Математика 6 клас - Н.А. Тарасенкова

Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ

 

§ 26. ДОДАВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

 

Кожне раціональне число характеризують його модуль і знак. Тому для додавання двох раціональних чисел важливо з’ясувати, яким буде модуль і знак суми залежно від модулів і знаків доданків. Для додатних чисел цей зв'язок очевидний, оскільки сума двох додатних чисел є числом додатним.

? Як до від’ємного числа додати додатне число? Поміркуємо, спираючись на координатну пряму.

Нехай треба додати числа -4 і 5. На координатній прямій позначимо точку, що відповідає числу -4, і відкладемо від неї праворуч 5 одиниць (мал. 122). Бачимо, що в результаті дістали точку з координатою 1. Отже: -4 + 5=1.

Мал. 122

Нехай треба додати числа -5 і 4. На координатній прямій позначимо точку, що відповідає числу -5, і відкладемо від неї праворуч 4 одиниці (мал. 123). Бачимо, що в результаті дістали точку з координатою -1. Отже: -5 + 4 = - 1.

Мал. 123

Виходить, що під час додавання чисел -4 і 5 та чисел -5 і 4 модулі доданків ми не додавали, а віднімали, причому від більшого модуля віднімали менший. А знак суми дістали як у доданка з більшим модулем.

? Чи зміниться сума чисел з різними знаками, якщо їх додавати в іншому порядку — до додатного числа додавати від’ємне? Ні, сума не зміниться. Але міркування з опорою на координатну пряму будуть іншими.

Нехай до числа 4 треба додати число -5. На координатній прямій позначимо число 4. Число -5 є протилежним до числа 5, тому і відкладати його на координатній прямій треба не праворуч, а в протилежному напрямку, тобто ліворуч. Відкладемо від числа 4 ліворуч 5 одиниць. Отримали число-1 (мал. 124). Отже: 4 + (-5) = -1.

Мал. 124

Порівняємо цей результат і результат, який отримали в попередньому прикладі. Бачимо, що: -5 + 4 = 4 + + (- 5) = -1. Можемо сформулювати правило додавання чисел з різними знаками.

Запам’ятайте!

Правило додавання чисел з різними знаками

Щоб знайти суму двох чисел з різними знаками, треба:

1) знайти модулі доданків;

2) від більшого модуля відняти менший модуль;

3) перед отриманим числом поставити знак того з доданків, модуль якого більший.

? Як додати два від’ємні числа? Будемо міркувати аналогічно до останнього прикладу.

Нехай до числа -4 треба додати число -5. На координатній прямій позначимо число -4. Відкладемо від нього в напрямку, протилежному до напрямку стрілки, тобто ліворуч, 5 одиниць. Отримали число-9 (мал. 125). Отже: -4 + (-5) = -9.

 

Мал. 125

Можемо сформулювати правило додавання чисел з однаковими знаками.

Запам’ятайте!

Правило додавання чисел з однаковими знаками Щоб знайти суму двох чисел з однаковими знаками, треба:

1)  знайти модулі доданків;

2)  додати модулі доданків;

3)  перед отриманим числом поставити знак доданків.

? Яка особливість додавання протилежних чисел? Поміркуємо. Подивіться на малюнки 126 і 127. Ви бачите, як додавали протилежні числа -3 і 3. Коли до числа -3 додали число 3 (мал. 126) або до числа 3 додали число -3 (мал. 127), то дістали число 0. Протилежні числа мають рівні модулі, але різні знаки. Тому, за правилом додавання чисел з різними знаками, модуль суми протилежних чисел -3 і 3 — це різниця модулів цих чисел, а вона дорівнює 0. Можемо записати:

-3 + 3 = |-3| -|3| = 3 - 3 = 0

або

3 + (-3) = |3| — |- 3| = 3 - 3 = 0.

Мал. 126

Мал. 127

 

Зверніть увагу:

сума двох протилежних чисел дорівнює 0.

-а + а = 0 або а + (-а) = 0

Задача 1. Обчисліть:

 1)-2,5+5,7; 2)-2,5+ (-5,7).

Розв’язання.

1) -2.5 + 5,7= + (5,7 - 2,5) = 3,2.

2) -2,5 + (-5,7) = -(2,5 + 5,7) = -8,2.

Зверніть увагу:

зміна числа залежить від того, яке число до нього додають:

— якщо додають додатне число, то дане число збільшується;

— якщо додають від'ємне число, то дане число зменшується.

? Чи справджу ют вся переставний і сполучний закони додавання для раціональних чисел? Так. Для будь- яких раціональних чисел а, b і с:

а + b b + а — переставний закон додавання;

(а + b) + с = а + (b+с) — сполучний закон додавання. Ці закони дають змогу спрощувати обчислення суми трьох і більшої кількості доданків.

Задача 2. Знайдітьсуму-2,8 +3,2 + (-1,2) + (5,8).

Розв’язання. Задачу можна розв'язати двом а способам и. Спосіб 1. Згрупуємо доданки з однаковими знаками й обчислимо суму:

-2,8+ 3,2+ (-1,2)+ 5,8 =

= (-2,8+(-1,2))+(3,2+ 5,8) =

= -4 + 9 = 5.

Спосіб 2. Згрупуємо доданки з різними знаками й обчислимо суму:

-2,8+ 3,2+ (-1,2)+ 5,8 =

= (-2,8 + 5,8) +(3,2 +(-1 2)) =

= 3 + 2 = 5.

Якщо один із доданків дорівнює 0, то сума дорівнює іншому доданку:

Дізнайтеся більше

Індійський математик Брахмагупта (VII ст.) використовував такі правила для додавання додатних і від'ємних чисел.

Міркування

Сучасне правило додавання

Сума майна і майна с майном

Сума двох додатних чисел є числом додатним

Сума боргу і боргу є боргом

Сум а двох від'ємних чисел є числом від'ємним

Сума майна і боргу дорівнює їх різниці

Сум а двох чисел із різними знаками дорівнює різниці їх модулів і має знак більшого за модулем доданка

Сума майна і такого самого боргу дорівнює нулю

Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Як додати два числа з однаковими знаками?

2. Як додати два числа з різними знаками?

3. Який знак має сума двох від'ємних чисел? двох додатних чисел?

4. Запишіть переставний закон додавання. Наведіть приклад.

5. Запишіть сполучний закон додавання. Наведіть приклад.

6. Чому дорівнює сум а протилежних чисел?

7. Чому дорівнює сума, якщо один із доданків дорівнює нулю?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ                        

1115'. Потрібно додати числа -13 і 3.

1) Чому дорівнює модуль числа -13: а) 13; б) -13?

2) Чому дорівнює модуль числа 3: а) 3; б) -3?

3) Модулі чисел треба: а) додати; б) відняти?

4) Модуль якого числа більший: а) -13; б) 3?

5) Яким буде модуль суми: а) 21; б) -21; в) 15; г) -15?

6) Яким буде знак суми: а)«+»; б)«-»?

7) Назвіть число, що є сумою даних чисел.

1116'. До числа 3 додали число -6. Чи правильно це показано на координатній прямій:

 1) мал. 128; 2) мал. 129?

Мал. 128

Мал. 129

1117'. Потрібно додати два числа -5 і -25.

1) Чому дорівнює модуль числа -5: а) 5; б) -5?

2) Чому дорівнює модуль числа -25: а) 25; б) -25?

3) Модулі чисел треба: а) додати; б) відняти?

4) Чи треба визначати, модуль якого числа більший?

5) Яким буде модуль суми: а) 30; б) -20; в) 20; г) -30?

6) Яким буде знак суми: а) «+» ; б) «-»?

7) Назвіть число, що є сумою даних чисел.

1118'. Сергій міркує так: оскільки | -10| = 10, |-12| = 12, то сума -10 + (-12) є додатною. Чи правий Сергій?

1119'. Потрібно додати два числа 21 і -21.

1) Якими є ці числа: а) рівними; б) протилежними?

2) Сума даних чисел дорівнює: а) 42; б) -42; в) 0?

1120'. Чи правильне твердження:

1) число 56 збільшиться, якщо до нього додати -45;

2) число 71 збільшиться, якщо до нього додати 45;

3) число 4,1 зменшиться, якщо до нього додати 0,1;

4) число 23 зменшиться, якщо до нього додати -4,1?

1121'. Чи правильно, що: 1) -57 + 0 = 57; 2) 0 + (-34) = -34?

1122°. Накресліть координатну пряму. Позначте на ній число -10. Покажіть на координатній прямій, як збільшити дане число:

1) на 4; 2) на 6; 3) на 10. Яке число отримали?

1123°. За даними таблиці 10 знайдіть суму.

Таблиця 10

1124°. Знайдіть суму:

1) -10 + 6;                          5) -3 + 7,6;               9) 6,89+(-7,01);

2) -99 + 1;                          6) 5,4+ (-8,9);           10) 13,2+ (-64);

3) -23 + 7;                          7) -0,5 + 7,09;           11) -2,6 + 9,35;

4) -84 + 4;                          8) -6,02 + 4,08;         12) -5,18 + 8,4.

1125°. Знайдіть суму:

1) 10+ (-6);                        3)23 + (-7);               5) 84,09 + (-4);

2) 99 + (-1);                       4) -2,08 + 0,92;         6) 5,6 + (-8,7).

1126°. За даними таблиці 11 знайдіть суму.

Таблиця 11

1127°. Знайдіть суму:

1) -44 + (-6);                      4) -78 + (-13);          7) -0,02 + (-0,2);

2) -207 + (-97);                   5) -5 + (-8,15);           8) -7,7 + (-8,7);

3) -12 + (-11);                     6) -6,89 + (-68,9);  9) -0,89 + (-0,01).

1128°. Знайдіть суму:

1) -634 + (-43);                  3) -9 + (-4,231);         5) -7,9 + (-0,1);

2) -100 + (-567);                 4) -2,39 + (-2,01); 6) -53,07 + (-46,93).

1129°. Обчисліть:

1)-1 +(-5);  5)8,05 + 2,95;

2) -1 +5;   6)-8,05+ (-2,95);

3) 1 + (-5); 7)-8,05+ 2,95;

4) 1 + 5; 8) 8,05+ (-2,95).

1130°. Обчисліть:

1)45 + 5,2; 3) - 45+ 5,2;

2)-45 + (-5,2); 4) 45+ (-5,2).

1131°. Знайдіть значення суми a + с, якщо:

1) a = 10, с = -28;                             2) а = -0,25, с = -0,75.

Чому дорівнює сума с + a?

1132°. Знайдіть значення суми a + (b + с), якщо:

1)а = -22, b = 2, с = -6;                     2)a = 6, b = -6, с--4.

Чому дорівнює сума (a b) + с?

1133°. Спираючись на переставний і сполучний закони, виконайте додавання зручним способом:

1) -2 + (-3) + (-8) + (-7);                  3) -119 + 19,7 + (-91);

2) 13 + 26+(-3) +(-16);                     4) 78,2 + (-105) + 11,8.

1134°. Виконайте додавання зручним способом:

1) -13,6 + (-15,333) + (-6,4) + (-4,667);

2) -71,4 + 31,8 + 25,2 + (-38,6);

3) 25,3 + (- 45,1 3) + (-20,3) + (-60,87).

Якими законами додавання ви скористалися?

1135°. Обчисліть:

1)27,56 + 36 + (-28,56)+ (-12);

2) -39,126 + 12,1 + 18 + 21,026;

3) 46 + (-13,03) + 111 +(-32,97);

4) -103,77 + 24,609 + (-6,33) + 85,391.

1136°. Знайдіть суму:

1)-11 + 11; 2)-1452 + 1452;

 4)-2,75+ 46+ (-46)+ 2,75.

1137°. Знайдіть суму: 1) 6,72 + (-6,72); 

1138°. Обчисліть: 1) -3,8 + 0 + 9; 2) 0 + 

1139°. Обчисліть:

1)  -5,6 + 0+9; 2) -13,75 + 0 + 28,25; 3)-27,07 + 0 + 46,4.

1140°. Визначте знак суми чисел

1)25 і-97; 2)-49 і 22;

4)-58 і 101;

5) 3,5 і (-3,6); 

1141°. Визначте знак суми чисел:

1)23 437 і 0,97;         2)-89 і-87; 

1142°. Порівняйте значення числових виразів:

1) -153 000 + (-345) і 22 + 15 000;

2) -12 056 + 6078 і 6078 + (-1256);

3) -1,86 + (-0,385) і 0,5642 + 0,4231.

1143°. Розв’яжіть рівняння:

1) х-3,9 = -8; 

3) х-0,89 = 6,9.

1144°. Розв’яжіть рівняння:

1) x - 5,6 = - 2; 2) x - 1,51 = 0,89; 

1145°. Знайдіть суму:

1) а + (-а) + а:                     2)b + (-b) + b+ (-b) + (-b).

1146°. Чи збільшиться число 6,7, якщо до нього додати число:

1147°. Чи зменшиться число -51, якщо до нього додати число:

1) -51;                       2)51;                3)-100;             4)0,2?

1148°. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1) до суми чисел  додайте число-6,89;

2) до суми чисел  додайте суму чисел - 

1149°. Складіть числовий вираз і знайдіть його значення:

1) до суми чисел  додайте число 

2) до суми чисел 7,4 і  додайте суму чисел 

1150°. У 6 класі протягом року кількість учнів змінювалася: за осінь — на +4, за зиму — на -5, за весну — на +6. Як змінилася кількість учнів за весь період?

1151°. Вважають, що місто Рим засноване в 753 р. до н.е. Скільки йому років тепер?

1152°. Скільки пройшло років від середини 3-го року до н.е. до середини 3-го року н.е.? Покажіть на координатній прямій.

1153.   Накресліть координатну пряму. Позначте на ній точки А(5) і B(-6). Побудуйте точку С, координата якої дорівнює сумі координат даних точок.

1154.   Накресліть координатну пряму. Позначте на ній точкуА(5,2). Побудуйте точку, координата якої на 4,5 більша за координату точки А.

1155.    Накресліть координатну пряму. Позначте на ній точки А(-1,5) і В(-6). Побудуйте точку С, координата якої дорівнює сумі координат даних точок.

1156.   Обчисліть:

1157. Обчисліть:

1158. Обчисліть:

1159. Розв’яжіть рівняння:     

1)|х-2| = 12;                          2)|х-5| = 18.

1160. Які числа треба вписати в порожні клітинки квадрата (мал. 130), щоб суми чисел кожної вертикалігоризонталі й діагоналі дорівнювали одна одній?

1161. Знайдіть суму найбільшого цілого чотирицифрового числа і найменшого цілого двоцифрового числа.

1162. Знайдіть суму найбільшого від’ємного цілого трицифрового числа і найменшого додатного цілого двоцифрового числа.

1163. Знайдіть суму:

1) 6а + (-5n) + (-5) + (-4а) + 14 m + 9m +(-28);

2)-c + (-bd) + 2c + 7d.

1164.   Подайте число -18 у вигляді суми двох доданків із різними знаками так, щоб: 1) обидва доданки були цілими числами; 2) один із доданків був десятковим дробом, меншим від одиниці.

Мал. 130

1165.   Порівняйте значення виразів |x + y| і |x| + |y|, якщо:

1)x = -2,y = 3;2)x = -2,y = -3;3)x = 2,y = 3;4)x = -2,y = 0.

1166.   Знайдіть суму всіх цілих чисел, які:

1) менші від числа 3 і більші за число 

2) менші від числа  і більші за число 

1167*. Дано 25 чисел. Сума будь-яких чотирьох із них додатна. Покажіть, що сума всіх чисел також додатна.

1168*. Знайдіть суму всіх цілих трицифрових чисел.

1169*. У таблиці 3 рядки і 4 стовпчики. Чи можна в ній розмістити числа -1 і 1 так, щоб усі сім сум чисел, які стоять в одному рядку чи одному стовпчику, були різними?

1170*. Розв’яжіть рівняння: 1) | |х|-4| = 1;         2)||х|-2|=3.

1171*. На координатній прямій між точками А (-6) і В (3) позначте парну кількість точок із цілими координатами, сума яких дорівнює нулю. Скільки розв’язків має задача?

1172*, Які знаки чисел х і у, якщо: |х + у| = |х| + |у|?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1173.   Уранці температура повітря становила 8 °С. Протягом першої половини дня температура змінилась на +1,5 °С, а протягом другої — на -3,5 °С. Яка температура повітря була ввечері?

1174.   За перший день рівень води в річці змінився на-6 см, за другий — на +8 см, а за третій — на +5 см. На скільки сантиметрів і як саме змінився рівень води за три дні?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1175.   Виконайте віднімання:

1) 134 км 87 м - 67 км 83 м; 3) 73 т 806 г- 115 кг 994 г;

2) 64 кг344 г-7 кг786 г;                  4) 15 год40хв 50 с-6 год 19 хв.

1176.   Обчисліть:

1) 12,9-5,7-1,5; 

3)256,7-70,08-0,48; 

1177. Скільки грамів солі потрібно додати до 90 г води, щоб отримати 10%-й розчин солі?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити