Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними


§53. Координатна площина

 

Розташування точки на координатній прямій визначається числом, яке називають координатою цієї точки. А як визначити розташування точки на площині? Розглянемо приклад.

Приклад 1. Петро купив квиток у кінотеатр, на якому написано: «Ряд 4, місце 7», а Марія: «Ряд 7, місце 4». На малюнку 116 показано місця, на яких будуть сидіти діти під час кіносеансу. Розташування глядача в залі кінотеатру можна записати так: для Петра (4; 7), а для Марії (7; 4), де в дужках спочатку записано номер ряду, а за ним — номер місця в цьому ряду. Розташування глядача в залі кінотеатру визначається двома числами. Так само двома числами визначається розташування точки на площині.



Мал. 116

Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в точці O (мал. 117) — їх спільному початку відліку. Ці прямі називають осями координат, точку O — початком координат. Горизонтальну вісь називають віссю абсцис і позначають буквою х; вертикальну вісь називають віссю ординат і позначають буквою у. Вісь абсцис і вісь ординат утворюють прямокутну систему координат на площині. Площину, на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною площиною.

Мал. 117

Мал. 118

Приклад 2. На координатній площині позначимо точку А (мал. 118). Проведемо через цю точку пряму ANперпендикулярну до осі абсцис, і пряму АК, перпендикулярну до осі ординат. Точка належить осі абсцис і має координату -3, а точка належить осі ординат і має координату 4. Число -3 називають абсцисою точки А, а число 4 — ординатою точки А.

Абсцису і ординату разом називають координатами точки. Координати точки записують у дужках: А(-3; 4), читають: «точка А з координатами -3 і 4».

Записуючи координати точки, абсцису завжди пишуть на першому місці, а ординату — на другому.

Аналогічно знаходимо координати точок В(3; 1) і С(-2; -3).

Приклад 3. Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. На малюнку 119 точки DМ, NР, О мають координати: D(0; 1), М(3; 0), N(0; -3), Р(-4; 0), 0(0; 0).

Тепер можна дати відповідь на запитання, поставлене на початку параграфа: щоб визначити розташування будь-якої точки на площині, треба знати її координати. Кожній точці на координатній площині відповідає впорядкована пара чисел — її абсциса і ордината. Навпаки, кожній впорядкованій парі чисел відповідає одна точка площини, для якої ці числа є координатами.

Приклад 4. Побудуємо на координатній площині точку (3; -4) (мал. 120). Для цього:

1)  на осі абсцис знайдемо точку з координатою 3, через неї проведемо пряму, перпендикулярну до осі абсцис (осі x);

2)  на осі ординат знайдемо точку з координатою -4, через неї проведемо пряму, перпендикулярну до осі ординат (осі у);

3)  точку перетину проведених прямих позначимо буквою Lця точка є шуканою, бо її абсциса дорівнює 3, а ордината дорівнює -4.

Точку можна було побудувати інакше: відрахувавши від точки О праворуч 3 одиниці, а потім від отриманої точки вниз 4 одиниці.

Мал. 119

Осі координат розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями, або координатними кутами. Нумерацію чвертей і знаки координат у чвертях показано на малюнку 121.

Мал. 120

Мал. 121

А ще раніше…

Описану систему координат називають також декартовою системою координат на честь французького філософа і математика Рене Декарта(1596—1650), якому належить ідея введення координат у математиці.

Як називають осі координат? Як називають точку перетину осей координат? Як називають пару чисел, що визначає положення точки на площині? Як записують координати точки? Як поділено координатну площину на чверті?

1493. Назви абсцису і ординату точки: А(-2; 3); В(4; 0); С(12; -5); D(0; 8).

1494. Дано точки: А(2; -3); В(4; 2); С(-3; 5); D(5; 4). Назви точку:

1)  абсциса якої дорівнює 4; 2) ордината якої дорівнює   5;

3)  абсциса якої дорівнює 2; 4) ордината якої дорівнює   4.

1495. Дано точки: S(-5; 2); М(3; -4); В(-4; -5); F(2; 3). Укажи точку:

1)  абсциса якої дорівнює -4;  2) ордината якої дорівнює 2;

3)  абсциса якої дорівнює 3;   4) ордината якої дорівнює 3.

1496. У яких координатних кутах знаходяться точки, які зображено на малюнку 122?

1497. У яких координатних кутах знаходяться точки, які зображено на малюнку 123?

Мал. 122

Мал. 123

1498. Знайди координати точок, які зображено на малюнку 124.

1499. Знайди координати точок, які зображено на малюнку 125.

Мал. 124

Мал. 125

1500. Запиши координати двох точок, які:

1) належать осі абсцис; 2) належать осі ординат; 3) мають абсцису -2;                                   4) мають ординату 4.

1501. Запиши координати трьох точок, які:

1) мають абсцису 7;        2) мають ординату -3.


Мал. 126

1502. За малюнком 126 назви:

1)     координати точок ABCDMK;

2)      абсциси точок AKD;

3)      ординати точок BCM;

4)      точку, ордината якої дорівнює нулю;

5)      точку, абсциса якої дорівнює нулю;

6)      точки, що мають однакові ординати.

1503. Туристи склали маршрут походу (мал. 127), старт і фініш якого в точці O, а зупинки в точках ABCN і Е. Довжині однієї клітинки відповідає 1 км. Продовжи запис, що описує маршрут: → 2 км на схід (точка A) → … → … → … → … → … (точка O).

Мал. 127

Мал. 128

1504. Знайди координати точок ABCDЕ, Fна малюнку 128.

1505. Знайди координати точок ABCDЕ, FGН на малюнку 129.

1506. (Усно) На малюнку 130 Ox і Oy — перпендикулярні шосейні дороги, штрихи — кілометрові стовпи. На якій відстані від шосе Ox і від шосе Oyрозташовано будинок, який позначено точкою Aточкою Bточкою C; точкою D?

1507. Побудуй систему координат, взявши за одиничний відрізок довжину однієї клітинки. Познач на координатній площині точки A(1; 4), B(-2; 5),C(-3; 3), D(5; -2), Е(0; 3), F(2; -3), M(-4; 0), N(-1; -4).

Мал. 129

Мал. 130

1508.  Познач на координатній площині точки: M(2; 5), N(-3; 4), K(2; -5), P(-1; -3), F(0; -5), Е(4; -3), Г(-1; 0), D(1; 4).

1509.  Побудуй точку M(-3; 4) і точку Nкоординатами якої є числа, протилежні відповідним координатам точки MЗнайди середину відрізка MN.

1510. Познач точку A(3; -2) та точку B, координати якої дорівнюють модулям відповідних координат точки A. Знайди середину відрізка AB.

1511.  На координатній площині накресли чотирикутник ABCDякщо A(2; -3), B(2; 4), C(-2; 4), D(-2; -3). Як називають такий чотирикутник?

1512.  На координатній площині накресли чотирикутник KLMNякщо: K(-2; -4), L(-2; 1), M(3; 1), N(3; -4). Як називають такий чотирикутник?

1513.  На координатній площині побудуй чотири точки, абсциси яких дорівнюють -2. Чи лежать ці точки на одній прямій?

1514.  На координатній площині побудуй чотири точки, ординати яких дорівнюють 3. Чи лежать ці точки на одній прямій?

1515. У якій чверті розташовуються точки: A(-2; 5), 

1517. (Усно) У якій чверті лежить точка M(x; у), якщо:

1)      x > 0, у <    0;        2) х > 0, у     > 0;

3)      х < 0, у >    0;        4) < 0, у     < 0?

1518. На малюнку 131 точки координатної площини названо буквами української абетки. Заміни координати точок відповідними буквами і прочитай прізвища українських поетів:

1)      (2; 4), (-4; 2), (-2; -4), (2; 4);

2)      (4; -2), (-6; 0), (4; 2), (6; 0);

3)      (-4; 2), (0; 6), (6; 0), (0; 6), (-4; -2), (4; 2);

4)      (-2; 4), (2; -4), (2; 4), (-4; 2), (0; -6), (-4; -2), (-2; 4), (2; -4).

Мал. 131

Мал. 132

1519. На малюнку 132 точки координатної площини названо буквами української абетки. Заміни координати точок відповідними буквами та прочитай назви міст України:

1)      (1; 3), (2; -2), (4;   1), (1; -3);

2)      (0; 5),   (-2; 2), (1; -3), (-4; -1), (1; -3);

3)      (-4; 1), (2; 2), (-1; -3), (0; -5), (4; -1), (-2; 2), (1; 3);

4)      (2; 2),   (-4; 1), (0; -5), (-1; 3), (-2; -2).

1520.  Познач на координатній площині точки Е(6; 6), M(-2; 2), N(4; 1), P(-2; 4). Проведи прямі EM і NP. Знайди координати точок перетину:

1) прямих EM і NP; 2) прямої EM з віссю абсцис; 3) прямої NP з віссю ординат.

1521. Познач на координатній площині точки A(-8; 1), B(2; -6), C(4; 7), D(-8; 9). Проведи прямі AC і BDЗнайди координати точки перетину:

1) прямих AC і BD; 2) прямої AC з віссю абсцис; 3) прямої BD з віссю ординат.

1522. Познач на координатній площині точки M(5; -3), N(4; 2) і K(-1; 2). Проведи промені MN і MKЗнайди міру кута NMK за допомогою транспортира.

1523. Познач на координатній площині точки M(0; 6), N(12; 2) і K(-8; -2). Проведи промені MN і MKЗнайди міру кута KMN за допомогою транспортира.

1524. 1) Як називають чотирикутник, який зображено на малюнку 133?

2) Знайди координати вершин чотирикутника KLMN.

3) Знайди площу і периметр чотирикутника KLMN.

Мал. 133

Мал. 134

1525. 1) Як називають чотирикутник, який зображено на малюнку 134?

2) Знайди координати вершин чотирикутника ABCD.

3) Знайди площу і периметр чотирикутника ABCD.

1526. На координатній площині проведи пряму, що проходить через точки A(5; 4) і B(-1; 1). Познач на цій прямій:

1) точку, абсциса якої дорівнює 1;

2) точку, ордината якої дорівнює 0.

Запиши координати отриманих точок.

1527. На координатній площині проведи пряму, що проходить через точки C(2; 6) і D(-2; -2). Познач на цій прямій:

1) точку, абсциса якої дорівнює 0;

2) точку, ордината якої дорівнює 4.

Запиши координати цих точок.

1528. Дано координати трьох вершин прямокутника ABCDA(-4; 1), В(2; 1), С(2; -3).

1) Накресли цей прямокутник.

2) Знайди координати точки D.

3) Знайди координати точки перетину відрізків AC і BD (діагоналей прямокутника).

4) Знайди площу і периметр прямокутника.

1529. Дано координати двох вершин квадрата ABCDA(-1; 2) і B(4; 2).

1) Накресли квадрат ABCD (два випадки).

2) Знайди координати точок і D.

3) Знайди площу і периметр квадрата.

1530. Побудуй коло із центром у точці 0(2; -1), яке проходить через точку A(1; 2). Чи належать колу точки B(-1; 0), С(-2; -1), D(1; -4), E(4; -2)?

1531. Maлюємo за координатами. Накресли на координатній площині замкнену ламану, послідовними вершинами якої є точки з координатами: (1; 7), (0; 10), (-1; 11), (-2; 10), (0; 7), (-2; 5), (-7; 3), (-8; 0), (-9; 1), (-9; 0), (-7; -2), (-2; -2), (-3; -1), (-4; -1), (-1; 3), (0; -2), (1; -2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10) та точку (1; 6). Яку тварину намальовано?

1532. Maлюємo за координатами. Накресли на координатній площині дві замкнені ламані, послідовними вершинами яких є точки з координатами: (4; -1), (7; -2), (-2; -3), (-10; 4), (-3; 2), (1; 5), (8; 3), (7; -2) і (-10; 4), (-12; 6), (-9; 9), (-12; 8), (-15; 9), (-12; 6). Познач точку (4; 2). Яка тварина тобі посміхається?

1533. Познач на координатній площині всі точки, у яких абсциса і ордината — невід’ємні числа, а їх сума дорівнює 5. Яку фігуру утворять ці точки?

1534. Зобрази на координатній площині множину точок (xу) таких, що:

1) -1 ≤ ≤ 3, у — довільне; 2) ≥ 0, у ≤ 0;

3) x = 0, у ≥ 0; 4)  х\  1, \у\  2.

1535. Використовуючи таблицю суми очок, що випали на гранях двох гральних кубиків при їх одночасному підкиданні (див. задачу № 658), знайди ймовірність такої події:

1) — сума очок на гранях кубика дорівнює 3;

2) — сума очок на гранях кубика більша за 10;

3) — сума очок на гранях кубика є найменшою з усіх можливих.

1536. Спрости вираз (2- у) + (у - 3x- (2у - 4xта знайди його значення, якщо 

1537. Знайди значення виразу 2(3х - 5у) - 5(2х - 4у), якщо 5у - 2= -17.

1538. У шести коробках лежать кульки: у першій - 1, в другій - 2, у третій - 3, у четвертій - 4, у п’ятій - 5, у шостій - 6. За один хід дозволяється в будь-які дві коробки додати по одній кульці. Чи можна за кілька ходів зрівняти кількість кульок у всіх коробках?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити