Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

 

§6. Найбільший спільний дільник

 

Розглянемо задачу.

Задача. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти, маючи 32 цукерки «Білочка» і 24 цукерки «Чебурашка», якщо треба використати всі цукерки і у кожному подарунку мають бути цукерки двох видів?

Розв’язання. Кожне із чисел 32 і 24 має ділитися на кількість подарунків. Тому спочатку випишемо всі дільники числа 32:

 а потім — усі дільники числа 24: 

Спільними дільниками (їх підкреслено) чисел 32 і 24 будуть 1, 2, 4, 8, а найбільшим — 8. Це число називають найбільшим спільним дільником чисел 32 і 24.

Отже, можна скласти 8 подарунків, у кожному з яких буде 4 цукерки «Білочка» (32 : 8 = 4) і 3 цукерки «Чебурашка» (24 : 8 = 3).

Найбільшим спільним дільником кількох натуральних чисел називають найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел.

Найбільший спільний дільник чисел а і позначають так: НСД (ab). Для попередньої задачі можна записати НСД (32; 24) = 8.

У розглянутій задачі знайшли найбільший спільний дільник невеликих чисел 32 і 24, записавши всі дільники кожного з них. Також для знаходження найбільшого спільного дільника (зокрема, великих чисел) користуються таким правилом:

найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює добутку спільних простих множників цих чисел.

Приклад 1. Знайти НСД (630; 1470).

Розв’язання. Розкладемо числа 630 і 1470 на прості множники і підкреслимо ті з них, які є спільними в обох розкладах (а саме 2, 3, 5 і 7):

 

Отже, НСД (630; 1470) = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 210. Приклад 2. Знайти НСД (60; 140; 220).

Отже,

НСД (60; 140; 220) = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20.

Маємо таке правило:

- щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел, достатньо:

1) розкласти дані числа на прості множники;

2) виписати всі спільні прості множники в знайдених розкладах і обчислити їх добуток.

Якщо серед даних чисел є число, на яке діляться інші з даних чисел, то це число і буде найбільшим спільним дільником даних чисел.

Приклад 3. Знайти НСД (8; 64; 320).

Розв’язання. Оскільки числа 64 і 320 діляться на 8, то НСД (8; 64; 320) = 8.

Якщо розклади даних чисел на прості множники не мають спільних множників, то найбільшим спільним дільником цих чисел буде число 1.

Два натуральних числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, називають взаємно простими числами.

Наприклад, числа 12 і 35 — взаємно прості, бо 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3, 35 = 5 ∙ 7 і НСД (12; 35) = 1. Числа ж 15 і 18 не є взаємно простими, бо мають спільний дільник 3.

А ще раніше

Цікавий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел описав у своїй книзі «Начала» давньогрецький математик Евклід (бл. 300 р. до н. е.). Для цього він ділив більше число на менше, менше — на одержану остачу, першу остачу — на другу і т. д. Остання відмінна від нуля остача й була шуканим НСД двох чисел. Цей спосіб отримав назву алгоритм Евкліда.

Знайдемо, наприклад, за цим алгоритмом НСД (407; 148):

Отже,

НСД (407; 148) = 37.

 Яке число називають найбільшим спільним дільником двох чисел? Як знайти найбільший спільний дільник двох чисел?  Число а є дільником числаbЧому дорівнює НСД (а; b)? Які два числа називають взаємно простими?

96. (Усно) Чи є число 5 спільним дільником чисел:

1) 30 і 25;       2) 48 і 15?

97. (Усно) Знайди спільні дільники та найбільший спільний дільник чисел:

1) 2 і 4;           2) 6 і 15;      3) 8 і 18.

98. Знайди найбільший спільний дільник чисел а і b, якщо:

1)      а = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11 і b = 2 ∙ 3  ∙ 11 ∙ 13;

2)       а = 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 і b = 5 ∙ 5 ∙ 19.

99. Знайди найбільший спільний дільник чисел с і d, якщо:

1)      с = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11 і d = 3 ∙ 5  ∙ 11 ∙ 13;

2)       с = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 і d = 3 ∙ 5 ∙ 7.

100. (Усно) Чи є взаємно простими числа:

1) 6 і 9;        2) 7 і 8;    3) 9 і 12;  4) 4 і 11?

101. (Усно) Серед чисел 2, 7, 14 і 20 знайди всі пари взаємно простих чисел.

102. Знайди найбільший спільний дільник чисел:

1) 78 і 195;       2)  35 і 18;    3) 210 і 120;

4) 735 і 70;        5) 4, 24 і 32;  6) 36, 54 і 72.

103. Знайди найбільший спільний дільник чисел:

1) 24 і 40;         2) 70 і 110;   3) 49 і 48;

4) 231 і 273;      5) 5, 25 і 45;  6) 150, 375 і 600.

104. Знайди найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу:

105. Доведи, що: 1) числа 35 і 72 є взаємно простими;

2) числа 209 і 171 не є взаємно простими.

106. Доведи, що: 1) числа 299 і 184 не є взаємно простими; 2) числа 26 і 45 є взаємно простими.

 107. Чи є взаємно простими числа:

1) 3 і 100; 2) 35 і 133; 3) 143 і 209; 4) 2010 і 2012?

108. Чи є взаємно простими числа:

1) 7 і 48;      2) 21 і 161; 3) 66 і 455; 4) 2005 і 3005?

109. Запиши всі правильні дроби зі знаменником 18, у яких чисельник і знаменник — взаємно прості числа.

110. Запиши всі неправильні дроби із чисельником 20, у яких чисельник і знаменник — взаємно прості числа.

111. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти, маючи 60 цукерок і 45 яблук, так, щоб використати всі цукерки і яблука та щоб кожен подарунок містив і цукерки, і яблука.

112. У яку найбільшу кількість магазинів можна порівну розподілити для продажу 108 DVD-дисків з мультфільмами і 120 дисків із фільмами про тварин? По скільки дисків кожного жанру отримає кожний магазин?

113. У шостих класах 24 хлопчики і 36 дівчаток. Учнів поділили на групи для привітання ветеранів так, щоб в усіх групах була однакова кількість дівчаток і однакова кількість хлопчиків. Скількох ветеранів привітали, якщо їх більше за 7?

114. В одному потязі 252 купейних місця, а в іншому — 396 купейних місць. По скільки купейних вагонів у кожному потязі, якщо в усіх купейних вагонах кількість місць є однаковою і їх більше за 20?

115. Із 210 білих, 150 жовтих і 90 червоних троянд необхідно скласти однакові букети так, щоб у кожному букеті були троянди всіх трьох кольорів. Яку найбільшу кількість таких букетів можна скласти? По скільки троянд кожного кольору буде в кожному букеті?

116. Шлях від А до В завдовжки 360 км автомобіль проїхав за 4 год, а повернувся назад — за 5 год. Яка середня швидкість автомобіля за весь час руху?

117. Автомобіль їхав 2 год зі швидкістю 72,4 км/год і 3 год зі швидкістю 71,6 км/год. Знайди середню швидкість автомобіля за весь час руху.

 118.  Вкладник поклав до банку 8000 грн під 15 % річних. Скільки грошей буде на рахунку вкладника через рік; через два роки?

119. Знайди останню цифру числа:

1) 52015; 2) 320;       3) 22000.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити