Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 3 Відношення і пропорції


§23. Масштаб. Знаходження відстаней на карті


Припустимо, що нам необхідно розглянути карту (чи план) деякої місцевості (або будівлі чи предмета). На карті (мал. 5) всі розміри зменшено в одну й ту саму кількість разів. У скільки разів насправді розміри більші, ніж на карті, показує масштаб карти.

На малюнку 5 карту виконано в масштабі 1 : 100 000. Це означає, що всі розміри насправді в 100 000 разів більші, ніж відповідні розміри на карті. Наприклад, якщо на карті відстань між селами Калинівка і Яблуневе дорівнює 4 см, то насправді ця відстань становить 4 ∙ 100 000 = = 400 000 см, тобто 4000 м, або 4 км.

Мал. 5

Відношення довжини відрізка на карті (чи плані) до довжини відповідного відрізка на місцевості називають масштабом карти (чи плана).

Отже, масштаб записується як частка (наприклад, 1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1 000 000), діленим якого є одиниця, а дільник показує, у скільки разів реальні розміри більші, ніж розміри на карті (або плані). Так, масштаб 1 : 2000 означає, що одному сантиметру на плані відповідає 2000 см, тобто 20 м на місцевості.

Задачі, пов’язані з масштабом, розв’язують не тільки у математиці, а й у географії, геодезії тощо. Ці задачі можна розв’язувати на основі означення масштабу.

Приклад 1. Відомо, що 100 м — це 1 см на карті. Який масштаб цієї карти?

Розв’язання. 100 м = 10 000 см. Тому масштаб 1 : 10 000.

Приклад 2. Масштаб карти 1 : 100 000. Між селами Вишневе та Яблуневе відстань 6 км. Яка відстань між зображеннями цих сіл на карті?

Розв’язання. Оскільки 100 000 см = 1 км, то 1 км — це 1 см на карті, тому відстань 6 км — це 6 см на карті (мал. 5).

Приклад 3. Відстань між двома містами 400 км, а на карті цій відстані відповідає відстань 10 см. Який масштаб цієї карти?

Розв’язання. Одному сантиметру на карті відповідають 400 : 10 = 40 км, тобто 4 000 000 см. Тому масштаб карти 1 : 4 000 000.

Оскільки відношення довжини відрізка на карті (чи плані) до довжини відповідного відрізка на місцевості є числом сталим, то ці величини — прямо пропорційними. Тому задачі, пов’язані з масштабом, можна також розв’язувати за допомогою пропорції.

Задача. Відстань між двома містами на місцевості дорівнює 280 км. Яка відстань між цими містами на карті, масштаб якої 1 : 4 000 000?

Розв’язання. Оскільки масштаб карти 1 : 4 000 000, то 1 см на карті — це 4 000 000 см = 40 000 м = 40 км на місцевості. Нехай відстань між містами на карті дорівнює х см. Запишемо дані задачі схематично: 1 см — 40 км; х см — 280 км.

Відстань на місцевості прямо пропорційна відстані на карті. Маємо пропорцію:  звідси 40х = 280, х = 7 (см).

Відповідь. 7 см.

Що називають масштабом карти (чи плана)? Як записують масштаб? Що означає масштаб, записаний на карті 1 : 10 000; записаний на плані земельної ділянки 1 : 2000? Якими способами можна розв’язувати задачі, пов’язані з масштабом?

583. У скільки разів відстань на карті менша від відстані на місцевості,             якщо масштаб карти:

1) 1 : 10 000;         2) 1 : 200 000; 3) 1 : 1 000 000?

584.  Скільком кілометрам на місцевості відповідає 1 см на карті з масштабом:

1) 1 : 100 000;       2) 1 : 500 000; 3) 1 : 3 000 000?

585.  Визнач масштаб карти (плану, схеми), якщо:

1)     1 см на схемі — 50 м на місцевості;

2)     1 см на плані — 1 км на місцевості;

3)     1 см на карті — 120 км на місцевості.

586.  Визнач масштаб карти (плану), якщо:

1)     1 см на плані — 25 м на місцевості;

2)     1 см на карті — 3 км на місцевості.

587. На плані земельної ділянки вказано масштаб 1 : 1000. Відомо, що відстань між точками на плані:

1) 1 см;         2) 2 см;     3) 4,5 см; 4) 13,7 см.

Обчисли відповідні відстані на місцевості.

588.  На плані земельної ділянки вказано масштаб 1 : 2000. Відомо, що відстань між точками на плані:

1) 1 см; 2) 2,6 см.

Обчисли відповідні відстані на місцевості.

 589. Відстань між двома містами на карті, масштаб якої 1 : 400 000, дорівнює 3,7 см. Обчисли відстань між цими містами на місцевості.

590. Визнач за картою (мал. 6) приблизну відстань між містами:

1) Вінниця і Київ; 2) Ужгород і Харків;

3) Чернігів і Сімферополь; 4) Луцьк і Донецьк.

591. Виконай необхідні вимірювання і знайди за малюнком 5:

1) відстань між селищами Калинівка і Соснівка;

2) відстань між селищами Соснівка та Яблуневе;

3) відстань від селища Вишневе до станції.

Мал. 6

592. Довжина кабінету математики 8 м, а ширина 5 м. Накресли план кабінету в масштабі 1 : 100.

593. Виміряй лінійкою розміри обкладинки цього підручника і накресли її в зошиті, зменшивши розміри в 5 разів. Яким буде масштаб цього малюнка?

Мал. 7

594. На малюнку зображено план земельної ділянки прямокутної форми. Виконай необхідні вимірювання та знайди периметр і площу ділянки.

595.  Відстань між двома містами дорівнює 120 км. Якою буде відстань між зображеннями цих міст на карті з масштабом 1 : 800 000?

596.  Відстань між містами Чернігів і Суми дорівнює 240 км. Якою буде відстань між зображеннями цих міст на карті з масштабом 1 : 3 000 000?

597. Пішохід вирушив із селища Калинівка до залізничної станції (карта місцевості на мал. 5). Швидкість пішохода дорівнює 80 м/хв. За скільки хвилин пішохід дійде до станції?

598. Використовуючи карту (мал. 6), знайди відстань від Житомира до Полтави та визнач, за скільки приблизно годин проїде цю відстань автомобіль, що рухається зі швидкістю 70 км/год.

599. Сергій, що мешкає в селищі Вишневе, йде по дорозі до бабусі в селище Калинівка (див. карту на мал. 5). Швидкість Сергія дорівнює 5 км/год. Підійшовши до станції, Сергій був вимушений чекати 5 хв, поки пройде потяг. Скільки приблизно часу був у дорозі Сергій?

600. Довжина газопроводу 360 км. Зобрази відрізком цей газопровід у масштабі 1 : 10 000 000.

601. Довжина залізниці 480 км. Зобрази відрізком цю залізницю в масштабі 1 : 8 000 000.

602. Відстань між двома містами на місцевості 126 км, а на карті 10,5 см. Знайди масштаб карти.

603. Заповни таблицю.


Рівне - Житомир

Масштаб

1 : 4 000 000

1 : 5 000 000


Відстань на карті, см

4,5


9

Відстань на місцевості, км


180

180


604. Пройшовши від дому до школи, Буратіно зробив 500 кроків. Довжина кроку Буратіно становить 0,7 м. Зобрази відрізком відстань від дому до школи в масштабі 1 : 10 000.

605.  Рухаючись зі швидкістю 80 км/год, автомобіль проїхав відстань між містами А і В за 1,5 год. Зобрази відрізком цю відстань у масштабі 1 : 5 000 000.

606.  Відстань між містами М і на місцевості дорівнює 150 км, а на карті — 2,5 см. Знайди відстань на місцевості між містами А і В, якщо відстань між ними на цій самій карті дорівнює 4,5 см.

607.  Відстань між містами і на місцевості дорівнює 160 км, а на карті — 3,2 см. Визнач відстань на карті між містами С і Dякщо відстань між ними на місцевості дорівнює 240 км.

608.  Розміри ділянки прямокутної форми 16 м і 10 м. Накресли план ділянки в масштабі 1 : 200. Знайди площу ділянки та площу плану ділянки. У скільки разів площа ділянки більша за площу плану? Зроби висновки.

609.  Класну кімната на плані з масштабом 1 : 50 зображено прямокутником з розмірами 8 см і 12 см. Скільки кілограмів фарби необхідно для того, щоб пофарбувати підлогу цієї кімнати, якщо на 1 м2 підлоги йде 0,2 кг фарби?

610.  Відстань на карті між пунктами А і В дорівнює 8,4 см, а між пунктами В і С — 7,2 см. На місцевості відстань між А і В дорівнює 21 км. Знайди масштаб карти та відстань між В і С на місцевості.

611.  Відстань на місцевості між пунктами А і В дорівнює 6,4 км, а між пунктами В і С — 4,8 км. При цьому на карті відстань між А і В дорівнює 1,6 см. Знайди масштаб карти та відстань між В і С на карті.

612. Норми висіву пшениці — 0,175 т на 1 га. Скільки пшениці потрібно для засіву прямокутної ділянки, розміри якої на плані з масштабом 1 : 20 000 дорівнюють 8 см і 6 см?

 613. Відстань між двома містами на одній карті дорівнює 6,4 см, а на іншій — 12,8 см. Масштаб першої карти 1 : 3 000 000. Знайди масштаб другої карти. Зроби висновок.

614. Відстань між двома селищами на карті з масштабом 1 : 20 000 дорівнює 8 см. Якою буде відстань між цими селищами на іншій карті з масштабом 1 : 10 000? Зроби висновок.

615. Що означає масштаб: 1) 10 : 1; 2) 100 : 1? У яких випадках застосовують цей масштаб?

616. Довжина крила комахи, яку намальовано в масштабі 50 : 1, дорівнює 20 см. Знайди дійсну довжину крила.

617. Побудуй кут MKNщо дорівнює 80°. Познач на стороні KM точку Dа на стороні KN — точку С. Сполучи точки і С. Виміряй сторони трикутника, що утворився, та знайди його периметр.

618. Скількома способами можна вишикувати в один ряд чотирьох учнів?

619. Знайди прізвище видатного українського письменника:

 





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити