а+ 38





178. Число а збільшили у 5 разів, потім зменшили на 45, а потім збільшили на 45. Який вираз отримали?

179. Число 144 збільшили у b разів, потім зменшили на с,  а потім збільшили на n. Який вираз отримали?

180. У класі а хлопчиків і b дівчаток. Запишіть у вигляді рівностей наступні речення:

1)        хлопчиків утричі більше, ніж дівчаток;

2)        хлопчиків на 4 менше, ніж дівчаток;

3)        хлопчиків стільки, скільки й дівчаток.

181. Марійка купила а кг груш по 10 грн і с кг яблук по 5 грн. Скільки заплатила за покупку Марійка?

182. Олівці коштують х грн, фарби — у грн, а альбом — z грн. Поясніть, який зміст мають вирази:

1x + y + z;                            3)3x + 2y + 5z;

2) у-х;                                   4) 100 - (3х + 2у + 5z).

183. Помідор важить а г, а огірок — b г. Поясніть, який зміст мають вирази:

1)a + b;               2)a-b;           3)6а;        4) 4а + 8b.

184. Швидкість автомобіля 60 км/год. За формулою s = 60t знайдіть відстань sяку проїде автомобіль за час tякщо:

1)t = 4год;           2) t=12 год;  3)t = 5год.


185. Швидкість човна 50 км/год. За формулою s = 50t знайдіть відстань sяку пропливе човен за час tякщо:

1)t = 4год; 2)t = 2год; 3)t=10год.

186. Спираючись на формулу руху, знайдіть невідомі величини за таблицею 5.

Таблиця 5

S

1000 км

14 км

32 км


V

100 км/год


8 км/год

65 км/год

t


2 год


4 год

187. Робітник за годину виготовляє 25 деталей. За формулою A = 25t обчисліть кількість виготовлених деталей, якщо:

1) t = 4 год; 2) t = 5 год; 3) t = 3 год.

188. Один кілограм печива коштує 34 гривні. За формулою Р =34 m обчисліть вартість m кілограмів печива, якщо:

1)m = 4кг;           2)m = 5кг;    3)m=10кг.

189. Запишіть у вигляді виразу:

1)         суму трьох послідовних натуральних чисел;

2)         добуток трьох послідовних натуральних чисел.

190. Число а має в запису х тисяч, у сотень, b десятків і с одиниць. Подайте число а у вигляді суми розрядних доданків.

191. Число m має в запису а мільйонів, b тисяч, с десятків і р одиниць. Подайте число m у вигляді суми розрядних доданків.

192.      На координатному промені побудуйте точки М(6),Р(n+3), якщо:

1) n = 4;              2) n = 2;      3) n= 10;     4)n=1.

Знайдіть відстань між точками М і Р.

193. Знайдіть усі натуральні числа, які більші за а + 7 і менші від а + 9, якщо:

1)         а = 3;              2) а = 250;            3) а = 5000.

194. Знайдіть значення       виразу a + 5 - с, якщо:

1)а=10, с = 8;             2) а  =  90,       с=18.

195. Автомобіль рухається зі швидкістю 90 км/год. За формулою s = 90t знайдіть відстань (у метрах), яку проїде автомобіль за:

1)         120 хв;           2) 360 с;                   3) 300 хв.

196. Пліт рухається зі швидкістю 30 м/хв. За який час пліт подолає відстань у 6 км?

197. Поїзд рухається зі швидкістю 120 км/год. За скільки хвилин поїзд подолає відстань 8000 м?

198. В одному ящику на n яблук більше, ніж у другому. Як зміниться різниця між кількістю яблук у ящиках, якщо із першого ящика перекласти до другого с яблук?

199. Запишіть у вигляді виразу:

1) «b км а м» у сантиметрах; 3) «n грн m к.» у копійках;

2) «(с + 2) кг» у грамах;   4) «1 доба t год» у хвилинах.

200. У запису числа є х сотень, у десятків і z одиниць, х > 9, 5 < y < 7, z - 1 <5. Знайдіть число, якщо сума його цифр дорівнює 18.

201. На кінцевій зупинці в автобус зайшло а осіб. На першій зупинці вийшло b осіб, а зайшло в 3 рази більше, ніж вийшло. На другій зупинці вийшло с осіб, а зайшло стільки ж, як на кінцевій зупинці. Скільки пасажирів стало в автобусі?

202. Петрик і Василько читають одну й ту саму книгу. Петрикові залишилося прочитати а сторінок, а Василькові — b сторінок. Скільки сторінок прочитав Василько, якщо Петрик прочитав 40 сторінок?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

203. У класі навчаються а дівчат і b хлопців. Сьогодні, у зв’язку із хворобою, на заняття не прийшли с дівчат і d хлопців. Скільки всього учнів прийшло на заняття? Обчисліть значення отриманого виразу для вашого класу на сьогодні. Поясніть, який зміст мають вирази:

(а + b- (с + dі (а - с) + (b d).

204. Відстань від вас до грозового фронту наближено визначається за часом затримки гуркоту грому відносно спалаху блискавки. Швидкість звуку — 344 м/с (за 3 секунди звук проходить понад 1 кілометр). Нехай t — час між спалахом блискавки і відповідним йому гуркотом грому (в секундах), S — відстань до місця знаходження грози (у метрах). За формулою S = 344 і знайдіть відстань до грозового фронту, якщо після спалаху до грому пройшло: 1) 3 с; 2) 10 с.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

205. Обчисліть: 1) (4 ∙ 15 + 76): 4 - 2 ∙ (36 - 8) : 2;

2)4 ∙ 15 + 76 : 4 - 2 ∙ 36 - 8 : 2.

206. Що більше:

1) 140 хв чи 2 год 20 хв;      2) 589 к. чи 5 грн?

207. В Олени було 22 грн. Вона купила 2 альбоми по 7 грн і 4 зошити по 1 грн 30 к. Чи вистачить у неї грошей на морозиво, яке коштує:

1) 4 грн 25 к.;                      2) 2грн?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити