Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 3 Відношення і пропорції


§29. Коло. Довжина кола


Дуже давно люди винайшли колесо та побачили його корисні в побуті властивості. Геометричними фігурами, які дають уявлення про колесо, є коло і круг.

На малюнку 15 зображено креслярський інструмент — циркуль. На одній його ніжці — вістря, а на другій — грифель. Якщо поставити ніжку з вістрям на папір у точку О, то друга ніжка (з грифелем) під час обертання опише коло. Точку О називають центром кола. Усі точки кола лежать в одній площині і на однаковій відстані від центра О.

Цю відстань називають радіусом кола. Наприклад, на малюнку 16 це відрізок ОА, що сполучає центр кола — точку О — з довільною точкою А цього кола. Радіус кола прийнято позначати буквою rВідрізок CDякий сполучає дві точки кола і проходить через його центр (мал. 17), називають діаметром кола. Діаметр кола прийнято позначати буквою dВін складається з двох радіусів: ОС і ОDТому діаметр кола удвічі більший за радіус:

2r.

Мал. 15

Мал. 16

Мал. 17

Візьмемо консервну банку (круглу склянку тощо), поставимо її на аркуш паперу і обведемо олівцем (мал. 18). На аркуші отримаємо коло. Якщо взяти нитку та обвити нею банку, а потім випрямити цю нитку, то довжина нитки буде приблизно дорівнювати довжині намальованого кола (мал.19).

Мал. 18

Мал. 19

Виміряємо діаметр кола та знайдемо відношення довжини кола до його діаметра. Якщо виміри зроблено досить ретельно, то виявиться, що це відношення трішки більше за 3.

Для всіх кіл відношення довжини кола до довжини його діаметра є одним і тим самим числом. Це число позначають грецькою буквою %(читається: «пі»), його записують нескінченним десятковим дробом: % = 3,14159265… Надалі для зручності обчислень будемо використовувати наближене значення п:  « 3,14, або  Якщо довжину кола позначити буквою С, то  Звідси С nd.

Довжина кола дорівнює добутку числа к на діаметр кола.

Оскільки = 2r, то формулу для обчислення довжини кола можна записати і так:

С = 2 пr.

Задача 1. Знайти довжину кола, радіус якого 3 см. Розв’язання. С = 2пr ≈ 2 ∙ 3,14 ∙ 3 = 18,84 (см).

Задача 2. Знайти діаметр кола, довжина якого дорівнює 44 дм.

Розв’язання. С — пdтому С : п.

Доцільно взяти 

Маємо 

А ще раніше

У далекому минулому людям доводилося розв’язувати задачі на обчислення довжини кола. Відношення довжини кола до довжини його діаметра у різні часи вважали різним.

У Стародавньому Єгипті (бл. 3500 років тому) це відношення дорівнювало 3,16; стародавні римляни вважали, що воно дорівнює 3,12. Досить точно визначив значення числа п давньогрецький учений Архімед (бл. 287—212 до н. е.). Він довів, що

Першим використовувати букву п для позначення відношення довжини кола до його діаметра запропонував англійський математик Джонс у 1706 р., але загальновживаним це позначення стало завдяки працям великого математика Л. Ейлера (1707—1783).

Він обчислив 153 десяткових знаки для числа п. У наш час за допомогою сучасних потужних комп’ютерів для п обчислено понад 200 мільярдів десяткових знаків.

 Як за допомогою циркуля будують коло? Який відрізок називають радіусом кола; діаметром кола? У скільки разів діаметр кола довший за радіус? Як обчислити довжину кола, якщо відомо діаметр кола; радіус кола?

Мал. 20

756. (Усно) На малюнку 20 зображено коло з центром у точці Oрадіус якого 1,5 см.

1) Назви відрізки, які є радіусами кола.

2) Назви відрізок, який є діаметром кола. Знайди його довжину.

3) Порівняй з довжиною радіуса кола довжини відрізків ОК, ОМ, OQ.

757. Накресли довільне коло. Виміряй його радіус і діаметр.

758. Накресли коло, радіус якого дорівнює 3 см.

759. Знайди діаметр кола, радіус якого дорівнює:

1) 2 см; 2) 3,2 дм; 3) 4,1 дм; 

760. Знайди діаметр кола, радіус якого дорівнює:

1) 4 см; 2) 5,6 см; 3) 4,7 дм; 

761. Знайди радіус кола, діаметр якого дорівнює:

1) 4 дм; 2) 5,6 см; 3) 4,7 см; 

762. Знайди радіус кола, діаметр якого дорівнює:

1) 18 см; 2) 4,2 дм; 3) 5,9 см; 

763. Виміряй радіус кола, зображеного на малюнку 16, та знайди довжину цього кола.

764.  Накресли відрізок АВ довжиною 6 см. Узявши точки А і В за центри, проведи два кола, одне з яких (із центром у точці А) радіуса 4 см, друге (із центром у точці В) радіуса 3 см. Знайди точки перетину цих кіл і познач їх точками С і DВизнач відстань від точки А до точки С; від точки В до точки D.

765. Обчисли довжину кола, якщо його діаметр дорівнює:

1) 1 см; 2) 2 дм; 3) 4,2 см; 

766. Знайди довжину кола, якщо його радіус дорівнює:

1) 1 дм; 2) 3 см; 3) 4,5 дм; 

767. Знайди довжину кола, якщо його:

1) діаметр дорівнює: 4 см;  3,8 см;

2) радіус дорівнює: 6 см; 1,5 дм; 4,2 см.

768. Кай проїхав на ковзанах 6 кіл з діаметром 10 м. Яку відстань проїхав Кай? (Відповідь округли до одиниць метра.)

769. Під час змагань велосипедист проїхав 3 кола радіуса 20 м. Яку відстань проїхав велосипедист? (Відповідь округли до одиниць метра.)

770. Накресли коло довільного радіуса. Проведи в ньому діаметр АВ. Познач на колі точку С. Виміряй кут АСВ.

771. Виконай необхідні вимірювання та знайди довжину половини кола, зображеного на малюнку 21.

772. На малюнку 22 два кола зі спільним центром — точкою О — мають радіуси 7 см і 5 см. Знайди довжини відрізків BD, АВ, СВ.

773. На малюнку 23 радіус більшого кола 5 см, меншого — 3 см. Знайди відстань між центрами кіл та довжину відрізка АВ.

Мал. 21

Мал. 22

Мал. 23

774. Довжина кола дорівнює 31,4 м. Знайди радіус кола. (п ≈ 3,14.)

775. Довжина кола дорівнює  Знайди діаметр кола. 

776.  Діаметр колеса тепловоза дорівнює 160 см. За 1,5 хв колесо робить 300 обертів. Знайди швидкість тепловоза в кілометрах за годину. Відповідь округли до десятих.

777. Колесо автомобіля має діаметр 90 см. Він рухається з такою швидкістю, що колеса роблять 7 обертів щосекунди. Знайди швидкість автомобіля в кілометрах за годину. Відповідь округли до десятих.

778. Кінець хвилинної стрілки годинника за 15 хв проходить відстань 6,28 см. Знайди довжину стрілки годинника.

779. 6 кг рису містять 4,5 кг крохмалю. Знайди відсотковий вміст крохмалю в рисі. Скільки крохмалю містить 9 кг рису?

780. Поділи число 290 на три частини у відношенні 5 : 6 : 9.

781. Гроші, вкладені в акції фірми «Поле чудес», приносять щорічно 30 % від ціни на акції за попередній рік. Чи подвоїться вкладена сума через три роки?

782. Доведіть, що 





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити