Математика 5 клас

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

 

§ 6. Властивості множення

 

На рисунку 1 (див. с. 47) зображено ящик, що містить 6 рядів по 5 пакетів соку в кожному. Загальну кількість пакетів можна обчислити, помноживши 6 на

5,  або 5 на 6. Результати однакові: 6 ∙ 5 = 30 і 5 ∙ 6 = = 30. Отже, 6 ∙ 5 = 5 ∙ 6. У буквеному вигляді:

a ∙ b b ∙ a.

Тут справджується переставна властивість множення:

від перестановки множників добуток не змінюється.

Нехай у кожному пакеті, зображеному на рисунку 1, 2 л соку. Як обчислити загальну кількість соку?

Рис. 1

1-й спосіб. Відомо, що пакетів усього 5 ∙ 6, і в кожному — по 2 л соку. Тому всього в ящику 2 ∙ (5 ∙ 6) л соку.

2-й спосіб. В одному ряду 5 пакетів, а соку в кожному 2 л, тому всього в цих 5 пакетах соку (2 ∙ 5) л. Однак рядів 6, тому всього в ящику: (2 ∙ 5) ∙ 6 л соку.

Отже, (2 ∙ 5) ∙ 6 = 2 ∙ (5 ∙ 6). У буквеному вигляді:

(а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b ∙ с).

Маємо сполучну властивість множення:

щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.

З    переставної і сполучної властивостей множення випливає, що при множенні кількох чисел можемо групувати множники на свій розсуд. Це дає змогу спрощувати обчислення.

Приклади:

1) 14 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 20 = (14 ∙ 7) ∙ (5 ∙ 20) = 98  ∙ 100 = 9800;

2) 1 200 ∙ 30 000 = 12 ∙ 100 ∙ 3 ∙ 10 000 = (12 ∙ 3) х

х (100 ∙ 10 000) = 36 ∙ 1 000 000 = 36 000 000.

Переставну та сполучну властивості множення можна використовувати і при спрощенні виразів.

Приклади:

1) 7 ∙ х ∙ 9 = (7 ∙ 9) ∙ х = 63 ∙ х = 63х;

2) 8 ∙ a ∙ 7 ∙ b = (8 ∙ 7) ∙ a ∙ b = 56ab.

На використанні переставної і сполучної властивостей множення ґрунтується і наступне правило

множення натурального числа на розрядну одиницю, відоме з молодших класів.

Щоб помножити натуральне число на розрядну одиницю (10, 100, 1000…), треба приписати справа до цього числа стільки нулів, скільки їх є в розрядній одиниці.

Приклади:

54 ∙ 100 = 5400, 237 ∙ 1000 = 237 000,

3809 ∙ 10 000 = 38 090 000.

Повернемося до рисунка 1. Нехай маємо 4 ряди пакетів з яблучним соком і 2 — з апельсиновим. Тоді кількість пакетів можна обчислити двома шляхами: (4 + 2) ∙ 5 і 4 ∙ 5 + 2 ∙ 5.

В обох випадках загальна кількість дорівнюватиме 30. Запишемо це в буквеному вигляді:

(а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с.

Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно додавання:

j щоб помножити суму на число, можна помножити на це число кожний доданок і ці добутки додати.

Цей закон правильний для будь-якої кількості доданків.

(а + b + х) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с +   x ∙ с;

(а + b + х + у) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с + х ∙ с + у ∙ с тощо.

Однакові значення мають також вирази (7 - 2) ∙ 5 і   7 ∙ 5 - 2 ∙ 5, оскільки (7 - 2) ∙ 5 = 5 ∙ 5 = 25 і 7 ∙ 5 - 2 ∙ 5 = 35 - 10 = 25.

Тому розподільну властивість можна поширити на віднімання. У буквеному вигляді його записують так:

(а - b) ∙ с = а ∙ с - b ∙ с.

Ця рівність виражає розподільну властивість множення відносно віднімання:

щоб помножити різницю на число, можна зменшуване і від’ємник помножити на це число і від першого добутку відняти другий.

Розподільну властивість множення можна використовувати для обчислень та спрощення виразів.

Приклад 1. Обчисли:

а) 49   113 + 51 ∙ 113;

б) 42  ∙ 125 – 22 ∙ 125;

в) 37  ∙ 312 + 42 ∙ 312 - 69 ∙ 312;

г) 97  ∙ 18.

Розв’язання.

а) 49 ∙ 113 + 51 ∙ 113 = (49 + 51) ∙ 113 = 100 ∙ 113 = 11 300;

б) 42 ∙ 125 - 22 ∙ 125 = (42 - 22) ∙ 125 = 20 ∙ 125 = 2500;

в) 37 ∙ 312 + 42 ∙ 312 - 69 ∙ 312 = (37 + 42 - 69) х х 312 = 10∙312 = 3120;

г) 97 ∙ 18 = (100 - 3) ∙ 18 = 100 ∙ 18 - 3 ∙ 18 = 1800 - 54 = 1746.

Приклад 2. Спрости вираз:

а) 3х + 9х;

б) 8а + 3а - 2а;

в) 7х - 2х + х - 8.

Розв’язання. а) 3х + 9х = (3 + 9)х = 12х;

б) 8а + 3а - 2а = (8 + 3 - 2) а = 9а;

в) 7х - 2х + x - 8 = 7х - 2х + 1х - 8 = = (7 - 2 + 1)x - 8 = 6х - 8.

Використовуючи розподільну властивість множення для виразів (а + b) ∙ с і (а - b) ∙ с, отримаємо вираз, що не містить дужок. Кажуть: розкрили дужки.

Приклад 3. Розкрий дужки:

а) 5(х + 7);

б) 3(2b - 13).

Розв’язання.

а) 5(х + 7) = 5 ∙ x + 5 ∙ 7 = 5х + 35;

б) 3(2b - 13) = 3 ∙ 2b - 3 ∙ 13 = 6b - 39.

226. Обчисли (усно):

1) 572 ∙ 10;          2) 100 ∙ 7982;       3) 1000 ∙ 52;

4) 8 ∙ 7 ∙ 5;           5) 7 ∙ 20 ∙ 5;          6) 4 ∙ 8 ∙ 25;

7) 43 ∙ 10 ∙ 2;       8) 5 ∙ 9 ∙ 2 ∙ 7; 9) 10 ∙ 2 ∙ 7 ∙ 50.

Середній рівень

227. Обчисли зручним способом:

1) 4 ∙ 89 ∙ 25;       2) 2 ∙ 472∙ 5;        3) 5 ∙ 72 ∙ 4;

4) 50 ∙ 15 ∙ 2; 5) 125 ∙ 14 ∙ 8; 6)       8 ∙ 37 ∙ 25.

228. Обчисли зручним способом:

1) 25 ∙ 17 ∙ 4;       2) 5 ∙ 137 ∙ 20;    3) 6 ∙ 5 ∙ 39;

4) 500 ∙ 19 ∙ 2;      5) 8 ∙ 115 ∙ 125;  6) 80 ∙113 ∙ 5.

229. Спрости вираз:

1) 6 ∙ 7 ∙ b;             2) 8 ∙ 9а;          3) 3 ∙ a ∙ 4 ∙ b;

4) 5x ∙ 7у;              5) 3 ∙ m ∙ 2а ∙ 7 ∙ t; 6) 2а ∙ 3z ∙ 4n.

230. Спрости вираз:

1) 8 ∙ 7 ∙ х;    2) 17х ∙ 2;                3) 5 ∙ х ∙ 9 ∙ m;

4) 9а ∙ 11b;     5) 5 ∙ х ∙ 9 ∙ 8 ∙ а ∙ m; 6) 10b ∙ 20с ∙ 17p.

231. Обчисли значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:

1) 387 ∙ 73 + 387 ∙ 27;       2) 842 ∙ 39 + 158 ∙ 39;

3) 18 ∙ 918 - 18 ∙ 818;        4) 7292 ∙ 27 - 7292 ∙ 26.

232. Обчисли значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:

1)      452 ∙ 499 + 452 ∙ 501;

2)      83 ∙ 47 + 917 ∙ 47;

3)      192 ∙ 2005 - 192 ∙ 1005;

4)      4592 ∙ 217 - 4592 ∙ 216.

233. Спрости вираз:

1) 4m + 5m;               2) 9х - 5х;

3) 10с - 2с;                 4) 7a + 8a - 5а.

234. Спрости вираз:

1) 9a + 2a;                 2) 15b - 3b;

3) 4х + 2х - 3х;          4) 10t - 2t - 5t.

235. Розкрий дужки:

1) 5 ∙ (х + 2);             2) (7 - а) ∙ 9;

3) 2 ∙ (3b + 8с);          4) (5а - 6k) ∙ 2.

236. Розкрий дужки:

1) 7 ∙ (a - 3);               2) (b + 7)  ∙ 11;

3) 15(2х + 3у);            4) (7m - 2n) ∙ 20.

щз Достатній рівень

237.  Спрости вираз 5х ∙ 20 та знайди його значення, якщо х = 37.

238.  Спрости вираз 7а ∙ 18b та знайди його значення, якщо a = 5, b = 100.

239.  Спрости вираз і знайди його значення:

1)      125х ∙ 4, якщо x = 27;

2)      4р ∙ 25k, якщо р = 20, k = 113.

240.  Обчисли зручним способом:

1)      24 ∙ 25; 2) 28 ∙ 125; 3) 15 ∙ 120; 4) 32 ∙ 17 ∙ 125.

Розв’язання.                        

1) 24 ∙ 25 = 6 ∙ 4 ∙ 25 = 6 ∙ (4 ∙ 25) = 6∙100 = 600.

241.  Обчисли зручним способом:

1)      48 ∙ 125;   2) 400 ∙ 25;

3)      140 ∙ 35;      4) 50 ∙ 32 ∙ 5.

242.  Порівняй:

1)      8 ∙ 23 ∙ 182 і 8 ∙ 22 ∙ 182;

2)      42 ∙ 72 і 6 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 10;

3)      30 ∙ 92 і 5 ∙ 92 ∙ 6;

4)      28 ∙ 2 ∙ 9 і 4 ∙ 14 ∙ 9.

243.  Спрости вираз і обчисли його значення при вказаному значенні змінної:

1)     17а + 25а - 32а, якщо а = 12;

2)     37b b - 8b, якщо b = 1001;

3)     20х + 7х - х - 21х, якщо x = 214;

4)     4m + 2m - 3m + 9, якщо m = 142.

244.  Спрости вираз і обчисли його значення при вказаному значенні змінної:

1)     29m + 31m - 40m, якщо m = 211;

2)     15a - a + 10a, якщо a = 40;

3)     30х + 31x + 32х - 90х, якщо x = 140;

4)     10 + 5a + 6a - a, якщо a = 11.

245.  Обчисли значення виразу найзручнішим способом:

1)     4972 ∙ 17 + 28 ∙ 4972 - 35 ∙ 4972;

2)     14 592 + 14 592 ∙ 2 + 14 592 ∙ 3 + 14 592 ∙ 4;

3)     5983 ∙ 14 + 5983 ∙ 11 - 4983 ∙ 25;

4)     7182 ∙ 164 - (6182 ∙ 127 + 6182 ∙ 37).

246.  Обчисли, використовуючи розподільну властивість:

1)     102  ∙ 13;    2) 997  ∙ 15;

3)     71 ∙  80;      4) 88 ∙  600.

247.  Обчисли, використовуючи розподільну властивість:

1)     99 ∙  17;      2) 1002 ∙ 21;

3)     82 ∙  60;      4) 59 ∙  700.

Високий рівень

248.  На складі готової продукції сорочки упаковували в коробки по 25 штук у кожну. Коробки розмістили в х рядів по у коробок у кожному ряді. Запиши вираз для визначення кількості всіх сорочок на складі. Обчисли значення цього виразу, якщо x = 26, у = 40.

249.  У школі чотири п’ятих класи. У кожному класі навчається а учнів. Кожний з них має по b підручників. Склади вираз для обчислення кількості підручників в усіх п’ятих класах. Обчисли цю кількість, якщо а = 25, b = 17.

250. Як зміниться добуток двох чисел, якщо:

1)    один множник збільшити в 3 рази;

2)    один множник збільшити в 5 разів, а другий — у 4 рази.

Розв’язання. 2) Розглянемо добуток a ∙ bПісля збільшення множників маємо:

(5а) ∙ (4b) = (5 ∙ 4) ∙ (а ∙ b) = 20ab.

Отже, добуток збільшився у 20 разів.

251. Не виконуючи дій, порівняй вирази:

1)    11(752 + 979) і 11 ∙ 752 + 10 ∙ 979;

2)(7372 - 599)∙5 і 7372 ∙ 4 - 599 ∙ 5.

Вправи для повторення

252. Запиши числа в порядку спадання та знайди ім’я жінки - однієї із засновників Києва.

(І) 325 259;         (Ь) 325 099;     (Л) 327 429;

(Б) 325 529;        (Д) 325 159;    (И) 327 425.

253.     Фермер продав першого дня 1 т 250 кг картоплі, а другого — 1 т 150 кг картоплі і отримав за два дні виручку 6720 грн. За якою ціною продавав фермер картоплю?

254. У наборі 5, 7, □ одна цифра загубилася. Знайди її, якщо сума двох найменших трицифрових чисел, що складені із цифр цього набору (цифри в числі не можуть повторюватися), дорівнює 1165.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити