Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

 

У цьому розділі ви:

-   ознайомитеся з дільниками і кратними натуральних чисел;

-   дізнаєтеся про прості та складені числа, взаємно прості числа;

-   навчитеся розкладати числа на прості множники, знаходити найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел.

 

§1. Дільники і кратні натурального числа

 

15  яблук можна розділити порівну між п’ятьма дітьми, давши кожному по 3 яблука. А якщо розділити (не розрізаючи) ці самі 15 яблук між шістьма дітьми, то кожна дитина отримає по 2 яблука і ще 3 яблука не будуть розділені.

Число 15 ділиться на 5 без остачі (15 : 5 = 3). Кажуть, що число 5 є дільником числа 15. Число 15 не ділиться на 6 без остачі (15 : 6 = 2 (ост. 3)). Тому число 6 не є дільником числа 15.

- Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без остачі.

Наприклад, дільниками числа 10 є числа 1, 2, 5 і 10, а дільниками числа 17 — 1 і 17. Число 10 має чотири дільники, а число 17 — два дільники. Число 1 має лише один дільник — 1.

Надалі замість слів «ділиться без остачі» для випадку, коли діленим і дільником є натуральні числа, використовуватимемо слово «ділиться».

Будь-яке натуральне число а ділиться на 1 і а. Отже, 1 і а — дільники числа а, причому 1 — найменший дільник, а — найбільший.

Приклад 1. Знайти всі дільники числа 18.

Розв’язання. Два дільники числа 18 очевидні: 1 і 18. Щоб знайти інші, будемо перевіряти підряд усі натуральні числа, починаючи з 2. Отримаємо ще чотири дільники: 2, 3, 6 і 9. Отже, число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Цей перебір можна скоротити, якщо, знайшовши один дільник, записувати відразу й інший, який є часткою від ділення числа 18 на знайдений дільник. Таким чином, отримаємо пари: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Під час перебору їх зручно записувати так:

1   2   3

18  9  6.

Нехай на столі лежать коробки, в кожній з яких знаходиться 12 олівців. Не розкриваючи коробок, можна взяти 12 олівців, 24 олівці, 36 олівців, а от 16 олівців узяти не можна. Кажуть, що числа 12, 24, 36 кратні числу 12, а число 16 не кратне числу 12.

-  Кратним натуральному числу а називають натуральне число, яке ділиться на а.

Будь-яке натуральне число а має безліч кратних. Наприклад, перші п’ять чисел, які кратні числу 12, такі:  12,   24, 36, 48, 60. Найменшим з кратних натурального числа є саме це число.

Узагалі, всі числа, які кратні числу а, можна одержати, помноживши а послідовно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., а саме:

а ∙ 1; а ∙ 2; а ∙ 3; а ∙ 4; а ∙ 5; а ∙ 6; а ∙ 7; ...

Зауважимо, що слова «ділиться» і «кратне» замінюють одне одного. Наприклад, вирази «40 ділиться на 8» і «40 кратне числу 8» мають один і той самий зміст.

Приклад 2. Знайти найменше та найбільше чотирицифрові числа, які кратні числу 23.

Розв’язання. 1) 1000 — найменше чотирицифрове число. 1000 : 23 = 43 (ост. 11). Тому 23 ∙ 44 = 1012 — найменше чотирицифрове число, яке кратне числу 23.

2) 9999 — найбільше чотирицифрове число. 9999 : 23 = = 434 (ост. 17). Тому 23  434 = 9982 — найбільше чотирицифрове число, яке кратне числу 23.

- Яке число називають дільником даного натурального числа а?  Назви дільники числа 8.  Яке натуральне число називають кратним числу а?  Назви чотири числа, які кратні числу 8.

1Назви ті пари чисел, у яких перше число є дільником другого:

1) 2 і 8;      2) 3 і 5;       3) 14 і 7;

4) 5 і 18;    5) 10 і 50;   6) 1 і 2012.

2. Перевір, чи є перше число дільником другого:

1) 25 і 400;         2) 13 і  1613; 3) 123 і     3321.

3. Перевір, чи є перше число дільником другого:

1) 3 і 112;  2) 42 і 1050; 3) 37 і 1645.

4. Назви пари чисел, у яких перше число є кратним другому:

1) 12 і 3;    2) 17 і 9;     3) 18 і 1;  4) 23 і 23.

5. Перевір, чи є перше число кратним другому:

1) 810 і 5;  2) 1036 і 45; 3) 4144 і 37.

6. Перевір, чи є перше число кратним другому:

1) 189 і 3;  2) 1051 і 6;  3) 3000 і 24.

7. Запиши всі дільники числа:

1) 12;        2) 19;          3) 27;         4) 36.

8. Запиши всі дільники числа: 1) 15; 2) 23; 3) 28; 4) 40.

9. Запиши чотири числа, кратні числу: 1) 8; 2) 10; 3) 19.

10. Запиши чотири числа, кратні числу: 1) 6; 2) 11; 3) 23.

11. Треба поділити порівну між кількома дітьми 24 цукерки. Скільки може бути дітей?

12. Чи можна дати здачу 2 грн 25 коп. монетами:

1) по 25 коп.; 2) по 50 коп.?

13. Чи можна 65 огірків розкласти порівну:

1) в 2 кошики; 2) в 3 кошики; 3) в 5 кошиків?

14. Запиши всі двоцифрові числа, які кратні числу 17.

15. Запиши всі двоцифрові числа, які кратні числу 13.

16. Вкажи яке-небудь число, що є дільником чисел:

1) 8 і 12;  2) 20 і 30; 3) 13 і 26; 4) 7 і 15.

17. Вкажи яке-небудь число, що є дільником чисел:

1) 4 і 9;   2) 15 і 10.

18. Вкажи яке-небудь число, що є кратне числам:

1) 2 і 5;    2) 3 і 6;   3) 9 і 12.

19. Вкажи яке-небудь число, що є кратне числам:

1) 3 і 7;   2) 8 і 12.

20.  Запиши значення х, які кратні числу 5, при яких подвійна нерівність 23 < х < 36 буде правильною.

21. Запиши значення у, що є дільниками числа 30, при яких подвійна нерівність 2 < у < 14 буде правильною.

22. Запиши значення bпри яких подвійна нерівність 4 < < 17 буде правильною і які:

1) кратні числу 3; 2) є дільниками числа 36.

23. Знайди:

    1)  найбільше чотирицифрове число, що кратне числу 115;

2) найменше п’ятицифрове число, що кратне числу 12.

24. Яка найменша кількість горіхів повинна бути в кошику, щоб їх можна було розкласти на купки або по 6, або по 8, або по 9 горіхів у кожній?

25. На координатному промені позначено число b (мал. 1). Познач на такому промені у зошиті три числа, які кратні числу b.

Мал. 1

26. Знайди периметр і площу квадрата, сторона якого дорівнює 2,4 см. Вирази площу цього квадрата у мм2.

27. Округли:

1) 17,89 до одиниць;    2) 15,135 до десятих;

3) 18,475 до сотих;    4) 189,145 до десятків.

28. Доведи, що два натуральних числа а і мають таку властивість: або а, або bабо а + bабо а - ділиться на 3.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити