Розділ 5 РУХ І ВЗАЄМОДІЯ. ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ В МЕХАНІЦІ

§ 49. РУХ ТІЛА ПІД ДІЄЮ СИЛИ ТЯЖІННЯ. ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ

Ви дізнаєтесь

- Чому всі тіла падають на землю з однаковим прискоренням

Пригадайте

- Другий закон Ньютона

Вільне падіння. Чудовим прикладом прямолінійного рівноприскореного руху, що спостерігається у природі, є вільне падіння тіл (мал. 243).

Рух тіла під дією земного тяжіння, за умови, що опір повітря незначний і на тіло не діють інші сили, називають вільним падінням.

Тривалий час вважали, що тілам різної маси Земля надає різного прискорення, і тому вони падають на неї з різною швидкістю: важчі — швидше, легші — повільніше.

Мал. 243. Вільне падіння тіл

Мал. 244. Вивчення вільного падіння: а) дослід Галілея;б) дослід Ньютона

У цьому начебто переконував життєвій досвід: легка пір’їна, що падає в повітрі з однакової висоти разом із свинцевою кулькою, досягала землі пізніше, ніж кулька. Цей, на перший погляд, очевидний факт змушував багатьох людей спотворено уявляти перебіг явища вільного падіння тіл.

Перші досліди з дослідження вільного падіння провів Галілео Галілей, кидаючи кулю й гарматне ядро з вежі в м. Піза (мал. 244, а). Подальше вивчення вільного падіння здійснювалося різними способами й за допомогою різних експериментальних установок. Так, Ісаак Ньютон використовував велику скляну трубку, з якої можна було викачати повітря, і спостерігав, що пір’їна і сталева кулька у вакуумі падають одночасно (мал. 244, б).

Прискорення вільного падіння. Таким чином, експериментально встановлено, що прискорення вільного падіння тіл не залежить від маси тіл і є сталою величиною. Після численних вимірювань було встановлено його середнє значення g = 9,81 . Вектор прискорення вільного падіння завжди напрямлений вертикально вниз.

Значення прискорення вільного падіння можна обчислити і з таких міркувань. Згідно із законом всесвітнього тяжіння модуль сили тяжіння, яка діє на будь-яке тіло масою m поблизу Землі (на відстані h від її поверхні), можна обчислити за формулою:

F = G .

Якщо на тіло масою m діє тільки сила тяжіння, то це тіло вільно падає, рухаючись із прискоренням (у цьому випадку із прискоренням вільного падіння). Згідно з другим законом Ньютона = m .

Прирівнявши дві формули F = G і F = mg, отримаємо формулу для обчислення прискорення вільного падіння:

g = G .

Його значення трохи відрізняється на екваторі й на полюсах Землі. Ця різниця виникає тому, що радіус Землі (найкоротша відстань від поверхні до центра Землі) різний на полюсах і на екваторі: g_е = 9,780 ; g_п = 9,832 . У приблизних розрахунках його зазвичай приймають таким, що дорівнює 9,81, або 9,8, або 10 .

У системі відліку, пов’язаній із Землею, на будь-яке тіло діє сила тяжіння, що напрямлена до центра Землі й дорівнює добутку його маси m на прискорення вільного падіння g:

_тяж = m .

Рівняння руху тіла у вертикальному напрямку. Рух тіла у вертикальному напрямку описується рівняннями рівноприскореного руху:

h_y =_0yt + , _y = _0y +,

де h_y — переміщення по вертикалі (висота); _0y ,_у — швидкість на початку та в кінці руху; g — прискорення вільного падіння.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору до максимальної висоти підйому, є рівносповільненим, потім вниз — рівноприскореним, без початкової швидкості. Час підйому дорівнює часу падіння.

З певної висоти тіло можуть кидати вниз, надаючи йому деякої початкової швидкості, а можуть відпускати — тоді тіло падає без початкової швидкості (вільно падаюче тіло).

ФОРМУЄМО КОМПЕТЕНТНІСТЬ

Я поміркую й зможу пояснити

1. Що таке вільне падіння тіл? Який це рух? Чому?

2. У чому полягає суть досліду Г. Галілея?

3. Доведіть, що час підйому тіла, кинутого вертикально вгору, дорівнює часу його падіння.

4. Доведіть, що тіло, яке кидають вертикально вгору, і яке згодом падатиме вниз, матиме в будь-якій точці траєкторії швидкості, рівні за модулем і протилежні за напрямком.

Вчимося розв'язувати задачі

Задача 1. Обчисліть масу Землі, якщо відомо, що її радіус дорівнює R = 6,37 · 10⁶ м.

Розв’язання:

Усі тіла притягуються до Землі. Силу притягання можна визначити двома способами:

F = mg та F =G .

Прирівнявши формули, отримуємо: mg = G або g = G , звідки M₃ = .

Обчислення:

Відповідь: М_З 5,98 · 10²⁴ кг.

Задача 2. Вільно падаюче тіло пройшло останні 10 м за 0,25 с. Визначте, з якої висоти падало тіло та його швидкість у момент приземлення.

Розв’язання:

Зробимо схематичний малюнок до задачі (мал. 245). Вісь У спрямуємо в напрямку руху.

Оскільки тіло вільно падає, то ₀ = 0 і рівняння руху має вигляд

h₁ = . (1)

h — уся висота, з якої падає тіло, h — останні 10 м; тоді

h₁ = h -h. (2)

Відповідно, t — весь час падіння, t = 0,25с, тоді

t₁ =t-t. (3)

Напишемо рівняння руху для вільно падаючого тіла на ділянці h₁.

h₁ = . (4)

Підставимо рівняння (1) та (4) у вираз (2):

= - h. (5)

Враховуючи вираз (3), маємо: = .

Визначимо весь час руху:

Підставляючи час падіння у формулу (1), визначаємо висоту, з якої падає тіло:

Швидкість у момент приземлення можна визначити за формулами:

Мал. 245. Вільне падіння тіла

= ₀ + gt або 2gh = ² - , враховуючи, що = 0 , = або = gt.

Тоді = 41.

Відповідь: = 41 ^/.

Я можу застосовувати знання й розв’язувати задачі